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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む3

1 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/13(金) 21:17:16.40
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1331903075/ 前スレ 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む2 >>1より

ベストアンサー:”が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。”ですか?

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1371534513
数学の歴史に興味ある方にお尋ねします。「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、...noranekokuma2004さん 質問日時: 2011/9/18

「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」にチャレンジしております。
アーベル、ガロアとも、方程式の根の有理式を説明しています。

両者の説明とも、帰着するところは、根の有理式はいわゆるラグランジュの分解式のかたちをとるというところにあると、私は考えています。
ラグランジュは、3次方程式の根、α、β、γと1の3乗根によって
u=α+βω+γω^2
v=α+βω^2+γω
という式をつくることによって、3次方程式が解けることを示しました。
彼は、それを一般化し、素数次数の方程式の根と1の累乗根と組み合わせた、いわゆる、ラグランジュの分解式を提起しました。
皆さまの見解を伺いたいと思います。

ベストアンサーに選ばれた回答siolaglebaさん 回答日時:2011/9/21

ガロアの論文が、どんなものか知りたくて、私もこの本を読もうとしました。
高名な数学者さえ理解出来なかった論文とは、一体何がどのように書かれているのか興味があったからです。すでにガロア理論を知っていたので、軽く考えていました。

が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。
自分には、読みたい数学は一杯あるし、ガロア理論も知っている。他の数学書に取りかかった方が良いと。諦めるのが早かったかもしれません。

ラグランジュの分解式は、方程式の可解性を議論するなかで、べき根拡大を考えるとき、使ったように記憶しています。
ラグランジュは、3次・4次方程式の解明に成功しましたが、5次方程式は失敗しました。が、ラグランジュの研究は無駄ではなかったことの証が、ラグランジュ分解式と思います。

2 :132人目の素数さん:2012/04/13(金) 21:17:57.91
(再録)
ガロアの書き方が、現代の主流の置換群の書き方と違う
これについては、ブルーバックス 「ガロアの理論」 中村亨に詳しい
http://www.nikkei.com/life/culture/article/g=96958A96889DE3E2E2E5E5E4E1E2E0EBE2E4E0E2E3E29C9C99E2E2E3;p=9694E3E4E2E4E0E2E3E2E5E3E2E4
ガロアの群論 中村亨著 天才数学者の問題意識探る 2010/6/30付

3 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/13(金) 21:18:47.04
(再録)
ただ、ブルーバックス 「ガロアの理論」 中村亨だけでは、本当の面白さは分からない

やはり、アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) を傍に置きながら読まないと
http://www.amazon.co.jp/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB-%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2-%E7%BE%A4%E3%81%A8%E4%BB%A3%E6%95%B0%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F-%E7%8F%BE%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E7%B3%BB%E8%AD%9C-11/dp/4320011643
出版社: 共立出版 (1975/4/20)

4 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/13(金) 21:19:43.85
(再録)
倉田令二朗も、ガロアのアイデアにそった解説を書いている

http://books.google.co.jp/books/about/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E3%82%92%E8%AA%AD%E3%82%80.html?id=9xqpAAAACAAJ&redir_esc=y
ガロアを読む: 第1論文研究
著者 倉田令二朗
出版社 日本評論社, 1987

http://ameblo.jp/europa2718/entry-11041364474.html
2011-10-08 03:55:22
倉田令二朗著『ガロアを読む』第1論文研究 その2

http://ameblo.jp/europa2718/page-4.html
2011-10-19 03:50:26
破天荒の人 倉田令二朗

5 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/13(金) 21:20:49.44
>>3
現代数学の系譜 11によれば、ガロア論文では、現代的な群や体の定義は出てこない

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96
ガロア理論(ガロア-りろん、Galois theory)は、基本的には代数方程式や体の構造を "ガロア群" と呼ばれる群を用いて記述する代数学の理論をさす。
1830年代におけるエヴァリスト・ガロアによる代数方程式のべき根による可解性などの研究に端を発しているためこの名前がつけられている。
数学的構造についての最も初期の研究であり、圏と関手の考え方を含むような非常に現代的なパラダイムにもとづく理論だと見なされている。
実際にガロアは、方程式の研究において未知であった群や体の考えを用いていた。
現代の代数学はこの理論から始まった。ガロア理論を、方程式だけでなくそれの元になった初期の基本的な代数まで含めてもよいだろう。

ガロア理論によれば、"ガロア拡大" と呼ばれる体の代数拡大について、拡大の自己同型群の閉部分群と、拡大の中間体との対応関係を記述することができる。

6 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/13(金) 21:21:19.49
(再録)
ガロアの人物については下記

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%BB%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2
エヴァリスト・ガロア
(抜粋)
新資料の発見

決闘の原因と言われていた女性の素性が明らかとなった。
彼女の名はステファニー・フェリス・ポトラン・デュモテルといい、ガロアが最後に暮らしたフォートリエ療養所の医師で所長だったジャン・ルイ・ポトラン・デュモテルの娘であった。
彼らは親子共に親切な人物で、ガロアは次第にステファニーに恋愛感情を抱くようになって求婚したらしく、それに対する5月14日付でのステファニーによる断りの手紙の文面が、ガロア自身の筆跡でシュヴァリエへの書簡の裏に転記されていた。
その内容は文面を見る限り礼儀正しいものであり、少なくとも残された文章を見た印象では彼女が「つまらない色女」と表現されるような人物などではなく、そもそもガロアの遺書が真実を記したものとは言い切れないことが明らかになった。

その上でリガテリは、決闘であるならば勝つ可能性もあるのに、ガロアの死を確信した遺書に対する不自然さを指摘し、決闘の真相を次のように解釈している。

ステファニーに失恋したガロアは、「民衆の友の会」の会員と共に民衆を蜂起させる方法を考えていた時、ガロアが自分が犠牲となってその機会を作ることを提案した。
(作中では「D」と名前を明確にしていないが)デュシャートレがその相手を務めることとなり、ガロアは共和主義者の感情を煽るためにわざと無念を強調した遺書をしたためた。
そして、予定通り決闘を装った工作が行われてガロアは死亡し、あとは葬儀において蜂起するだけとなった。
ところが葬儀の当日、フランスの英雄であるジャン・マクシミリアン・ラマルク将軍の訃報が伝わり、ならばそれを契機に蜂起した方が良いと急遽予定が変更された、ということである(その後の暴動の様子はヴィクトル・ユーゴーの『レ・ミゼラブル』に詳しい)。

7 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/13(金) 21:22:02.19
>>4 補足

http://d.hatena.ne.jp/rockmass/20080315
2008-03-15
倉田令二朗、超準解析!(感謝を込めて)
(抜粋)
「まずは基礎論をやって、つぎに、超準解析、そうノンスタンダード・アナリシスをやろう。イプシロンデルタとか馬鹿なことをやっていないで、君たちの技術分野でも、これなら実にスマートに使えるんだ。
計算機による解析とかするんなら、これがいいんだ。」ということになった。
イプシロン-デルタ論法にかわる話を、大学に入って間もない、しかも理学部以外の学生に対してするので、教える側としては相当工夫しないと簡単には理解させることはできない。
それまでも毎回の配付資料の量の多さは異常だったが、ノンスタンダード・アナリシスになってからは、毎回の資料が30枚ほどになっていた。
いずれも汚ったない手書き文字のコピーなんだけど、いま思いだしても、非常に丁寧にわかりやすく作ってあった。

(数学者でもない私が口を挟むのもなんだが、超準解析は、いまでは多くの書籍もでて、当初は「ノンスタンダード・アナリシス」だったのに、いまでは「スタンダード」なアナリシスになった。
大学の講義でも広く扱われている。
倉田令二朗氏のすばらしさは、当然基礎論の大家でもあったのだが、30年もの昔にこの「ノンスタンダード・アナリシス」に最初に目をつけて独自に体系化し、さらに実学分野でも応用できるようにした点は、倉田令二朗氏によるところが非常に大きいと思う。)

8 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/13(金) 21:23:19.04
(再録)
”つぎに、超準解析、そうノンスタンダード・アナリシスをやろう。イプシロンデルタとか馬鹿なことをやっていないで、君たちの技術分野でも、これなら実にスマートに使えるんだ。
計算機による解析とかするんなら、これがいいんだ。”>>9

昔、イプシロンデルタが重視された時代があった
高校時代に数学の教師が、高校では極限はこれで済ますが、厳密にはイプシロンデルタみたく言った時代があったんだけど
そして、ワイエルシュトラスが直感を排した厳密な理論を作ったと喧伝された時代があった
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%B9
カール・テオドル・ヴィルヘルム・ワイエルシュトラス(Karl Theodor Wilhelm Weierstras, 1815年10月31日 - 1897年2月19日)はドイツの数学者。
姓はヴァイアーシュトラスと表記するほうがより正確である。

9 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/13(金) 21:24:09.88
(再録)
うーん、「既存の解析の成果をすべて超準解析で書き換えなきゃいけない」ということもないように思う
超準解析でなにをしたいかってことじゃないかな

例えば、”超準解析の基本的な手法である超積はアラン・コンヌらによって作用素環の研究に応用されてもいる。”と。つまり、ある分野に限ってでも使えれば良いと
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90
超準解析(ちょうじゅんかいせき)とは、超実数やその上の関数について研究する解析学の一分野である。無限小解析と同一のものとも見なされる。
そこではイプシロン-デルタ論法によって一度は追放されたと思われた、無限小や無限大という極限に関する古典的で直観的な感覚、すなわち、ライプニッツ流の微積分を数学的に厳密に定式化し、取り戻すことができる。
アブラハム・ロビンソンによって考案された。
超準解析の基本的な手法である超積はアラン・コンヌらによって作用素環の研究に応用されてもいる。

10 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/13(金) 21:24:51.65
>>9
「〜なにか問題が?〜」:”簡単に言えば、ε−δによる微分は厳密性を得た代わりに、微小量の直感性を失った。”だと思う
過去、日本の多くの数学者が、直感を否定し厳密性を重視した時期があった。だが、20世紀末から21世紀は再び”直感”復権の時代だと思う
もっと直感を大切にすべき
http://members.jcom.home.ne.jp/1228180001/manalysis1.htm
超準解析1
原初無限小解析は、dxやdyが図形的な考察とともに乱れ飛ぶ直感的に明快な論理体系であった。
この考え方は固有の利点を持っており、オイラー信者の高瀬正仁大先生が著書「dxとdyの解析学」で詳細に述べていらっしゃる。

http://members.jcom.home.ne.jp/1228180001/manalysis2.htm
超準解析2 〜なにか問題が?〜
簡単に言えば、ε−δによる微分は厳密性を得た代わりに、微小量の直感性を失った。
導関数は定義されてももはやそれはdfとdxの比ではなく、単なる一つの関数を表す記号なのである。dfやdxは単なる記号であり、単独では意味を持たない。
しかし、導関数が微小量の比であるというイメージはとても納得できるし、コーシー流の微分でもこのイメージを避けて通ることは出来ない。
頭の中のイメージと紙の上の証明とでは、全く違うことをやっているのである。

私は、数学は視覚的に明らかである方がよいと思う。それは、上に挙げた参考文献を書かれた小平邦彦先生もおっしゃっていることである。
数学とは、心の中で起こる数学的現象を解析する学問なのだ。それでは、感覚的に優れた微小量という存在を厳密に扱うにはどうすれば良いだろうか?
私の答えは、超準解析を学ぶことである。

http://members.jcom.home.ne.jp/1228180001/manalysis3.htm
超準解析3
超準解析にはその学問的価値に比して、日本語の本が非常に少ない。(ような気がする。)
しかし、H.Jerome.Keisler教授が無料のpdfを自らのホームページでアップロードしている。およそ900ページの超大作である 。(それでいて、freshmanのために執筆したと書いてある!!)ちなみに私は読んでいない。というか読めない。
本章の目的は超準解析を広く流布し、モナドのイメージを掴んでもらうことであるから、公理的な記述は出来るだけ避けようと思う。公理的な記述に飢えたら、このサイトにこだわらず広く本を漁ってほしい。

11 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/13(金) 21:25:25.59
>>10 (再録)
まあ、こんな利用法もある
ある特定の分野で活用できるだけでも存在意義はあるし
人が直感を取り戻し、その直感を支える道具でも可だろうし
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0982-11.pdf
数理解析研究所講究録
982 巻1997 年115-125
超準解析による経路積分
駿台予備学校中村徹(Toru Nakamura)

12 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/13(金) 21:25:56.75
(再録)
http://www.nippyo.co.jp/book/1320.html
超準解析と物理学|日本評論社 数理物理シリーズ 中村 徹 著 旧ISBNコード4-535-78248-2  発刊日:1998.06 判型:A5判 ページ数:308ページ

無限大を実無限としてとらえる解析学《超準解析》の基礎をわかりやすく丁寧に解説し、
さらにその方法を物理学──エルゴード理論・ボルツマン方程式・経路積分など──に本格的に応用して展開した日本で初めての本。

第2章 超準解析による積分論とその応用
1節 ローブ測度
2節 積分
3節 ブラウン運動
4節 エルゴード定理
5節 ボルツマン方程式
第3章 超準解析による経路積分の構成
1節 経路積分公式の直感的な導出
2節 関数解析による合理化
3節 測度論による合理化
4節 ディラック方程式と*-測度
5節 *-測度からスタンダードな測度へ
6節 シュレディンガー方程式と*-測度
第4章 超準解析からみた位相線形空間
1節 ヒルベルト空間とスペクトル分解
2節 超関数論からの準備
3節 D’(Ω)の超準表現
4節  ’(R)の超準表現

13 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/13(金) 21:26:26.74
(再録)
溝口紀子氏。どうでも良いが、日経サイエンスに記事が出ていた。人の評価を気にせずやったと

http://www.saruhashi.net/latest.html
第31回 猿橋賞受賞者 溝口紀子氏の研究業績要旨 04/19/2011 17:16:03

受賞研究題目「爆発現象の漸近解析」
“Asymptotic analysis of blowup phenomena”

 溝口紀子氏は、べき乗の非線形項をもつ半線形熱方程式をはじめとする非線形放物型偏微分方程式の爆発現象の研究において目覚ましい成果を挙げてきた。

 微分方程式の解の最大値がある時刻Tに近づくと無限大に発散するとき、その解は時刻Tで爆発するという。
 べき乗の非線形項をもつ半線形熱方程式は燃焼現象を記述するモデルとみなされ、解の爆発は「発火」を意味する。
 1960年代半ばに藤田宏氏によって先駆的な結果が発表されて以来、爆発は微分方程式の分野で最も活発に研究されてきたテーマのひとつである。
 微分積分学の授業で教わるような、座標変数と時刻の関数として陽に表すことができる解は強解または古典解とよばれる。
 解が爆発すれば、その時点で、発散した値からの解の延長は不可能であり、解は強解としての意味を失う。
 しかし、関数に適当な試験関数を乗じて方程式を積分することで得られるような、微分の概念を広げた方程式を満たす解が存在する可能性があり、このような解は元の方程式の弱解とよばれる。
 爆発後弱解としても延長不可能な爆発を完全爆発、爆発後も弱解としては延長可能な爆発を不完全爆発とよぶ。
 燃焼を例にとると、完全爆発は「完全燃焼」に、不完全爆発は「不完全燃焼」に対応すると考えられる。
 半線形熱方程式の爆発に関する研究は長年完全爆発を対象としてきたが、1990代後半になって、ある条件のもとではこの弱解は有限時刻で爆発することが証明され、
 この時点ではじめて不完全爆発する解の存在は認識されたが、不完全爆発する解の爆発後の振る舞いについては未解決のまま残されていた。

14 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/13(金) 21:27:01.83
(再録)
このスレは、超準解析スレじゃない
だが、「数学に直感を取り戻そう!」というスレであることは間違いない

難しいことをやさしく
複雑なことを本質を抽出して単純化する
これぞ数学の真髄(こころ)

数学に直感を
複雑なことを図式化し

見える化する
細部に立ち入る前に全体像を把握する

これが大事だと思うよ
これぞ数学の真髄(こころ)

15 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/13(金) 21:27:43.41
(再録)
>>1
そろそろ主題に戻ろう

>ベストアンサー:”が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。”ですか?

