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補助線について

1 :132人目の素数さん:2013/05/04(土) 02:14:47.69
初等幾何、ひいては教育数学において最も重要かつ最も難しいのが補助線の引き方である。
例えばかの有名なラングレーの問題は正しい補助線さえ引ければ小学4年生でも解けるが、
補助線なくしては三角関数と解析幾何学の登場を待たなくてはならない。
チャートや解法辞典などの名高い教育参考書などにもある程度の指針が載ってはいるものの、
代数学の諸解法のような決定的な見抜き方の道しるべはまずない。
ここではその補助線の極意について議論していこうとおもう。

2 :132人目の素数さん:2013/05/04(土) 02:24:36.38
まず基本中の基本として、補助線を引くということはどういうことなのか考えて行きたい。
補助線を引く意味とは、すなわち次元を落とすことに他ならない。
立体に関する問題を解くとき、その切断面について考えることは、
3次元を2次元に落とし込んでいることになる。
補助線も同様、平面に関する議論を「線」に関する議論に落とし込んでいる。
即ち2次元を1次元に落とし込んでいるのだ。
事実、三平方の定理やトレミーの定理といった多くの初等幾何定理は線(辺)に関するものである。
既知の定理の数は 3次元<2次元<1次元 であることは教科書をあたっていただければすぐにわかるだろう。
即ち、補助線を引くということは、既知の問題へと「問題を分割」していることを意識しなくてはならない。

3 :132人目の素数さん:2013/05/04(土) 02:26:14.24
例えば、射影幾何と群作用を知っていれば、一見天下りな補助線を引けることが時々ある
初等幾何だけに引きこもっていたらただの暗記修行だわな

4 :132人目の素数さん:2013/05/04(土) 02:39:12.46
>>3
その通り、まさに今教育数学が抱えている問題がそれである。
関数の定義すら答えられない学生が平気で東大・京大を受験しているのが現状だ。
2次関数と作図問題の関係を教えずに高校入試に平気で課すのだから手に負えない。

実は初等幾何の定理の中には解析幾何・線形幾何によって解決されたのちにつくられたものが少なくない。
補助線を考えるにはそれらの学習も十分に行う必要がある。
そうでなければただの丸暗記か突飛な思い付きになってしまう。
無論それは意味がない。

5 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

6 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

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