ガロアの原論文(「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」)を読むための3つのポイントは
1.ガロア分解式(リゾルベント)
 V=Aa+Bb+Cc+・・・
 a,b,c・・・は、(重根を持たない)で問題の方程式の根、A,B,C・・・は根の置換で異なる値をとる
2.置換群のガロア記法
a b c d・・・・k
b c d・・・・k a
c d・・・・k a b
・・・・・・・・・・・
k a b・・・・・i

注)今日、置換は普通はコーシーの記法
(a b c d・・・・k)
(a b c d・・・・k)
(直上の2行は大きな括弧で括られていると思ってください)

(コーシーの記法は説明不要と思うが、下記などが参考になろう)
http://homepage3.nifty.com/asagaya_avenue/apl/association/2011/Nishikawa_nov2011.pdf

16 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/13(金) 21:28:18.85
(再録)
>>15 つづき
3.ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応

(V)| φV,φ1V,・・・・,φm-1V,
(V')| φV',φ1V',・・・・,φm-1V',
(V'')| φV'',φ1V'',・・・・,φm-1V'',
・・・・|・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
(V''*)| φV''*,φ1V''*,・・・・,φm-1V''*,

注)V''*は、Vにダッシュ'がn-1個ついたもの(アスキーでは添え字が表現できないので)

1.ガロア分解式(リゾルベント)は、「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」P28
2.置換群のガロア記法は、「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」P30,31,36など
3.ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応は、「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」P31

に記載がある。
なお、置換群のガロア記法は、ガロアの群論 中村亨著>>2に詳しい説明がある
ガロア分解式(リゾルベント)は、「ガロアを読む」倉田令二朗>>4 P110あたりに詳しい説明がある
ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応は、あまり既存の本では強調されていない

17 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/13(金) 21:28:45.63
(再録)
>>16
1.ガロア分解式(リゾルベント)は、「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」P28
2.置換群のガロア記法は、「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」P30,31,36など
3.ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応は、「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」P31

に記載がある。
なお、置換群のガロア記法は、ガロアの群論 中村亨著>>2に詳しい説明がある
ガロア分解式(リゾルベント)は、「ガロアを読む」倉田令二朗>>4 P110あたりに詳しい説明がある
ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応は、あまり既存の本では強調されていない

下記藤原松三郎 代數學 P106あたりの記述が近いが、「ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応」という捉え方はしていない
http://www.rokakuho.co.jp/data/books/0026.html
代數學  第二卷
A5/765頁 9450円(本体9000円+税5%) 978-4-7536-0026-7
藤原松三郎(理学博士) 著

第十一章 がろあノ方程式論
1. 代數的數體/2. 方程式ノがろあ群/3. がろあ分解式ノ簡約/4. 代數的ニ解カレル方程式/5. 圓周等分方程式/6. あーべる方程式/7. 素數次ノ方程式

18 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/13(金) 21:29:44.09
(再録)
ガロアの時代
今日のように、群をある演算(積)で閉じた集合として捉えられていない
体の漠然とした概念はあったろうが、同じようにある演算(積と和)で閉じた集合として捉えられていない

そこでガロアが今日の体の代わりに考えたのが、”ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応”だと思う

>>16
さて、ガロアは
V、V'、V''、・・・・、V''*
注)V''*は、Vにダッシュ'がn-1個ついたもの(アスキーでは添え字が表現できないので)
を使って、次のガロア方程式を作る
F(x)=(x-V)(x-V')(x-V'')・・・・(x-V''*)

1.この方程式は、例えば一般の5次方程式なら根の置換は120個あり
2.V、V'、V''、・・・・、V''*も、120個あり(5次の置換で異なる値をとるから)
3.F(x)は120次の方程式
4.そんなものを考えてどうなる?
5.どっこい、F(x)の120次の方程式をガロアは体の理論の代用に使ったのだ

例えば、重根を持たない場合、差積から判別式を作り、判別式の平方根を
ガロア方程式F(x)=(x-V)(x-V')(x-V'')・・・・(x-V''*)に添加すると
ガロア方程式は、二つに分けられるだろう

V、V'、V''、・・・・、V''*の内から、>>29の置換との対応で、偶置換に属するものだけを取り出し(それらは60個)、並べ替えて
V、V'、V''、・・・・、V''**として
F'(x)=(x-V)(x-V')(x-V'')・・・・(x-V''**)を作ることができる

残りの積は、奇置換に属するものの積
こう考えることにより
ガロア方程式F(x)に補助方程式の根を添加することで、ガロア方程式F(x)を分解し、次数を下げることができる
これによって、ガロア方程式F(x)を体論の代わりに使って、ガロア理論を展開することができるのだ

19 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/13(金) 21:32:21.25
(再録)
残念ながら、複雑な数学記号が掲示板では使えない

例えば、置換のコーシーの記法は、2行にわたる括弧が必要だが、ここでは使えない
そこらの読みにくさはご容赦願いたい

その制約の中で出来るだけ分かりやすくを心がける

そうそう、よろしくね。怪しいところがあれば、指摘して
高校生の諸君は、図書館に
アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) >>4は、あるかい
ブルーバックス 「ガロアの理論」 中村亨>>2も是非併読を
それから、倉田令二朗ガロアを読む>>6があれば完璧かな

>>18 補足

差積と判別式は、下記に詳しい
ここでは、判別式は重根の有無を見分けるためと書かれている
しかし、差積(=判別式の平方根)は、偶置換(=交代群の置換)で値が変わらないということも重要なのだ
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8D%E6%A0%B9_(%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F)

(訂正)
V、V'、V''、・・・・、V''*の内から、>>29の置換との対応で、偶置換に属するものだけを取り出し(それらは60個)、並べ替えて
 ↓
V、V'、V''、・・・・、V''*の内から、>>16の置換との対応で
(注:前スレからの再録で、リンクの番号がずれているものがあります。気付けば直しますが、気付かず旧のママのものがあればご容赦ください。)

20 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/13(金) 21:33:08.31
(再録)
>>18
補足

ガロア方程式という言葉は、倉田>>4のP110では
「その任意の根が他の根の有理式(k上の)で表されるような方程式のことを、今日ガロア方程式と呼んでいる」とある
しかし、ここでは狭義にガロア分解式を根とするF(x)=(x-V)(x-V')(x-V'')・・・・(x-V''*)をガロア方程式と呼びたい
それが、ガロアの頭の中にあったものだったろうから(ガロア論文で扱われているのはこれだ)

そして、判別式の平方根を添加することで
ガロア方程式F(x)=(x-V)(x-V')(x-V'')・・・・(x-V''*)

F(x)=F’(x)F’’(x)
と二つに分けられ
F'(x)=(x-V)(x-V')(x-V'')・・・・(x-V''**):偶置換に属するものだけを取り出した
F’’(x):奇置換に属するものだけを取り出した
となる

そして、これを素数Pのべき根に一般化すれば

ガロア方程式F(x)=(x-V)(x-V')(x-V'')・・・・(x-V''*)

F(x)=F’(x)F’’(x)・・・・F’p(x)
とp個に分けられ
F'(x)=(x-V)(x-V')(x-V'')・・・・(x-V''**):ある部分群に属するものだけを取り出した
F’’(x)・・・・F’p(x):ある部分群の共役に属するものだけを取り出した
となる

これが、ガロアが現代の集合論的体論の代わりに頭に描いていたものだろう

21 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/13(金) 21:34:28.47
(再録)
補足

方程式のガロア群をGとすれば、ある部分群をHとして
G=H+τ1H+τ2H+・・・・+τp-1H
と左剰余類に分割されるべき(倉田>>4 P139 式(7))

ここに、τ1、τ2、・・・・、τp-1は、ご存知Gを剰余類分割するときに登場するGの要素
なので、部分群Hの位数は群Gの位数をPで割ったものになる

補足

なお、議論を簡単にするために
ここでは、念頭に置いているのは、一般の5次方程式で、ガロア方程式F(x)=(x-V)(x-V')(x-V'')・・・・(x-V''*)はkで既約で、重根を持たないと単純化している

>>20
>これが、ガロアが現代の集合論的体論の代わりに頭に描いていたものだろう

こう考えると、ガロアの原論文の意図が見えてくる
例えば、”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP36でガロアは
4次方程式の解法について、上記のガロア分解式(リゾルベント)、置換群のガロア記法>>28、ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応>>29の3点セットを念頭に解説する

というかこの3点セットを念頭にしなければ、なにを書いているか理解できまい

22 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/13(金) 21:34:50.04
(注:前スレからの再録で、リンクの番号がずれているものがあります。気付けば直しますが、気付かず旧のママのものがあればご容赦ください。)

23 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/13(金) 21:36:36.52
(再録)
>>21 つづき

”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP36でガロアは
4次方程式の解法について

1.まず、(判別式の)平方根を添加することで、全体で24個の置換を含む(ガロア)方程式の群(=4次対称群)は2つに分解するという
  これは、>>20に書いた通り
2.そこで、12個の置換群(これが偶置換のみで構成される交代群であることは現代数学の常識ではあるが)
3.4次方程式の根をa,b,c,dとして、この群をガロアは下記のように置換群のガロア記法で書き下す

a b c d, a c d b, a d b c
b a d c, c a b d, d a c b
c d a b, d b a c, b c a d
d c b a, b d c a, c b d a

これで、24次のガロア方程式F(x)=(x-V)(x-V')(x-V'')・・・・(x-V''*)が
12次のF'(x)=(x-V)(x-V')(x-V'')・・・・(x-V''**):偶置換に属するものだけを取り出し次数が下がった

a b c d, a c d b, a d b c
b a d c, c a b d, d a c b
c d a b, d b a c, b c a d
d c b a, b d c a, c b d a

この12個の置換を含む群(=4次の交代群)を立て4行の群(=位数4の群)に対し、巡回置換(b,c,d)との積と見ることができる
そこで、3次の累乗根を添加することで、>>45-46のようにさらにガロア方程式の次数が下がる

24 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/13(金) 21:37:07.69
>>23 つづき

群は
a b c d
b a d c
c d a b
d c b a
に縮小し、ガロア方程式も4次式になる

これは、
a b c d, c d a b
b a d c, d c b a

と見ることができる
あとは、ガロアが書いている通り
平方根を添加することでガロア方程式も2次式になり、4次方程式が解けることになる

ここに示したように、置換群のガロア記法は群の分解の様子を見やすくし、群の分解にガロア方程式の次数低下が対応していると見ることができる
これが、ガロアが頭の中に描いていたガロア理論の原型ではなかったか

25 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/13(金) 21:37:51.01
(再録)
>>24 補足
”群
a b c d
b a d c
c d a b
d c b a

は、
a b c d, c d a b
b a d c, d c b a

と見ることができる”

これは、クライン群などと呼ばれる
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%9B%9B%E5%85%83%E7%BE%A4
クラインの四元群とは、巡回群でない位数が最小の群である。また、位数2の巡回群の直積と同型である。
クラインの四群元の単位元以外の元の位数は、2である。
また、交代群 A4 の正規部分群
V = < identity, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) >
と同型。

まとめよう
1.ガロア分解式(リゾルベント)、置換群のガロア記法、ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応の3点セットが、ガロア理論の原型
2.そして、ガロア分解式からガロア方程式を作る
3.平方根を添加すると、ガロア群は二つに分解し、その群の分解に対応してガロア方程式を二つに分解することができる
4.同様にして、これを素数Pのべき根に一般化すれば、ガロア群はP個に分解し、その群の分解に対応してガロア方程式をP個に分解することができる
5.このようにして、ガロア群の縮小に伴ってガロア方程式の次数を下げることができる
  この様子を、ガロアは4次方程式について、解説しているのだ( ”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP36

26 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/13(金) 21:38:16.60
(再録)
「置換群のガロア記法は群の分解の様子を見やすく」を補足


a b c d
b a d c
c d a b
d c b a

はコーシー流(現代の群論の教科書はこれ)では、次の4つの置換で書く
(a b c d)
(a b c d)

(a b c d)
(b a d c)

(a b c d)
(c d a b)

(a b c d)
(d c b a)

ここで、一番上の置換は恒等置換でeと書かれたりする
(つづく)

27 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/13(金) 21:39:31.36
(つづき)
で、これだけだと、メリットが少ないと見えるかも

だが、群の分解を考えると
a b c d, c d a b
b a d c, d c b a

と見ることができる”ってところでメリットがでる

1.つまり現代のコーシー記法だと下記
(a b c d), (a b c d)
(a b c d), (c d a b)

(a b c d), (a b c d)
(b a d c), (d c b a)

2.しかし、こうも見ることができる
(a b c d), (c d a b)
(a b c d), (c d a b)

(a b c d), (c d a b)
(b a d c), (d c b a)

つまり、ガロアの記法は「1行目の順列の並びが省略されたコーシー記法」だと
そして、上記2.の見方は、ガロアの記法の真骨頂
2.左の列の2番目は、(ab)と(cd)が入れ替わっている。これを番号に書き直すと(12)と(34)が入れ替わっている。右の列も同じく(12)と(34)が入れ替わっている。

そういう目で、もう一度>>15のガロア記法を眺めて欲しい。ガロアが見ていたものが見えるだろう

28 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/13(金) 21:42:36.14
(再録)置換群のガロア記法>>24について、もう一つ見ておこう
”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”の最後P41で
定理VII
n=5とせよ;群は次のようなものであろう:
a b c d e, a c e b d, a e d c b, a d b e c
b c d e a, c e b d a, e d c b a, d b e c a
c d e a b, e b d a c, d c b a e, b e c a d
d e a b c, b d a c e, c b a e d, e c a d b
b c d e a, d a c e b, b a e d c, c a d b e

ここで、a→0, b→1, c→2, d→3, e→4と置き換えると
0 1 2 3 4, 0 2 4 1 3, 0 4 3 2 1, 0 3 1 4 2
1 2 3 4 0, 2 4 1 3 0, 4 3 2 1 0, 3 1 4 2 0
2 3 4 0 1, 4 1 3 0 2, 3 2 1 0 4, 1 4 2 0 3
3 4 0 1 2, 1 3 0 2 4, 2 1 0 4 3, 4 2 0 3 1
4 0 1 2 3, 3 0 2 4 1, 1 0 4 3 2, 2 0 3 1 4 

そしてガロアが見ていたものは
1.最初の列を縦に、順列0 1 2 3 4に対し、+1mod 5(5を法として計算)で一番左の列の群(部分軍=長さ5の巡回群)が得られ

2.横に、第一番目の列の群
0 1 2 3 4
1 2 3 4 0
2 3 4 0 1
3 4 0 1 2
4 0 1 2 3
を、2倍 mod 5(5を法として計算)すれば、2列目、2列目を2倍して3列目・・と

3.それを、”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP38の第VII節の群(G)前後の記述で言えば
ガロアが見ていたものは
Xk, Xak+b、あるいはf(k+c)=f(k)+Cだと
(ここは、上記”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”と合わせて読んでください)

29 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/13(金) 21:44:50.37
「数学に直感を取り戻そう!」>>18
難しいことをやさしく、複雑なことを本質を抽出して単純化する
複雑なことを図式化し、見える化する
細部に立ち入る前に全体像を把握する
これぞ数学の真髄(こころ)

ガロアの見ていたものが、少し見えてきただろうか?

>>18
>ガロアの時代
>今日のように、群をある演算(積)で閉じた集合として捉えられていない

補足
ガロアは、群を群に属する二つの置換S、Tの積STが群に属することは明記している。
”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP27だ

この事情は、ガロアの群論 中村亨>>2のP211に詳しい
ただ、ガロアが現代群論のように、集合論を基本として、単位元、逆元、積で閉じた集合として群を考えていたわけではなかった
だが、方程式のガロア理論を語るには十分だった
ただ、他の人にそれを理解させるためには、群の概念を現代のように明確にした方が良いわけで、そこがガロアの現論文が分かりにくいといわれる原因になっている

ただ、>>33で見たように、置換群のガロア記法>>19は、現在のコーシー記法より、群の分解の仕方や、置換の相互の関係を見やすくし、内容を直感的に把握するのに優れていると思う

30 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/13(金) 21:45:17.16
(再録)
ガロアは群論の創始者であり、群論が一番有名だ
が、下記「ガロアへのレクイエム」や「近世数学史談」によれば、楕円関数論についても当時の時代を凌駕する研究をしていたようだ

山下純一さんの本「ガロアへのレクイエム」 (現代数学社)
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kojihas/kojihas-jM.html
山下純一さんの本「ガロアへのレクイエム」 (現代数学社)にお世話になりました。

近世数学史談 (岩波文庫) [文庫] 高木 貞治
http://www.amazon.co.jp/%E8%BF%91%E4%B8%96%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%8F%B2%E8%AB%87-%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E6%96%87%E5%BA%AB-%E9%AB%98%E6%9C%A8-%E8%B2%9E%E6%B2%BB/dp/4003393910

31 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/13(金) 21:47:36.90
(再録)
>>28
なお、この位数20群は、下記ではB'5 メタ巡回群と書かれている
この元吉文男氏の5次方程式の可解性の高速判定法は面白くて参考になった

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0848-01.pdf
5次方程式の可解性の高速判定法 元吉文男 著 - 1993

ほぼ同じ内容が下記(こちらの方が年代が後で少し詳しい)
http://staff.aist.go.jp/f.motoyoshi/java/deg5.pdf
5次方程式の可解性の高速判定法 元吉文男 著 - FM Memo 19961017-01

追伸
”5次方程式の可解性の高速判定法 元吉文男 著”は、本当に面白くて参考になった

32 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/13(金) 21:48:31.57
(再録)
0 1 2 3 4, 0 2 4 1 3, 0 4 3 2 1, 0 3 1 4 2
1 2 3 4 0, 2 4 1 3 0, 4 3 2 1 0, 3 1 4 2 0
2 3 4 0 1, 4 1 3 0 2, 3 2 1 0 4, 1 4 2 0 3
3 4 0 1 2, 1 3 0 2 4, 2 1 0 4 3, 4 2 0 3 1
4 0 1 2 3, 3 0 2 4 1, 1 0 4 3 2, 2 0 3 1 4 

この位数20のメタ巡回群B'5 >>31
元吉文男氏は、これを利用して5次方程式の可解性の高速判定法を考えた

つまり、5次方程式のガロア群がもともと位数20のメタ巡回群B'5 になっていることが、5次方程式が可解である条件なのだ
一般のガロア群S5の位数は120。120/20=6次の式が、”P の中に根を持つならば元の多項式のP でのガロア群はB05 の部分群である”
ここに、Pは5次方程式の係数が属する体

もう少し精密には
体P 上の5次の多項式f(x) = x5-a1x^4+a2x^3-a3x^2+a4x-a5
x1, x2, x3, x4, x5 を不定元とし、
h = x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 + x5x1 - x1x3 - x3x5 - x5x2 - x2x4 - x4x1 (1)
としたときに多項式
g = h^2
は、B'5 の置換で不変であり、A5 やS5 の置換では不変ではない。
g にS5 のすべての元を作用させたときに生成される多項式のうちで異なるものは6個

この6個を根に持つような6次方程式を考える
ここでは、アスキーベースなので、添字やべきがうまく書けないので、下記文献を見てほしい
http://staff.aist.go.jp/f.motoyoshi/java/deg5.pdf

33 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/13(金) 22:27:19.54
(再録)
>>32
”1.ガロア分解式(リゾルベント)、置換群のガロア記法、ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応の3点セットが、ガロア理論の原型”と書いた

>>20のアナロジーで言えば
ガロア方程式F(x)=(x-V)(x-V')(x-V'')・・・・(x-V''*) (120次)
は、方程式のガロア群が位数20のメタ巡回群B'5 になっている場合

メタ巡回群B'5に属する20個のV、V’・・・を取り出し
F'(x)=(x-V)(x-V')(x-V'')・・・・(x-V''**):B'5に属するものだけを取り出した20次の式
以下、B'5の共役類に分けて
F(x)=F’(x)F’’(x)・・・F’’’’’’(x)
のように、ガロア方程式F(x)(120次)が、20次づつ6つの式に分けられることがイメージできるだろう

これがガロアが現代の体論と群論をベースとした理論の代わりに、頭に浮かべていたことではないだろうか

34 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/13(金) 22:30:07.44
(再録)
最近気付いたが、下記Jean-Pierre Tignolも詳しい
というか、P156の定理10,7など、ガロア論文>>4のP39のラグランジュ分解式のn乗を扱っていることや補助方程式の次数が(n-2)!になることと、完全に一致している
一致という意味では小杉の方がお話風で読みやすいが
ともかく、こういうラグランジュが到達していた地点を見ると、ほとんどガロアに近い

というか、ガロアは完全にラグランジュを下敷きにしていると思う
その痕跡をかなり消しているが
ただし、方程式のガロア群とその分解を明確に意識して理論を展開したという点では、やはり天才ではあるのだが

http://www.kyoritsu-pub.co.jp/shinkan/shin0503_03.html
代数方程式のガロアの理論(ISBN4-320-01770-6)Jean-Pierre Tignol著 新妻 弘訳 A5,360頁,3200円
第10章 ラグランジュ
10.1 方程式の理論の成熟
10.2 既知の方法に対するラグランジュの考察
10.3 群論とガロア理論の最初の成果
(引用おわり)

Jean-Pierre Tignol「代数方程式のガロアの理論」P307に
”付録:ガロアによる置換群の表現”としてガロア記法>>27の解説がなされている
これはなかなか興味深いね

P311には、
「順列群というガロアの記述において、疑いのない明確な点は部分群、特に正規部分群の概念がこれから見ていくようにかなり自然なやり方で発生することである。」と書かれている

 つまり、正規部分群こそがガロアの理論の核心であり、オリジナルな点だが、それはガロア記法があったればこそと言えよう

なお、ブルーバックス「ガロアの理論」中村亨>>2は高校生向けのガロア記法の解説であり、
Jean-Pierre Tignolは、大学の講義用の専門的な解説になっているので、両方読まれることをお勧めする

35 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/13(金) 22:31:54.80
(再録)
>>14
補足

数学に直感を取り戻そう!
難しいことをやさしく
複雑なことを本質を抽出して単純化する

複雑なことを図式化し見える化する
細部に立ち入る前に全体像を把握する(ジグソーパズルと全体像)
途中で分からなくても最後まで通してみる

視点と切り口
思考の補助線
複数の本を見る

こんなところが、このスレの重要キーワードだ

36 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/13(金) 22:32:32.79
>>35
補足

思考の補助線って本があるんだね
ある数学的対象があって、数学の理論がある
「補助線は何だ」という視点で学んでゆくことは大事だと思う
http://rinribenkyouhou.seesaa.net/article/155740162.html
思考の補助線: 文系国公立大学受験・勉強法ブログ(^o^)/ 2009年08月08日

37 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/13(金) 22:33:09.44
>>35
補足

(再録)
ある事象Aについて、見る視点によって、見え方が違うという場合がある
というか、多少複雑な事象については、視点を変えてみる必要がある場合が多い

例えば、Aが四角形の形に配列された煙突だとすると、視点によっては3本に見えたりする
上空から見れば、配列は一目瞭然としても、上空に上がれない場合にはその配列を周囲から調べるしか配列を知る方法はない

38 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/13(金) 22:33:57.77
(再録)
>>35
補足
>視点と切り口

モース理論というのがある
複雑な対象を切り口で考えるのだと思う(下記)

http://www.sci.osaka-cu.ac.jp/~hashimot/tateshina.htm
『ADHM 構成』歴史おぼえがき 2002 年8月
(抜粋)
素粒子論は湯川秀樹の中間子論に始まる.彼の理論には二つの特徴があった.一つは新粒子を導入したこと,もう一つは場の理論の枠内にとどまったことである(『場の理論』は平坦な抑揚で読むこと).
一方,西洋を中世から近代へと移行せしめた『オッカムの剃刀』という格率のせいなのか,ヨーロッパの物理学者たちは新粒子の導入に慎重であり,
また,若き日に量子力学の開拓者たちであった彼らは,subatomic な領域に足をふみいれるにあたり,自分たちがつくりあげた量子力学を惜しげもなく捨てるというより過激な方向にむしろ魅力を感じていた.
東洋人であって西洋近代の格率のもとにいなかったことと,時期的・地理的要因により量子力学に後から追随する位置にいたことが,湯川を独創的にした,という見方もある.(小平邦彦の複素多様体論についても同様のことが言えるかもしれない.)

3.現代数学という衝撃
話をもどそう.つづいて物理学者たちの競争は多重インスタントンへと向かう.アノマリーの Jackiw や当時まだ無名の Witten も参戦してきた.そんな中, 4 人の数学者が 4 次元ユークリッド空間上の多重インスタントンを完全に分類した論文を Physics Letters に提出した.
それが ADHM である.物理学者にとって重要かつホットな問題に対し,そのさなかに数学者のみによるインパクトある仕事が提出される,というのは過去に例のないことではなかったか.
しかもその手法が,それまで物理学者たちには全くなじみのなかった代数幾何という分野の,それも層係数コホモロジーの言語で書かれた現代的なものであった.
Polyakov は「現代数学が役に立つのをはじめて見た」と周囲に漏らしたと伝えられる.この衝撃が若き日の Witten の眼を現代数学へと向けるきっかけとなったのではないかと推察される.
(引用つづく)

39 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/13(金) 22:34:33.21
>>38
>>43
(引用つづき)
Bott は各地の物理学者たちの前で,Atiyah と彼とのゲージ理論について講演して回ったのだが,その反応は熱いものではなかった.しかしそんな中にあって一人の男が鷹のように Bott のことばを追ってきた.Witten である.
彼は Bott の講演から,後に言う Witten のモース理論を着想する.後日,Bott は彼から一通の手紙を受けとる.そこには,「Bott 先生,わたしはついにモース理論がわかりました!」と記されていた.
それは奇しくも,かつての弟子 Smale が直伝のモース理論にさらに磨きをかけついに高次元ポアンカレ予想を解決したときに Bott に告げたのと同じことばだったという.

5.あれでもなくこれでもなく
Donaldson や Kirwan といった "Atiyah の子どもたち" は,Bott の来訪を毎回サンタを待つように楽しみにしていたという.
Donaldson の論文 "An application of gauge theory to four dimensional topology" の題が Bott の若い頃の論文の題と似ているところに,そのあたりの雰囲気が表れているように思う.
Donaldson のこの論文は,ADHM とも Atiyah-Bott とも違う道を切り開くものであった.
すぐ近くで誕生した ADHM も Atiyah-Bott も深い理論であり,また当時できたばかりだからやることはたくさんあったはずである.
事実 Donaldson はそれぞれに関連する仕事もしている.しかし彼は,それとは別に 4 次元トポロジーへの応用という思いもよらぬ方向へと一歩を踏み出した.
彼の理論は,Rochlin の定理しかなかった 4 次元トポロジーの状況を打開しただけでなく,異種 4 次元ユークリッド空間という存在をわれわれに示してくれた.
こんなものがあると知っただけでも数学を勉強した甲斐があったというものではないか.Witten はこう言っている,「Donaldson 理論は時空の幾何を理解する鍵である.」
(引用おわり)

モース理論までいかなくとも、製図の正面図は平面図がある
立体を平面に表す
もちろん、1面では無理で、3面を必要とする
同じように、複雑な対象は一つの切り口だけでなく、複数の切り口を使うべし

40 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/13(金) 22:42:31.66
(再録)
これも面白い

http://www.sci.nagoya-u.ac.jp/kouhou/10/p14_15.html
眠りから覚めた微分ガロア理論 梅村 浩 多元数理科学専攻教授 名古屋大学理学部・理学研究科 広報誌 No.10 p14_15

彼らはガロア理論を発見した。ガロア理論を次のように説明することができる。
(1)代数方程式は隠れた対称性をもっている。この対称性はガロア群*3で記述される。
(2)ガロア群を観察すれば、公式(1)を一般化する公式がつくれないことが証明できる。
 方程式の場合、目のつけどころであるカナメの部分がガロア群である。ヒヨコのお尻と違って、方程式の対称性であるガロア群は隠れているので、発見するのが難しいのである。
 ガロア理論は上に述べた歴史的難問の解決に役立っただけではない。19世紀以降の数論、代数幾何学の発展はガロア理論なくして考えられない。たとえば300年を越える眠りから覚めたフェルマの最終定理の証明もそうである。

忘れ去られたアイデア

代数方程式とならんで大切なのが微分方程式*4である。科学の多くの問題が微分方程式記述できることからもその重要性が推察できよう。
代数方程式においてガロア理論が重要な役割をはたすのを見て、リー*5はガロア理論を微分方程式に対してもつくろうという着想をもった。微分方程式のガロア理論は微分ガロア理論とよばれている。つまり、リーは微分ガロア理論をつくろうと考えた。
ところがこれは難しい問題である。その理由は2つあって、1つは理論が本質的に無限次元*6であること(略)
有限次元の理論さえなかった当時、リーは有限次元の理論からつくり始めなければならなかった。リーのアイデアの実現は20世紀の初めまで盛んに試みられたが、問題が難しいこともあって放棄され、ついには忘れ去られてしまった。
私は1996年に、20世紀初頭に活躍したフランスの数学者ヴェッシオ*7の晩年の1つのアイデアを現代代数幾何学*8と結びつけることにより、新しい無限次元微分ガロア理論を提案した。
数年後海外で話題となった。現在はこの分野の研究に注目する数学者が増えてきた。無限次元微分ガロア理論は数十年の眠りから覚めて復活したのである。
1980年代からひそかにこの分野の重要性に注目して、研究をしていた私にとって、復活のための一翼を担うことができたのは、うれしいことである。

41 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/13(金) 22:43:40.52
>>40
”(1)代数方程式は隠れた対称性をもっている。この対称性はガロア群*3で記述される。”
この視点が気に入った
「隠れた対称性」というキーワードが気に入った!

42 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/14(土) 00:14:00.10
>>39
訂正

モース理論までいかなくとも、製図の正面図は平面図がある
 ↓
モース理論までいかなくとも、製図の正面図や平面図がある

43 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/14(土) 06:01:16.16
age

44 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/14(土) 06:27:33.96
(そろそろ新しい話題を)

前スレ432で紹介の
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1331903075/432

高瀬正仁氏のブログ これは一読の価値あり
(URLが通らないので、右記のキーワードで検索乞う: 日々のつれづれ オイラー研究所の所長 )
2012-04-14-Sat ガウスの数学日記 1 発見されるまで

45 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/14(土) 06:38:33.83
>>44
>(そろそろ新しい話題を)

補足
旧スレからいろいろ引用したのは、いわゆる「テンプレ」です

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1415823529
2ちゃんねるに「テンプレ」という単語を時々見かけます。テンプレとは何ですか?? 2008/4/8
(抜粋)
長期になると自然発生的にスレッドを説明する雛形が出来、
>>1>>10辺りまでの始めに書かれている事を指しています。
(引用おわり)

さらに補足
新スレを立てると、三日間くらいで30スレを超えないとDAT落ちする場合がある
それを防ぐために、旧スレからの引用で「テンプレ」をかねて30超えくらいまで埋めたのです

46 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/14(土) 06:43:55.94
>>44
>(URLが通らないので、右記のキーワードで検索乞う: 日々のつれづれ オイラー研究所の所長 )

補足
これ(URLが通らない)は、たまに経験する
普通は、宣伝に貼られたURLを禁止するためにそのURLを書き込めなくする場合が多い
高瀬正仁氏のブログ自身が問題なのではなく、何か類似のURLが問題で、おそらくURL中のキーワードでチェックを掛けていて、巻き込まれたと思う
キーワード: 日々のつれづれ オイラー研究所の所長
で検索すると、いろいろヒットしてこれはこれで面白い

47 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/14(土) 06:55:32.27
ネット検索で引っかかったのでご紹介

http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/index.html
大阪大学 落合 理 の ホームページ
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/work.html
(PDFファイルがある)
それ以外の原稿など
玉原数論幾何研究集会(2011/5/30-6/2) におけるBeilinson-加藤Euler系のまとめ原稿 (pdf.file)

日本数学会秋季総合分科会代数学特別講演の発表原稿 (pdfファイル)

雑誌「数学」(日本数学会)の2008年7月号記載
「p-adic Automorphic forms on Shimura Varietiesの書評」 ---肥田理論の紹介--- (pdfファイル)

2007年秋エコール・ノルマルでの勉強会における自分の発表原稿(\varphi-\Gamma-moduleの計算について) (pdf.file)
パリ北大学で主催した 勉強会``モジュラー形式のp-進L函数" (2006年秋)で自分の発表分の解説記事
``楕円モジュラー形式の1変数p-進L函数(仏語)” (pdf.file) と``楕円モジュラー形式の2変数p-進L函数(英語)” (pdf.file)

雑誌「数学セミナー」(日本評論社)の2006年3月号記載 連載「現代代数学のあゆみ」の第17回目 ``ワイルズ"の原稿の古いバージョン (pdfファイル)

Japan-Korea joint number theory seminar (2006/1/5-8) ``p-adic L-functions for Galois deformation spaces and Iwasawa Main Conjecture "のOHP原稿 (pdfファイル)

群馬大学工学部における(物理、工学者向け)サーベイトーク (2005/8/5) ``Weil予想と数論幾何"のOHP原稿 (pdfファイル)

Greenberg's conference(2005/6/13-17) ``Greenberg's view on generalizing Iwasawa theory via Galois deformations"のOHP原稿 (dviファイルと (pdfファイル)

Iwasawa2004(2004/7/5-9) ``On the two-variable Iwasawa theory”のOHP原稿 (psファイルと (pdfファイル)

大阪大学談話会(2003/10/27) ”岩澤理論の一般化とガロア表現の変形空間”のOHP原稿 psファイル (1,2,3) とpdfファイル



48 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/14(土) 07:30:04.89
前スレ430より再録
>ジグソーパズルの各ピースを見ていても理解は進まない
>だが、各ピースを見ないと、全体像が理解できない。数学の本を読むのはなかなか大変だ(一部の天才は別として)
>
>わんこら式>>449というのも一理ある
>前の方で分からないところが出てくる。だが、最後まで読むと、後ろの方で関連したところが出てきて、「ああ、そうか」と分かる場合がある
>
>早く最後まで読んで、また前から読むべし。全体像を掴みながら
>これが良いのでは・・

昔なにかで読んだが、数学科の先輩に「高木の解析概論は1週間くらいで読め」と言われたと
そのときはびっくりしたが、いま思うと「ちんたら読んでもかえって分からない」という意味だったのかも

ジグソーパズルの各ピースを見て「きれいな色のタイルだ」と思ったとしても
それだけでは、全体の絵柄は分からない

”微分積分”=少し(微)分かった。分かったつもり(積もり)と
だが、初等的な”微分積分”からさらに進んで、微分方程式、偏微分方程式、複素関数、演算子法、フーリエ変換、超関数・・・と進んでいくと、こてこてしたイプシロン−デルタとは違った世界が見えてくる

”微分積分”をさらに高い立場から俯瞰し把握することが真の理解ではないだろうか?
初等的な”微分積分”の範囲で、いくら理解しようともがいても決して到達できない高みに立て

49 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/14(土) 07:31:51.05
前スレ429より再録
>つまり、ガロアはラグランジュ、アーベル、ガウスといった巨人たちの肩の上に乗って仕事をしたのだ
>もちろん、巨人たちの肩の上に乗ること自身大変なことなのだが、ともかく遠慮なく巨人の肩の上に乗れ

ガロアは天才だった、巨人の肩に乗る・・
巨人の肩に乗るにも基礎体力が必要で容易なことではない

が、遠慮はいらない
グロタン師であれ、佐藤幹夫であれ、肩に乗って良い

かれらもそうして来たのだから・・

50 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/14(土) 07:48:02.74
>>48-49

エベレスト
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%99%E3%83%AC%E3%82%B9%E3%83%88
1920年代からの長きにわたる挑戦の末、1953年に英国隊のエドモンド・ヒラリーとシェルパのテンジン・ノルゲイによって初登頂がなされた。(1953年、酸素装備の改良、登攀技術の研鑽などによって満を持したイギリス隊が送り込まれる。)
1970年5月11日 - (日本人初登頂) - 松浦輝夫・植村直己
1975年5月16日 - (女性初登頂) - 田部井淳子
(引用おわり)

最初にエベレストに登った人はえらいが
いまから登る人は、それなりに準備をしてゆくべき
遠慮はいらない
グロタン氏が登ったエベレストに無酸素初登頂する必要はないだろう

51 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/14(土) 08:03:53.66
>>48-49
地図(ランドスケープ)を持つ
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BC%8A%E8%83%BD%E5%BF%A0%E6%95%AC
伊能忠敬
シーボルトが国外に持ち出した伊能図の写本は、日本に開国を迫った際にマシュー・ペリーも持参している。
ペリーはそれを単なる見取図だと思っていたが、日本の海岸線を測量してみた結果、きちんと測量した地図だと知り、驚愕したと言われる。
(引用おわり)

ペリーも黒船で日本に来るときに伊能図を準備している

(前スレ294より再録)
>うん、そうそう。私もソレは全く同じ印象ですね。だからグロタンがや
>った事は『数学が正しく行われる場所を与えた』という事で、正に新約
>聖書の役割を果たしていると思いますね。

猫さん、乙です

グロタンディークの頭の中には、ランドスケープがすでにあって、それを文字にしていった
そういう風に考えます
そうでなければ、あの仕事量は理解できない

佐藤幹夫も同様で、ランドスケープが先にあった
佐藤の場合は、自分で書かずに弟子が書いたんだけれど
佐藤幹夫は偉大です

グロタンディークと同様に、彼の前と後とでは世界が変わった

52 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/14(土) 08:06:33.10
(前スレ265より再録)
>斎藤毅

http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/
Takeshi Saito's Home Page: 和文のページ
(余談:和文の方が情緒が出ているね)

>完全な証明をつけるのですから, 図などを使って読者の直観に訴えるのは反則なのです.

これと反対のことを言おう
ナスカの地上絵、遠目の富士

ナスカの地上絵
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8A%E3%82%B9%E3%82%AB%E3%81%AE%E5%9C%B0%E4%B8%8A%E7%B5%B5
あまりにも巨大な絵が多く、空からでないとほとんどの地上絵の全体像の把握が難しい。

遠目の富士
http://www.marino.ne.jp/~rendaico/kakuei/phirosophy_zinbutuhyo.htm
「遠目の富士だ。遠くに見る富士は颯爽として美しい。近くに行けば瓦礫の山さ。石ころばかりだ 」。
(引用おわり)

遠目の富士は引用文と趣旨がだいぶ違うが、ナスカの地上絵も言いたいことは、近くでは単なる石ころだが離れて見ないと意味わからん場合もあるよと

53 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/14(土) 08:19:47.71
>>52
補足

数学は語学と似ているところがある
毎日やって慣れることが良いと思う
英語の辞書を覚えても、それだけでは英語をマスターしたとは言えない
文は単語から出来ているからと、文を単語に分解しただけでは意味はとれない

ユークリッド原論
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E5%8E%9F%E8%AB%96
論証的学問としての数学の地位を確立した古代ギリシア数学を代表する名著。
『原論』ではいくつかの定義からはじまり、5つの公準(要請)と、5つ(又は9つ)の公理(共通概念)が提示されている。
議論の前提となる点や線、直線、面、角、円、中心などの概念が定義され、次のような5つの公準を真であるとして受け入れることにより、作図の問題の基礎を明確にしている。
(引用おわり)

定義からはじまり、公理、定理とつづく
その一つ一つは、単語だ
全体を一つの文章として理解しようとする努力がなければ、いつまで経っても理解できない
というか、まず全体像(ランドスケープ)を持つことが可能ならば、理解は容易になるだろう・・
遠慮はいらない、いまからエベレストに登る人は、利用できるもの何であれどんどん使えば良い

54 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/14(土) 08:55:35.09
(前スレ81より再録)

英語のwikipediaに対する一つのテクニックとして、まず日本語のwikipediaの検索ページを開く
そして、左端の言語のEnglishのところをクリックする
そうすると、日本語のwikipediaの検索に対応する英語の記事に飛ぶことができる

数学では、英語のwikipediaの記事が圧倒的に情報量が多いね

55 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/14(土) 08:58:06.77
>>54
で本題は類体論

日本語ではこれだけ
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A1%9E%E4%BD%93%E8%AB%96

で、左端の言語のEnglishのところをクリックすると・・、おおこんなに情報が・・
http://en.wikipedia.org/wiki/Class_field_theory

56 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/14(土) 09:07:58.87
>>55 つづき


http://en.wikipedia.org/wiki/Class_field_theory
References
Conrad, Keith, History of class field theory. pdf
http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/gradnumthy/cfthistory.pdf
がある

これがなかなか面白

57 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/14(土) 09:47:01.27
>>56
で、Conrad, Keithさんのページ
http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/
Expository papers
These were written up for various reasons: course handouts, notes to accompany a talk for a (mathematically) general audience, or for some other purpose that I have since forgotten.
If you find typographical or other errors in these files, or have comments, please let me know. Files that are revised will be reposted without any indication that they have been changed (sorry).
(以下多数の文献)
(引用おわり)

History of class field theory は、上記のAlgebraic number theory の中の一つということがわかる

58 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/14(土) 09:58:11.62
>>57
で、さらに遡るとこんなところも

http://www.math.uconn.edu/~kconrad/
Keith Conrad (写真あり)
抜粋
Summer program courses
(リンクあり)
What is a Reciprocity Law? (Yaroslavl, Summer 2011): Lecture 1, 2, 3, 4

Number Theory in Quadratic Fields (Lisbon, Summer 2011)

Diophantine Equations (Ross program, Summer 2008)

Elliptic Curves and Arithmetic Progressions of Squares (Ross program, Summer 2007)

Sums of squares (USA/Canada Mathcamp, Summer 2005)

Quaternion algebras (Ross program, Summer 2004)

Analogies between integers and polynomials (Ross program, Summer 2003)

Zeta and L-functions (PROMYS program, Summer 2000)

59 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/14(土) 11:27:38.33
>>44 つづき
高瀬正仁氏のブログ これは一読の価値あり
(URLが通らないので、右記のキーワード+下記で検索乞う: 日々のつれづれ オイラー研究所の所長 )
2011-01-15 リーマンを語る 101. ガウスがアーベルを無視した理由(その6)
(抜粋)
アーベルに取って代数方程式の代数的可解性の問題はきわめて重く、この問題に決着をつけることができたなら、まちがいなく数学史に刻まれるべき歴史的偉業です。
ガウスにとってはどの程度の問題だったのでしょうか。

次数が5以上の代数方程式に対して解の公式が存在しないことは、すでに学位論文の時点で自覚していました。
それにもかかわらず、次数がどれほど高くとも代数的に解ける方程式が存在することも承知したうえで、代数的可解性を左右するのは「根の間の相互関係」であることを認識し、円周等分方程式によって具体的に例示しました。
しかもその円周等分方程式をどのように解いたのかといえば、今日のいわゆる「ガロア理論」に沿う解法手順がそのままなぞられています。

 代数的可解性は「根の間の相互関係」で定まるという認識はアーベルに継承されてアーベル方程式の概念を生みました。
円周等分方程式を代数的に解く解き方ををモデルにして「ガロア理論」もまた生まれました。そんなガウスにとって「不可能の証明」などは当然のことで、わざわざ証明するまでもないことだったのではないでしょうか。
しかもガウスの円周等分方程式論の真意は代数方程式論にあるのではなく、ガウス平方剰余相互法則の証明という、数論の法則の証明の原理をそこに見いだそうとして努力を重ねていたのでした。

 ガウスは「不可能の証明」程度のレベルをはるかに超越した地点に立脚して、なお遠くを見ようとしていたのですから、今さら「不可能の証明」などを書き綴られてもじゃまなばかりで、ただうるさかったのではないでしょうか。
ガウスの心情の世界では、ルジャンドルにおける「補助的素数の使用」「相互法則という用語」「ルジャンドルの記号」「フェルマの小定理を始点とする相互法則の定式化」と、アーベルにおける「不可能の証明」はぴったり対応するように思われてなりません。
 ガウスはリーマンも複素関数論もほめませんでしたし、ガウスにほめられた人はごくわずかなのですが、例外中の例外はアイゼンシュタインです。

60 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/14(土) 11:40:57.70
>>59
> ガウスはリーマンも複素関数論もほめませんでしたし

ここは少し違うかも
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3
1851年にガウスのもとで論文「1複素変数関数の一般理論の基礎づけ」を提出して博士号を取得、1854年には「幾何学の基礎にある仮説について」で大学教授資格を取得した。
(ガウスは若い数学者をほとんど評価しなかったが、リーマン幾何学に関する講演を高く賞賛した。)

えーと英語版には出てこないから、上記は高木の近世数学史談によるのだろう
http://en.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemann
”Gauss”の出てくる箇所は下記4箇所のみ
However, once there, he began studying mathematics under Carl Friedrich Gauss (specifically his lectures on the method of least squares).
Gauss recommended that Riemann give up his theological work and enter the mathematical field; after getting his parents' approval, Riemann transferred to the University of Berlin in 1847.[1]

Euclidean geometry versus Riemannian geometry
In 1853 Gauss asked his student Riemann to prepare a Habilitationsschrift on the foundations of geometry.
The subject founded by this work is Riemannian geometry. Riemann found the correct way to extend into n dimensions the differential geometry of surfaces, which Gauss himself proved in his theorema egregium.

61 :あんでぃ:2012/04/14(土) 13:27:36.54
[T⇄X]
[G⇄M]
[O⇄H]
[W⇄J]
[RC⇄PF]
残り7組

62 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/14(土) 13:28:57.77
こんなページが

http://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/techterm/equ5.html
五次方程式の代数的解法

Wolfram の site の中に Quintic Equationという page があって, ここに良い解説 (英語だが) が出ているのでご覧ください。
http://mathworld.wolfram.com/QuinticEquation.html

五次方程式の冪根による解法が不可能であることを完全な厳密さを持って証明するのはそれほど難しいことではないであろう。
Carl Friedlich Gauss
学位論文
あらゆる一変数整有理的代数函数は一次若しくは二次の実素因子に分解されるという定理の新しい証明,
1797, 第 9 条

四次を超える方程式の一般的解法, 言い換えると, 混合方程式の純粋方程式への還元を見出そうとする卓越した幾何学者たちのあらゆる努力は, これまでの所常に不首尾に終わっていた。
そうしてこの問題は, 今日の解析学の力を超えているというよりは, むしろある不可能な事柄を提示しているのである。
Carl Friedlich Gauss
整数論, 1801,
第 7 章 円周等分方程式論

63 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/14(土) 15:30:26.86
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む1の http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/439でも紹介したが

http://www15.ocn.ne.jp/~janpal/webdoc/HtmlDoc/materilist.html 翻訳リスト (ここに沢山の興味深い論文の翻訳がある)
数学三大予想の証明
フェルマの最終定理
Wilesモジュラー楕円曲線とフェルマの最終定理 PDF
Wiles&Taylor 或るHecke代数の環論的性質 PDF
Faltings TylorとWilesのFLTの証明 PDF

志村-谷山-Weil予想
Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond, and Richard Taylor Q 上の楕円関数のモジュラリティーについて--- 野性的3 進表現の場合?? PDF
Henri Darmon 完全志村-谷山-Weil 予想の証明が宣言された! PDF

ポアンカレ予想
Grisha Perelman Ricci フローのエントロピー公式とその幾何学的応用 PDF
Grisha Perelman 3 次元多様体上の手術付きRicci フロー PDF
Grisha Perelman 或る3次元多様体上のRicci フローの解に対する有限消滅時間 PDF
Takasi Shioya and Takao Yamaguchi 下界曲率をもつ崩壊3次元多様体の体積 PDF
Michael T. Anderson Ricci フローからみた3次元多様体の幾何化 PDF

関連文献
Ribet ガロア表現とモジュラー形式 PDF
R.Taylor Galois Representations PDF
Shimura Goro ON ELLIPTIC CURVES WITH COMPLEX MULTIPLICATION AS FACTORS OF THE JACOBIANS OF MODULAR FUNCTION FIELDS PDF
John Coates Kenkichi Iwasawa(1917-1998) PDF
Michael T. Anderson REMARKS ON PERELMANN'S PAPERS PDF
S.K. Donaldson SCALAR CURVATURE AND STABILITY OF TORIC VARIETIES PDF

物理関連
S.W.Hawking Information Loss in Black Holes, 15 Sep 2005 PDF
Edward Witten Comments On String Theory, 19 Dec 2002 PDF
ClaudeLeBrun Polarized 4-Manifolds, Extremal Kahler Metrics, and Seiberg-Witten Theory PDF

64 :132人目の素数さん:2012/04/14(土) 17:28:19.26

     _______                     __
    // ̄~`i ゝ                    `l |
    / /        ,______   ,_____    ________  | |  ____ TM
   | |     ___ // ̄ヽヽ // ̄ヽヽ (( ̄))   | | // ̄_>>
   \ヽ、   |l | |    | | | |    | |  ``( (.  .| | | | ~~
      `、二===-'  ` ===' '  ` ===' '  // ̄ヽヽ |__ゝ ヽ二=''
                         ヽヽ___//   日本
         ______________  __
         |街宣車両の正体  朝鮮人工作員     .| |検索|←をクリック!!


65 :あんでぃ:2012/04/14(土) 18:02:11.07
[T⇄X]
[G⇄M]
[O⇄H]
[W⇄J]
[RC⇄PF]
残り7組

66 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/14(土) 22:09:34.77
>>64 age乙!
>>65 あんでぃさん乙、ageで書いてくれると助かるなー

67 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/14(土) 22:16:42.29
代数的可解性の原則を検索したが、なかかな良いヒットがない

が、高山 幸秀先生(下記)が良い!
(アスキー文字化けは修正しません(うまくできません)。PDF原文を見てください)
http://www.ritsumei.ac.jp/se/~takayama/galois.pdf
環・体論II | GALOIS 理論
(抜粋)
10.1. 方程式の可解性70
10.2. 5次以上の代数方程式の非可解性72

10.1. 方程式の可解性. 4次以下の代数方程式に「根の公式」が存在するということ
は、それらの方程式が以下に定義する意味で「代数的に解ける」ということである。
定義127 (代数的に解ける). 代数方程式
Xn + a1Xn?1 + ・ ・ ・ + an?1X + an = 0 (ai ∈ C)
が代数的に解けるとは、方程式の根が、係数a1, . . . , an と有理数を使った四則演算
とべき根( m√?, m ? 2) 演算を使って表せることを言う。
このことを代数拡大の理論から見れば、次の概念でとらえることができる。
定義128 (べき根による拡大). 有限次代数拡大L/K が、べき根による拡大である
とは、体の列 K = K0 ⊂ K1 ⊂ ・ ・ ・ ⊂ Kr = E
で各Ki (i ? 1) はKi?1( ni√ai) の形で得られるものが存在し、L ⊂ E となっている
場合をいう。特別な場合としてE = L となる場合も当然含む。ただし、ai ∈ Ki?1
で、Xni ? ai ∈ Ki?1[X] は既約であるとする。

2つの定義を見比べれば、以下のことが直ちに従う。
命題129. 代数方程式
f := Xn + a1Xn?1 + ・ ・ ・ + an?1X + an = 0 (ai ∈ C)
の根をx1, . . . , xn ∈ C とし、拡大体K := Q(a1, . . . , an) ⊂ L := K(x1, . . . , xn) を考
える。このとき、以下は同値:
(1) f = 0 が代数的に解ける。
(2) L/K はべき根による拡大。

68 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/14(土) 22:23:14.33
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む1の372、376より再録
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/372-376
372 自分返信:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日:2012/02/26(日) 16:11:33.11
>>371
つづき

1.V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベント(ガロア分解式)は、”a,b,c・・・は、(重根を持たない)で問題の方程式の根、A,B,C・・・は根の置換で異なる値をとる”ように定めた>>28
  だから、Vを変えない置換は恒等置換eのみ
2.ここで代数的可解性の原則を認めて、元の方程式が解けるためには、根a,b,c・・・の有理式から補助方程式を作って、補助方程式の根を添加することで、方程式を解くことを考えてみよう
3.ラグランジュの定理を補助線として、Vを見ると、Vを変えない置換は恒等置換eのみだから、Vはどんな根の有理式を持ってきても、それは必ずVの有理式で表されるという構造になっているんだ(ここポイント)
4.で、>>343
 ・ある根の有理式を持ってくる
 ・その有理式で根a,b,c・・・の置換を行なって、値の異なるものを集める
 ・そうして、最小定義多項式(=補助方程式)を作る(補助方程式は根と係数の関係から、元の体の数になる)
 ・最小定義多項式には、有理式の置換で異なる値(補助方程式の共役な根)が含まれる
 ・補助方程式を全部添加して、ガロア(分解)方程式F(x)=(x-V)(x-V')(x-V'')・・・・(x-V''*)の因数分解(可約性)を見ると、因数分解できるときは補助方程式のガロア群をHとしてHがもとの方程式のガロア群Gの正規部分群になってしまうんだと
 ここは、上記の>>345-348

376 自分返信:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日:2012/02/26(日) 17:31:21.27
>>372
代数的可解性の原則は、下記のP26などをご参照。倉田>>4なら、P154など
http://homepage2.nifty.com/cakravala/historyofequation.pdf >>321
方程式論の歴史(平成14年)

69 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/14(土) 22:37:55.09
>>68
代数的可解性の原則:元の方程式が解けるためには、根a,b,c・・・の有理式から補助方程式を作って、補助方程式の根を添加することで、方程式を解く

もう一つの切り口が、べき根拡大>>67
代数的可解性とは、べき根拡大→べき根で方程式の根a,b,c・・・を表すことができる→逆に見ると補助方程式のべき根は根a,b,c・・・の有理式、というのは至極当然に見えるだろう

方程式論の歴史(平成14年)は、代数的可解性の叙述がいまいちはっきりしない
その点、倉田>>4ははっきりしている。(方程式論の歴史(平成14年)は倉田を参考にしているように見える)
足立 ガロア理論講義 http://www.nippyo.co.jp/book/2113.html は、高山>>67と同じくべき根拡大を前面に出しているね

70 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/14(土) 22:55:34.16
>>67

高山 幸秀先生、これも良いね。読みやすい。目次がないと思ったら、最後にあったorz
http://www.ritsumei.ac.jp/se/~takayama/group.pdf
代数学序論I,II

71 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/14(土) 23:07:53.83
高山先生! 面白すぎるよ!
http://www.ritsumei.ac.jp/se/~takayama/reHist.html
私の研究物語 (抜粋)
1993年以前 数学を勉強していた時代
京都大学理学部で主に可換環論と(Grothandiek以前の)代数幾何学を勉強する。
微積分を含めた解析学を「高校数学の延長」と馬鹿にしてほとんど勉強しな かった事と、それをカバーできる程代数学が抜群に出来た訳でもない事から、院入試に落第ししばらくグレる。
(ほんとうは「しばらく」なんて程度ではなく、10年ぐらいグレていた。)

1983年 〜 1985年 駆け出しの計算機技術者時代
ふつうの計算機科学者の中にも、真に尊敬すべき人物はいる事を知り、計算機科学はそれなりに立派な学問なんだと思うに至る。
そうこうしているうちに、なぜか理学博士号が取れてしまう。工学博士よりも、理学博士の方が断然カッコ良くてエライのだと思っているので、大いに喜ぶ。

1992年 〜 1996年 リストラを恐れて大学へ
博士号が取れたおかげで、大学教員として立命館大学情報工学科(のち情報学科) に移れた。転職先として申し分無く、理論計算機科学をやっていて良かったとしみじみ思う。
京大数学科では、私の立命館大学への 転職を聞いて驚いた某教授が「数学科の大学院入試に落ちた奴が、学位取って大学教員にまでなれるなんて、計算機科学ってのはやっぱりいい加減な学問だ」と言ったとか言わなかったとかの噂を耳にする。
真偽のほどはさておき、隠れ純粋数学至上主義者である私としては、大いに納得する。

2000年〜2010年頃 「私は数学者です」
数学に転向してから 自分は生まれた時から一貫して純粋数学至上主義者であったし、これからもそうであることに気づく。
自分にも数学のゴミ論文が書けることがわかり勇気百倍。これからは、自分の事を「『自称数学者』を自称する者です」とも「『数学者』を自称する者です」とも言わず「私は数学者です」と言うことにした。

2010年頃〜 「私は数学者ではありません」
その後、数学研究者としてどうにかこうにかやってきたのだが、学生時代からずっと数学だけやってきた数学者と、しばらく外の世界をほっつき歩いていた私との メンタリティーのえも言われぬ違いの大きさに気づく。
そこで2010年頃から、「私は数学者でも何でもありません、その辺のおっさんです」と言うようになった。

72 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/14(土) 23:12:18.71
高山先生、これも紹介しておく
http://www.ritsumei.ac.jp/se/~takayama/myprofile.html
研究分野
1996年頃までは理論計算機科学者として長年プログラム理論を研究していた。
それ以降は、可換環論に転じ、特にStanley-Reisner環、単項式イデアル、極小自由分解、局所コホモロジーなどを調べている。
最近は密着閉包理論や特異点理論などにも興味を持っている。

73 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/14(土) 23:17:43.32
>>71
下記、おそらく間違いで訂正しておく

1993年以前 数学を勉強していた時代
 ↓
1983年以前 数学を勉強していた時代

(参考)
http://www.ritsumei.ac.jp/se/~takayama/myprofile.html
経歴
1958年 三重県津市生まれ。
津市立修成小学校、私立高田中学、三重県立津西高等学校(第1期卒業生)、学校法人河合塾を経て(!!)京都大学理学部入学(1978年)
1983年 京都大学理学部卒業(数学専攻)
同年 沖電気工業株式会社入社
総合システム研究所にて逐次型推論マシンSIMのネットワークサブシステムの開発に従事
1985〜1989年 財団法人新世代コンピュータ技術開発機構に出向
定理自動証明システム、知的CAIシステム、構成的論理に基づくソフトウエア検証合成システムの研究開発に従事
1989〜1992年 沖電気工業株式会社復帰、
総合システム研究所、電子システム研究所、関西研究所にて 構成的プログラミングシステムSHUTENの開発を行う。
1991年 京都大学にて博士(理学)を取得
1992年 立命館大学理工学部情報工学科助教授
1994年〜 立命館大学理工学部情報学科助教授
1996〜1997年 京都大学数理解析研究所長期研究員
2000年〜立命館大学理工学部数理科学科教授
2000〜2001年 エッセン大学招聘研究員
2004年 エッセン大学招聘研究員

74 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/14(土) 23:23:54.78
>>71-73
高山先生いいね
あと、理論計算機科学者として長年プログラム理論を研究していたという経歴を生かして、数式処理とか群論計算プログラミング(あるいはHaskellなど)を学生に教えてあげると良いと思うな

(前スレ416より再録)
http://ja.wikipedia.org/wiki/Haskell
Haskell は高階関数や静的多相型付け、定義可能な演算子、例外処理といった多くの言語で採用されている現代的な機能に加え、パターンマッチングやカリー化、リスト内包表記、ガードといった多くの特徴的な機能を持っている。
また、遅延評価や再帰的な関数や代数的データ型もサポートしているほか、独自の概念として圏論のアイデアを利用し参照透過性を壊すことなく副作用のある操作(例えば 代入、入出力、配列など)を実現するモナドを含む。

75 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/15(日) 07:04:04.17
>>74
>あと、理論計算機科学者として長年プログラム理論を研究していたという経歴を生かして、数式処理とか群論計算プログラミング(あるいはHaskellなど)を学生に教えてあげると良いと思うな

高山先生:学生時代からずっと数学だけやってきた数学者と、しばらく外の世界をほっつき歩いていた私との メンタリティーのえも言われぬ違いの大きさに気づく。
そこで2010年頃から、「私は数学者でも何でもありません、その辺のおっさんです」と言うようになった。

すっかり高山先生のファンになりました
ところで、本題

失礼ながら、立命館と京都大学を比較すれば、大学入学時点で差があることは、教員学生自他ともに認めるところでしょう
そこで、かれらが将来戦う大きな武器になるのが、数式処理とか群論計算プログラミング(あるいはHaskellなど)ではないかと (ガウス、オイラーなみの計算力つく)
(エベレスト登頂の近代的装備だと)

(個人的には)
1.エクセルマクロ(無限級数など)
2.エクセル行列計算、特殊関数計算(ベッセル関数くらいは組み込み済み)
3.数式処理:一押しはMathematicaかな("ウルフラム・リサーチは webMathematica というプログラムも作成している。" http://ja.wikipedia.org/wiki/Mathematica
4.群論計算ソフト
5.Haskellに限定しないが(Lisp、Cなども)、何か一つ数学に役立つであろう適当なプログラミング言語を

東大京大レベルだと、教えなくとも自分たちで勉強すると思いますが

76 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/15(日) 07:15:50.08
>>75
>失礼ながら、立命館と京都大学を比較すれば、大学入学時点で差があることは、教員学生自他ともに認めるところでしょう
>そこで、かれらが将来戦う大きな武器になるのが、数式処理とか群論計算プログラミング(あるいはHaskellなど)ではないかと (ガウス、オイラーなみの計算力つく)
>(エベレスト登頂の近代的装備だと)

昨年だったか一昨年だったかに下記を見つけた
家電量販店の書籍部門で。オライリー・ジャパンなので、プログラミングのところに紛れて置かれていたんだ
これがなかかな面白い。もし図書館にあれば、一度手にとって見てください

http://www.oreilly.co.jp/books/9784873114361/
数学を生み出す魔法のるつぼ――実験数学への招待 オライリー・ジャパン
Jonathan Borwein、Keith Devlin 著、伊知地 宏 訳 2009年12月 164ページ 定価1,890円
原書: The Computer As Crucible

『数学で犯罪を解決する』『数学する遺伝子』に代表される数学読み物のベストセラー作家、キース・デブリンと、実験数学の気鋭の研究者ジョナサン・ボールウェインが実験数学とは何かをやさしく解説します。
数学者が頭をフル回転させて定理を証明する古典的な数学とは違い、実験数学ではコンピュータを道具として使って計算を行い、膨大なデータをもとに数式処理システムなどを利用して予想を立て、検証していく、
つまり文字通り「実験」しながら、数学的発見を行うものです。この書籍では実験数学の魅力と可能性を紹介します。

77 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/15(日) 07:28:25.53
>>76
補足

いまの数式処理は、ある特殊な数値を入れると、その数値を構成する特殊関数の組み合わせを返すそうですね
それが、ガウスなみに賢くて、並みの数学者以上だと

下記は検索でヒットしたのでご参考まで
(URLが通らないので、検索願います。)
数学を生み出す魔法のるつぼ 2009/12/29(火)

1章 実験数学とは何?
2章 πの10進表現で1000兆桁目の数字は何?
3章 この数は何?
4章 数学で最も重要な関数
5章 次の積分を解け
6章 思わぬ発見をする才能
7章 πの計算
8章 コンピュータは人より数学を知っている
9章 極限を取りなさい
10章 危険!コンピュータを使うときにはいつも警戒を
11章 書き残したこと

おもしろかったのは10章ですかね。コンピューターを使って計算する際の注意点。ある級数を数式処理システムで評価すると、答えは1になるんだけど、実はそれが不正解。
収束はするけれど、その値は小数点以下268桁まで1と一致するような値なのだとか。
どんだけ差が小さくても、この答えを“1”と言ってしまうのは間違いなわけで。よくもまあこんなおもしろい問題を見つけるものですね。

78 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/15(日) 07:30:41.13
>>77
補足

>いまの数式処理は、ある特殊な数値を入れると、その数値を構成する特殊関数の組み合わせを返すそうですね
>それが、ガウスなみに賢くて、並みの数学者以上だと

> 6章 思わぬ発見をする才能
> 8章 コンピュータは人より数学を知っている

この6章と8章が面白かった

79 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/15(日) 10:03:50.51
ガウス補足
>>59
>ガウスにとってはどの程度の問題だったのでしょうか。
>
>次数が5以上の代数方程式に対して解の公式が存在しないことは、すでに学位論文の時点で自覚していました。
>それにもかかわらず、次数がどれほど高くとも代数的に解ける方程式が存在することも承知したうえで、代数的可解性を左右するのは「根の間の相互関係」であることを認識し、円周等分方程式によって具体的に例示しました。
>しかもその円周等分方程式をどのように解いたのかといえば、今日のいわゆる「ガロア理論」に沿う解法手順がそのままなぞられています。
>
> 代数的可解性は「根の間の相互関係」で定まるという認識はアーベルに継承されてアーベル方程式の概念を生みました。
>円周等分方程式を代数的に解く解き方ををモデルにして「ガロア理論」もまた生まれました。そんなガウスにとって「不可能の証明」などは当然のことで、わざわざ証明するまでもないことだったのではないでしょうか。
> ガウスは「不可能の証明」程度のレベルをはるかに超越した地点に立脚して、なお遠くを見ようとしていたのですから、今さら「不可能の証明」などを書き綴られてもじゃまなばかりで、ただうるさかったのではないでしょうか。

>62
>五次方程式の冪根による解法が不可能であることを完全な厳密さを持って証明するのはそれほど難しいことではないであろう。
>Carl Friedlich Gauss 学位論文 あらゆる一変数整有理的代数函数は一次若しくは二次の実素因子に分解されるという定理の新しい証明,1797, 第 9 条
>
>四次を超える方程式の一般的解法, 言い換えると, 混合方程式の純粋方程式への還元を見出そうとする卓越した幾何学者たちのあらゆる努力は, これまでの所常に不首尾に終わっていた。
>そうしてこの問題は, 今日の解析学の力を超えているというよりは, むしろある不可能な事柄を提示しているのである。
>Carl Friedlich Gauss 整数論, 1801, 第 7 章 円周等分方程式論

円周等分方程式で、ガウスはべき根と巡回群の関係およびべき根による体の拡大の限界は熟知していたのだろう
早くから、「五次方程式の冪根による解法が不可能であることを完全な厳密さを持って証明するのはそれほど難しいことではないであろう。」と言った

80 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/15(日) 10:09:14.78
>>79
つづき

ガウスがその時代を超越していて、書いたが公表しなかったこと、分かっていたが書かなかったことは、「五次方程式の冪根による解法が不可能であること」だけではない
有名なところでは、複素関数論、楕円関数論、非ユークリッド幾何など

ガウス以外なら、「本当?」と疑うところだが、ガウスの言には説得力がある
ともかく、べき根による数体の拡大には限界があり5次方程式はべき根では解けないということくらいは、ガウスにはほぼ自明だったのかも

81 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/15(日) 10:16:56.02
>>80
つづき

人は、2次3次4次と可能なら、5次もと考える
それが自然だ

しかし、数学でもある低次では成立することが、それ以上の高次のでは事情が異なるということは、方程式論以外でもある
ポアンカレ予想などは逆だった(高次元の方が簡単で4次元が解かれ、3次元が最後まで残った)が、次数が違うと事情が異なるということはありうる
(余談だが、数学的帰納法は逆に次数の低いときの事情がそのまま通用しますという場合に有効)

人は、2次3次4次と可能なら、5次もと考える。それが自然だけれども
低次では成立することが、それ以上の高次のでは事情が異なるということは、方程式論以外でもあって方程式論もその範疇の話だったのだと

そういう切り口の理解も一つ加えておくと良い

82 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/15(日) 10:19:10.57
前スレ126より再録

あと、アナロジーという考えがある
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A1%9E%E6%8E%A8
類推(るいすい)は類比(るいひ)、アナロジー(Analogy)ともいい、特定の事物に基づく情報を、他の特定の事物へ、それらの間の何らかの類似に基づいて適用する認知過程である。
ドイツ語のAnalogieはギリシャ語の?ναλογ?αからの外来語だが、そのギリシャ語での意味は「反ロゴス」である。
類推は、問題解決、意思決定、記憶、説明(メタファーなどの修辞技法)、科学理論の形成、芸術家の創意創造作業などにおいて非常に重要な過程であるが、論理的誤謬を含む場合が高く、論証力としては弱い論理である。
(科学的な新概念の形成過程は、チャールズ・パースによるアブダクション理論として区別される場合が多い)

異なる事象に対し類推することで、共通性を見出す言語的作業が比喩である。 言語学では、言語自体に対する類推が言語の変化の大きな要因とされる。
(引用おわり)

”べき根拡大→巡回群→ぐるぐる回る関係しか表現できない→表現能力に限界がある”>>124ということを
平面多角形の周囲と内部の対角線の複雑さに例えると

対角線は、下記のサイトの図のようになる
http://yosshy.sansu.org/taikakusen.htm

方程式の次数に対応するように、1次方程式には1点のみの図形、2次方程式には2点からなる図形(線分)を、多角形に含める(3次は当然3点からなる三角形)
そうすると、1次、2次、3次までは対角線がない。だから、(対角線に関係しない)巡回群のみで話が済む

4次方程式は、四角形が対応するが、対角線はただ2本だけ。なので、これはまだ巡回群の範囲で扱える*)
だが、5次方程式は、五角形が対応するが、上記のサイトの対角線の図で、この対角線に従う根の置換までを表現する必要が出てくる

で、巡回群は上記のサイトの図で、対角線での置換を除く、周囲の根の配置はそのままで、ぐるぐる回る関係を表現するもの
とすると、五角形になると複雑になって対角線に従う根の置換は、巡回置換(=巡回群)の範囲で収まらない→だからべき根の範囲に収まらない→べき根では解けない と

*)鏡像変換(=3次元空間に持ち上げて180℃反転する)で扱える。鏡像変換は、C2(2次の巡回群)と同型だと

83 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/15(日) 10:20:48.98
前スレ129より再録

ガロアの第一論文の最後の定理>>4

(前スレ440より再録)
話がそれたが、今日の本題は、正十二面体の中で、5次の線形群(位数 5・4=20)を考えてみようと

>正十二面体の面は正五角形をしていますので,星型に五本の対角線が引けます.
>この対角線の一つを一辺とする正六面体を正十二面体の中に内接させることができます.次図のように,これには五種類あります.
>正十二面体はちょうど,正六面体の一つの面に切妻屋根を乗せたような形になっているわけですね.
>まず正六面体の頂点を通る対角線を軸に,120度もしくは240度回す変換があります.対角線は4本ありますので,この種類の変換が計8個あります.
>次に,正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換があります(この軸は,切妻屋根の稜線の中心を通ります).これが計3本あります.
>P(12)〜5xA4=A5

P(12)〜5xA4=A5の中で、5は5次の巡回群=”上記の内接正六面体、五種類で、これをそっくり入れ替える置換”で位数5
だから、位数 5・4=20のためには、A4の部分群で位数4のものを探すと・・・、”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”計3本+恒等置換で計4! これかなと

まとめると、
5次の線形群(位数 5・4=20)は、(A5の部分群で)A4の部分群の”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”の成す群(位数4)と、”内接正六面体、五種類で、これをそっくり入れ替える置換”の巡回置換群(位数5)の組み合わせからから成る群だと

これ(>>435-436)で、A5(5次交代群)と正十二面体や正二十面体群との関係、部分群として5次の線形群(位数 5・4=20)の正十二面体の中での位置づけが見えたと思う
で繰り返しになるが、5次の線形群(位数 5・4=20)までの特殊な5次方程式ならべき根拡大で解ける>>415-416
そのときは、”V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベントが、実はV=Aa+Bb と二つの根で十分だ”>>415という特別な場合だ
しかし、一般の5次方程式の場合は、ガロア群はS5になって、それはA5に落とるが、A5は図形的には正十二面体や正二十面体群で、これはべき根(=巡回群)による正規拡大(=巡回群による群の拡大列)では到達できない群になる
これが、ガロア理論のお話し的な説明なのだ

84 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/15(日) 11:25:28.35
>>82-83
補足

べき根拡大は、巡回群による拡大であり
平面多角形で言えば、図形をぐるぐると回転させる操作を考えていることになる

一方一般の方程式は、例えば5次なら5つの根が5角形の頂点に配置されているとして、回転だけでなく対角線にそって入れ替える置換も考える必要がある(群S5になる)のだと
3次の場合は三角形なので、対角線は無い

4次の場合は四角形で、対角線は2本のみ。これは単純な入れ替え(例えば鏡像変換)で処理できる
なので、4次までは巡回群の延長で処理できる

5次では対角線が増えて、回転操作と鏡像変換の組み合わせでは処理できなくなった・・
これが平面多角形のアナロジーによる、次数が高い場合の方程式解法の切り口(直感的理解)

(そういう自分なりの直感的な理解を増やしてゆくことが大事だ。勿論、重要な理論については細部のところを暗記する必要もある。車の両輪だろう)



85 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/15(日) 11:52:39.12
>>84
>勿論、重要な理論については細部のところを暗記する必要もある。車の両輪だろう)

余談だが、試験対策として定義や専門用語はしっかり暗記する必要がある
東大京大のトップクラスで頭が良すぎて、定義を試験の場で考えて専門用語を試験の場で作る人がいる

それを理解してくれる採点官なら良いが
普通は「定義さえしっかり書けないのか。勉強不足だ」との推定が働く

なので基本的な定義と用語は正確に覚えるのが良いだろう
あと、理解してから使うのではなく使って理解し覚えるべし

(余談)
ほぼ書きたいことは書いたので、あとは流してゆきます

86 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/15(日) 14:21:36.87
これは不思議な本ですね
因みに、ボーア氏は弟の方だとか

http://www.saiensu.co.jp/?page=book_details&ISBN=ISBN4910054701111&YEAR=2011
臨時別冊・数理科学2011年11月
「リーマン予想の数理物理」
〜 ゼータ関数と分配関数 〜

黒川信重(東京工業大学教授)
小山信也(東洋大学教授) 著

第3章 分配関数の零点
  3.1 リー・ヤンの定理とは
  3.2 実例の計算
  3.3 リー・ヤンの定理の証明

第4章 ゼータ関数と分配関数の一致
  4.1 本章の目的
  4.2 数列空間上の作用素C^*_環
  4.3 Q-格子の同値関係の亜群C^*_環
  4.4 ヘッケ環から作るC^*_環
  4.5 数論的多元環とアイゼンシュタイン級数類似
  4.6 類体論
  4.7 虚2次体への一般化

第5章 ウィッテン・ゼータ関数
  5.1 ウィッテン・ゼータ関数
  5.2 ボーア・コンパクト化
  5.3 ボーア・コンパクト化とウィッテン・ゼータ関数

87 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/15(日) 14:27:58.74
>>86
物理の分配関数とゼータ関数の一致?
それに都市計画?

http://www.aokilab.arch.titech.ac.jp/lab/y_notes/notes/89_ynote.pdf
[PDF] 都市とリーマン予想 1 1 1
(抜粋)
1. はじめに
都市とリーマン予想というと、大方の人は、まったく異なる世界を強引に結び付けようとしていると訝るに違いない。筆者もつい半年ほど前までは、都市とリーマン予想に関係など何もないと考えていた。
しかし、筆者が10 年ほど時間を使って研究してきた都市変容の確率過程を記述する基本モデル2)の中で重要な役割を持つ関数が、なんとリーマン予想の主役とでもいうべきゼータ関数と対応しているのであった。
といっても筆者の研究で、明確になったわけではない。筆者の知らない深遠な世界で、物理学者と数学者との共同研究が切開いた結果見えてきたことなのである。
それにしても、以外なところで、現実の都市を解析する世界と数学のもっとも意味深い世界がつながっていることに感動を覚える。
この感動を伝えてみたく、充分理解できない世界のことではあるが、素人なりに述べてみたい。

4.都市とリーマン予想
4.1 統計物理学
都市とリーマン予想を結ぶ仲介者は統計物理学3,4)である。
前述の都市モデルの定式化の結果は、統計物理学に表れる表式と極めて類似している。その全体像のすべてをここで記述することはできないが、本質的な両者の類似を示すため、イジング・モデルを紹介しておこう。

88 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/15(日) 14:34:57.43
>>87
筆者は下記か
ゼータ関数とは結びつきが薄いが、
黒川信重氏がおなじ東京工業ということか

http://spysee.jp/%E9%9D%92%E6%9C%A8%E7%BE%A9%E6%AC%A1
青木義次 プロフィール - あのひと検索スパイシー

青木 義次 アオキ ヨシツグ 職名 教授 所属(本務) 大学院理工学研究科/建築学専攻 所属(協力)
生年月 1946年 04月 連絡先番号 ホームページのURL E-mailアドレス
研究テーマ
都市形態形成の確率論的モデル スキーマグラマーを用いた伝統的空間構成の分析 都市の地理的イメージ形成における概念図式

学歴
東京工業大学理工学研究科理工学研究科社会工学修士課程修了(1972)
東京工業大学工学部社会工学卒業(1970)

職歴
東京工業大学工学部教授 (1991-)
東京工業大学工学部助教授 (1983-1991)
Carnegie-Mellon Univ.Visiting Prof. (1981-1982)
建設省建築研究所研究員 (1972-1983) 委員歴、役員歴 取得学位・学位論文 学位論文 共同研究 著書・発表論文 全件表示 芸術系の活動・フィールドワーク等 全件表示

受賞学術賞
日本都市計画学会論文賞 (2007)
日本建築学会賞 (1991)

所属学会
計算工学会 、地理情報システム学会 、日本火災学会 、日本建築学会 、日本行動計量学会 、日本都市計画学会 図書館へのリンク 所蔵著書一覧 蔵書検索ページ 担当講義へのリンク Tokyo Tech Open Course Ware

89 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/15(日) 17:14:46.97
>>48
>わんこら式>>449というのも一理ある
>前の方で分からないところが出てくる。だが、最後まで読むと、後ろの方で関連したところが出てきて、「ああ、そうか」と分かる場合がある
>
>早く最後まで読んで、また前から読むべし。全体像を掴みながら
>これが良いのでは・・

数学セミナー2012.4月号P11に、長岡亮介氏が書いている
「最近の学生は、筆者の学生時代に比べると、はるかに講義への出席率は良いにもかかわらず、昔以上に躓く人が多い。
 それは、思うに、高校までの数学の勉強の経験が、大学数学を理解する上での障害になっているということである。
 「解き方」をしっかり暗記するという受動的、表面的な勉強こそが数学だという命題が、堅固な信仰箇条のようになっていて、納得できるまで自分の頭で考え抜こうとする努力と、それを完遂したときの歓喜の経験から全く遠ざけられてきたのではないだろうか。」


思うに、しっかり考え抜くということと、全体像を早く把握することとは両立すると思う
車の両輪だ

90 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/15(日) 19:26:10.73
>>89
>思うに、しっかり考え抜くということと、全体像を早く把握することとは両立すると思う
>車の両輪だ

理解して記憶する、これがベスト
それから、絶対覚えなければならないが覚えにくいことはゴロ合せや映像記憶法や理屈付記憶法をとること

自分も経験があるが、理解できない理由
1.先にすすめば分かること:全体像が分かっていないから部分しか見えていないため理解できていない→対策は先に進むこと
2.具体例が浮かばない:あまりにもいままでの経験にないから→対策は理解できる具体例を探す
3.本質的に難しいところ:その理論のキモ(簡単ならだれでも思いついているはず)→対策は繰り返す(読書百返)と多様な切り口(全体との関連や具体例でどうなるとか)を考えてみること

91 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/15(日) 19:27:56.18
>>90
> 3.本質的に難しいところ:その理論のキモ(簡単ならだれでも思いついているはず)→対策は繰り返す(読書百返)と多様な切り口(全体との関連や具体例でどうなるとか)を考えてみること

補足
本が悪いという場合も
書いている人が分かっていない、誤植があるなど
だから、本は複数見た方が良い

92 :132人目の素数さん:2012/04/15(日) 20:30:10.44
いい加減、目覚めなさい

日本という国は、そういう特権階級の人たちが、楽しく、幸せに暮らせるように、
あなたたち凡人が、安い給料で働き、高い税金を払うことで、成り立っているんです。
そういう特権階級の人たちが、あなたたちに何を望んでいるか知ってる?

今のままずーっと愚かでいてくれればいいの。 

世の中のしくみや、不公平なんかに気づかず、
テレビや漫画でもぼーっと見て何も考えず、会社に入ったら、上司の言うことを大人しく聞いて、
戦争が始まったら、真っ先に危険な所に行って戦ってくれればいいの。



93 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/15(日) 21:03:08.26
どうせマルチポストなんだろうが、ここが日本でよかったね
北朝鮮か中国なら・・、すぐ秘密警察に逮捕されるだろうよ、あなた
日本は言論の自由があるから、国家への批判も自由で許される国だ
まずは、日本に生まれたことを感謝したらどうだ?

94 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/15(日) 21:35:27.96
>>41
>”(1)代数方程式は隠れた対称性をもっている。この対称性はガロア群*3で記述される。”
>この視点が気に入った

補足
例えば、5次方程式f(x)=x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e の5つ根α、β、γ、δ、ε
根と係数の関係から、係数は根の基本対称式になる
ここに隠れた対称性といわれる所以がある

http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_polynomial
Symmetric polynomial
Galois theory

One context in which symmetric polynomial functions occur is in the study of monic univariate polynomials of degree n having n roots in a given field.
These n roots determine the polynomial, and when they are considered as independent variables, the coefficients of the polynomial are symmetric polynomial functions of the roots.
Moreover the fundamental theorem of symmetric polynomials implies
that a polynomial function f of the n roots can be expressed as (another) polynomial function of the coefficients of the polynomial determined by the roots if and only if f is given by a symmetric polynomial.

This yields the approach to solving polynomial equations in terms of inverting this map, "breaking" the symmetry ? given the coefficients of the polynomial (the elementary symmetric polynomials in the roots), how can one recover the roots?
This leads to studying solutions of polynomials in terms of the permutation group of the roots, originally in the form of Lagrange resolvents, later developed in Galois theory.

95 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/15(日) 23:14:38.60
>>94
>例えば、5次方程式f(x)=x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e の5つ根α、β、γ、δ、ε
>根と係数の関係から、係数は根の基本対称式になる
>ここに隠れた対称性といわれる所以がある

補足の補足

アルティンによれば、一般5次方程式の5つの根α、β、γ、δ、εをすべて添加した拡大体は5!=120次元のベクトル空間になると。これがアルティン流の隠れた対称性の捉え方
(これは、アルティン本の定理13の応用例の2に記されている)
http://www.kishimo.com/math/Galois/p46.html
http://na-inet.jp/weblog/archives/001482.html
E.Artin(アルティン)/寺田文行・訳「ガロア理論入門」ちくま学芸文庫

96 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/15(日) 23:32:10.03
>>95
補足の補足の補足

>アルティンによれば、一般5次方程式の5つの根α、β、γ、δ、εをすべて添加した拡大体は5!=120次元のベクトル空間になると。これがアルティン流の隠れた対称性の捉え方

一見5次に見えるけど
隠れた対称性:”5!=120次元のベクトル空間”
5!=120は、対称群S5の位数
ここを強く意識しないと、ガロア理論は分からないよ

97 :132人目の素数さん:2012/04/16(月) 05:05:05.31
 <=( ´∀`)  
 (    )  朝鮮人は宇宙一ニダ
 | | |   
 〈_フ__フ


  Λ_Λ    
 < ;`Д´>  あ…
 (    )ポロ 
 | | |  ヽヽ
 (__フ_フ =( ´∀`)

朝鮮人だらけの東京のテレビ局が日夜流す、デマや歪曲に騙されないようにしましょう。



98 :132人目の素数さん:2012/04/16(月) 12:38:54.30
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
        , '´  _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
      /   /:::::; -‐''"        `ーノ
     /   /:::::/           \
     /    /::::::/          | | |  |
     |   |:::::/ /     |  | | | |  |
      |   |::/ / / |  | ||  | | ,ハ .| ,ハ|
      |   |/ / / /| ,ハノ| /|ノレ,ニ|ル' 
     |   |  | / / レ',二、レ′ ,ィイ|゙/   私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.     |   \ ∠イ  ,イイ|    ,`-' |      頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
    |      / `‐-、::::::::::`‐-、::::\   /,ニニ、\            それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
   |      |::::::::::::::::::|` -、:::::::,ヘ ̄|'、  ヒニ二、 \
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99 :132人目の素数さん:2012/04/17(火) 05:32:10.33
ガロア圏

http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n22754
いろんなガロア理論☆ガロア圏☆ (最終更新日時:2012/3/9)投稿日:2012/1/17

ガロア拡大(正規・分離拡大)である体の拡大L⊃Kが与えられると、ガロア群と呼ばれる群
Gal(L/K)が決まるというのがガロア理論です。方程式の解の背後にある群を調べよという思想は、単純に代数方程式論や代数学といった枠を超え、幾何学など多くの分野に強い影響を与えることになります。ここではそれらについて少し考えてみましょう。

ガロア理論の位相空間版が被覆空間論です。

適当な連結性を仮定した位相空間に対し、(不分岐な)被覆p:X→Yというものがあります。
pは全射で、Yの各点xに対してある開近傍Uがあり、p^(-1)によりUをXに引き戻すと、Uと同相なXの開集合たちがバラバラと出てくるようになっている(局所同相)というのが被覆空間です。
Uのコピーのようなものが上にバラバラと互いに離れているような形で出てきます。XをL、YをKと並べることで、ちょうどガロア理論の類似になります。
このとき被覆変換群という、「被覆空間のガロア群」が定義されます。位相空間によい連結性があれば、これは基本群と同型になります。つまりここではガロア群=基本群。

ではこれらを参考にして体上のスキームを考えてみましょう。ちょうど上の2つをミックスさせたような形になっています。

体k’をkの有限次分離拡大とすると、Spec k’→Spec kは局所同型です。(上での局所同相に当たるもの)

体の拡大k’/kを被覆空間的に見るとこういった感じになります。ここでも同じように基本群にあたるものが定義できます。
ガロアが考えた代数の理論をGrothendieckが幾何学的に見直したんですね。
(以下略)

100 :132人目の素数さん:2012/04/17(火) 05:44:00.05
>>99
補足

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E5%9C%8F
ガロア圏(Galois category)とは古典ガロア理論が展開される、いくつかの公理を満たす圏である。
元来古典ガロア理論および位相幾何学における基本群の理論の類似点が指摘されていたが、アレクサンドル・グロタンディークがガロア理論の成り立つ公理系を明言し、一般的なガロア圏の理論を構成した。
古典ガロア理論および基本群の理論はこの理論の基本的な例になる。
この理論はしばしばグロタンディークのガロア理論と呼ばれる。

定義 [編集]Cを圏、FをCから有限集合の圏(Sets)への共変関手とし、次の公理を満たしているときCをガロア圏とよぶ。

Cは終対象を持ち、C内である対象上の2つの対象のファイバー積が存在する。
Cは有限和が存在する。とりわけ始対象を持つ。
任意の射u:X→Yはs:X→Zおよびt:Z→Yと一意に分解でき、sは全射、tは単射とできる。
Fは左完全である。
Fは有限和と可換である。Fは全射を全射に移す。および群による商と可換F(X/G)=F(X)/G。
C内の射u:X→Yに対しF(u)が同型ならばuも同型である。
このときガロア圏の上で有限群の射影極限である位相群πが構成され、圏Cとπが連続に作用する有限集合の圏C(π)との同値が証明される。

その他の話題 [編集]知られているすべてのガロア理論がガロア圏の言葉で表現できるわけではない。微分体のガロア理論であるピカール・ヴェシオ理論はガロア圏上では展開できない。それらのためにグロタンディークによる淡中圏の理論が構成されている。

参考文献 [編集]Alexandre Grothendieck, SGA1

101 :132人目の素数さん:2012/04/17(火) 14:05:41.49
99, 100
Grothendieck のGalois理論については既にKummerが
彼のスレで展開すると予告している。しかもこのスレ主がそれに言及する前に。

102 :132人目の素数さん:2012/04/17(火) 17:33:18.33
41
そこで使っている対称性の意味をきちんと説明しないと
隠れた対称性という言葉に酔ってるように見える。
はっきり言ってイミフ

103 :132人目の素数さん:2012/04/17(火) 17:38:43.97
ここのスレ主は数学ミーハーだな
数学の内容より数学者のエピソードに関心あるようだ
かっこよさげな言葉に酔ってわかった気になってるし

104 :132人目の素数さん:2012/04/17(火) 20:52:27.03
「複素数の広がり」のPDFがなかなか面白いよ

http://nogpc4.ms.u-tokyo.ac.jp/nog/
野口潤次郎の電網掲示板

(3) 平成21年(2009)10月数理科学研究科公開講座「解析学の広がり」での講演、 「複素数の広がり」
http://nogpc4.ms.u-tokyo.ac.jp/nog/fukusosu-beame-handout.pdf

105 :132人目の素数さん:2012/04/17(火) 21:05:18.44
>>101-103
乙です。この板はIDが出ないのではっきりしないが、同一人物と見た

>>101
>Grothendieck のGalois理論については既にKummerが
>彼のスレで展開すると予告している。しかもこのスレ主がそれに言及する前に。

Kummer氏は馬力あるからね
だが、おいらはスタイルが違う
というか、ここでは基本的にアスキー文字ベースなので、数学の添え字も使えないし、本格的数学理論を展開するのは難しいと思うんだ
なので、どこかに落ちている文献や関連サイトを紹介するスタイルにしているんだ

>>102
確かにご指摘は当っていると思うよ
但し、”隠れた対称性という言葉”という言葉は、各人各様にイメージしてもらえば良いと思うんだ
梅村 浩がどういう説明されているか>>40に書かれていること以上は分からない
が、なんにせよ何かの本なりでガロア理論を勉強してもらって、各人なりの理解をすれば良いこと。その手がかり程度に考えている

>>103
おいらは、ミーハーですよ、数学抜きので結構ですよ
数学は使う方で作る方じゃない
あくまで外野の人間です
数学はエンタです。>>1のベストアンサーを超えて、ガロア原論文を読んでやろうじゃないのと。それがこのスレ1からの主題で。それもあくまでエンタです

106 :132人目の素数さん:2012/04/17(火) 21:10:49.02
>>105
訂正(二階述語論理みたいになってしまった・・・
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%9A%8E%E8%BF%B0%E8%AA%9E%E8%AB%96%E7%90%86

但し、”隠れた対称性という言葉”という言葉は、各人各様にイメージしてもらえば良いと思うんだ
  ↓
但し、”隠れた対称性という言葉”は、各人各様にイメージしてもらえば良いと思うんだ

107 :132人目の素数さん:2012/04/17(火) 21:23:42.12
>>105
>数学はエンタです。>>1のベストアンサーを超えて、ガロア原論文を読んでやろうじゃないのと。それがこのスレ1からの主題で。それもあくまでエンタです

補足
主題は、個人的には終わっているんだ、>>85に書いたように
じゃ、いま何しているというと、スレのメンテです
何か”age”で書いていないとスレが沈んで行くので、それではスレ主としては面白くないし

書くことが自分の勉強になるし
このスレが自分の情報の集約にもなる
面白いサイトを見つけて紹介すると、記録に残るし

そんなことをぼちぼち気の向くままに続けますよ

108 :132人目の素数さん:2012/04/17(火) 21:48:05.24
105
イメージするにも言ってる意味が分からない
隠れた対称性って何なの?

109 :132人目の素数さん:2012/04/17(火) 22:00:22.79
>>108


まずは>>40の梅村 浩先生のリンクを辿って、そのページを直接覗いてきな
で、そこに書いてあることを3回ほど読んでみな
その後、ガロア本を一冊読みな
それでも分からなければ、再度質問しな。但し、質問のときにどのガロア本を読んで、どの部分が分からないかを聞け

110 :132人目の素数さん:2012/04/17(火) 22:14:27.84
>>104 関連
http://nogpc4.ms.u-tokyo.ac.jp/nog/sheafcoh.pdf
層とコホモロジー 野口潤次郎 July 14, 2010

次の定理はよく“岡の連接定理” と呼ばれるが,本書ではこれを岡の第一連接定理と呼ぶ.この
定理の意味あるいは意義を一言二言で述べることは不可能であろう.ドイツ複素解析学の代表格
であるH. グラウエルトの朋友R. レンメルトは,1994 年著作の数学百科辞典[Springer] の中で次のように述べている:

It is no exaggeration to claim that Oka's theorem became a landmark in the development of function theory of several complex variables.

定理1.2.4. (岡の第一連接定理,1948)OΩ は,連接層である.

1.2.2 連接層について. 岡の一連の成果について,タイヒミューラーモジュライ理論で有名
なL. ベアース(Bers) は,ニューヨーク大学クーラン数理科学研究所(米国ニューヨーク市)での
多変数関数論講義録“Introduction to Several Complex Variables” (1964) の序を次の文で閉じている.

Every account of the theory of several complex variables is largely a report on the ideas of Oka. This one is no exception.

L. ベアースは,多変数関数論・多変数複素解析学を専門とする数学者というわけではないので,その意味でここには第三者的な客観的な評価が在ると言うことができるであろう.
その岡の仕事の中で,大きな到達点を与えるのが論文VII で,そこで岡の第一連接定理1.2.4が初めて証明された.
岡の第一連接定理1.2.4 の証明は,それを読むたびにその見事さに感嘆する.既に引用したR.レンメルトの記述を繰り返すことにはなるが,1950 年以降の多変数関数論あるいは多変数複素解
析学の発展は,ひとえに岡の第一連接定理1.2.4 にかかっていたと言って過言ではないであろう.
この定理により第一論文Oka I 以来用いてきた「岡の上空移行の原理」,そしてそれによるクザン問題の解決等々の問題が自然に解消してしまったのである.内容的には,本書でこれから五章ま
でに述べる結果である.視野的にはレビ問題(ハルトークスの逆問題)もその中に含まれていた.
それほどに,この「岡の第一連接定理」の含む処は深かったのである.

111 :132人目の素数さん:2012/04/17(火) 22:40:04.54
<=( ´∀`)  
 (    )  朝鮮人は宇宙一ニダ
 | | |   
 〈_フ__フ


  Λ_Λ    
 < ;`Д´>  あ…
 (    )ポロ 
 | | |  ヽヽ
 (__フ_フ =( ´∀`)
朝鮮人だらけの東京のテレビ局が日夜流す、デマや歪曲に騙されないようにしましょう。



112 :132人目の素数さん:2012/04/17(火) 22:51:02.38
109
あんたがここでその言葉をしつこく何度も書いてるんだから
自分の言葉で説明しなさい。他人の言葉に頼りなさんな。

113 :132人目の素数さん:2012/04/18(水) 00:19:40.66
>>112
わけのわらかんことを
誰に向かって何を説明するんだ?
あんたにかい?

もともとの起源は>>40だと最初からことわっている
それは、>>40にもあるとおり前スレからだ

そして、>>41にあるように
”この視点が気に入った
「隠れた対称性」というキーワードが気に入った!”


つまりは、「隠れた対称性」というキーワードの意味は>>40の通り
それが、”気に入った”は自分の感性の話で、説明不要だろうさ

114 :132人目の素数さん:2012/04/18(水) 00:35:05.74
ガロア本も読んだことのない人間から
”イメージするにも言ってる意味が分からない
隠れた対称性って何なの?”>>108といわれても、説明する気にはならなんぜ

「いや、自分は数学の専門家でおまえの理解を試したい」というなら、別の話をしなよ
「隠れた対称性」なんて梅村 浩先生の言葉を借りずにさ

因みに、>>40で最初から要点を引用しているように
”彼らはガロア理論を発見した。ガロア理論を次のように説明することができる。
(1)代数方程式は隠れた対称性をもっている。この対称性はガロア群*3で記述される。
(2)ガロア群を観察すれば、公式(1)を一般化する公式がつくれないことが証明できる。
 方程式の場合、目のつけどころであるカナメの部分がガロア群である。ヒヨコのお尻と違って、方程式の対称性であるガロア群は隠れているので、発見するのが難しいのである。”
と明確に梅村 浩先生は書いている

ガロア本の1冊でも読めば、梅村 浩先生の書いていることは理解できるだろうし、ガロア本も読んだことのない人間には理解できなくて当然だろう

補足:”彼らはガロア理論を発見した”と主語が複数形になっているのは、直前にある定理が”定理[ガロア、アーベル]”とされているからで、ガロア、アーベルを指すのだろう。
レスの次数制限があるから、全文は引用できないので抜粋引用したのだ

115 :132人目の素数さん:2012/04/18(水) 00:48:41.41
>>105
補足

猫さんやKummer氏は数学科出身みたいだから、おいらより理解は深いだろう
Grothendieckの到達した神の領域までの理解はとてもできない。猫さんほどの高みには到達できない

だが、富士登山でも5合目まではバスがあるという
そのうち、Grothendieck山に一般人でも登ることのできるルートも見つかるかも知れないな

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%8C%E5%A3%AB%E7%99%BB%E5%B1%B1
富士山は日本最高峰であるため、「日本最高峰」という表面的な観念・言葉に惹かれて、
(そもそも登山経験もなく、標高が高い山に登山することがどのようなリスクを伴うことなのか知らぬまま)安易に登ろうと試みる人も多い(それが遭難の多さにつながっている。後述)。
また遠くから見た富士山の姿に惹かれて、富士山の山中に入っても美しいだろう、などと空想して引き寄せられる人もいる。
だが、登山者が登山の途中に登山道から見る富士山は、遠方から見る美しいフォルムの富士山とは全然異なっている。
そこは火山灰と溶岩の荒れ果てた殺伐とした世界である。「富士山は遠くから眺めるための山であり、登るための山ではない」といったことも言われることがある。

自動車等でたどりつける主要な登山口の標高が(5合目あたりと)すでにかなりの高度にあり、そこから歩きはじめる場合、残りの標高差は富士山自体の標高の約半分程度に減っている。

富士山登山では毎年多数の人々が遭難しており、毎年のように幾人もの死者がでている。
例えば、2011年は7月1日の開山から8月18日までの約1ヵ月半の間に34件(34人)の遭難があった[1]。ここ数年増加傾向にあり、2005年の17人から3倍以上になった[1]。

116 :132人目の素数さん:2012/04/18(水) 06:01:21.29
>>113-114
補足

>「隠れた対称性」というキーワードが気に入った!”

数学的には、>>40梅村 浩先生の書いている「この対称性はガロア群*3で記述される」で尽きている
だが人間の理解というものは、それだけで終わりじゃないと思うんだ
”隠れた”という数学的には定義されていない自然言語を用いた感性の説明
それは数学を超えたもの(メタ数学とは少し違う)

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6
広義には、超数学(メタ数学)などと呼ばれる枠組みにしたがって公理と推論規則が定められた体系一般を指す。
現代的な数学においては、公理的に定義される抽象的な構造を、数理論理学を共通の枠組みとして用いて探究する。

http://okwave.jp/qa/q1135774.html
メタ数学・超数学ってなんですか?2004-12-21
最近、海外のSF小説をよく読むのですが、その中に「メタ数学」「超数学」などと言う言葉をよく見ます。

ANo.3
物事の定義の決め方には注意が必要です。こういう定義の仕方について決める学問がメタ物理(本当はそんな言葉ないですが)です。

数学でも似たような状況があります。
a+b=b+a
を証明しろって言われても、「何を前提として証明したらいいか」わからないでしょう。「そもそも足し算とは何か」をまず定義しなくちゃいけません。
「その足し算とは何か」を定義する際に、「足し算とは、ある一定の規則を持つ演算規則であり・・・」などと定義していくときに、「交換則」を前提として作ってしまえば、「a+b=b+aは定義だから証明の必要なし」ということになります。
しかし「足し算とは何か」を定義する際に「交換則を定義の中に組み込んでしまう」べきか、はたまた「足し算について別の定義をしておいて、交換則を証明する」ようにすればいいのか。
これまた議論が必要です。
こういった議論をするのがメタ数学です。

持っている本にこんな例えが載っていました。
野球で「両チームともバッターが下手くそだから、3アウトチェンジをやめて、6アウトチェンジにしよう、という議論になったとする。これがメタ野球である」
面白い例えだと思うのですが、いかがでしょう。

117 :132人目の素数さん:2012/04/18(水) 06:17:38.35
>>116
つづき

>”隠れた”という数学的には定義されていない自然言語を用いた感性の説明

それは、ランドスケープ>>51であり、ナスカの地上絵、遠目の富士>>52
「隠れた対称性」というのが、梅村 浩先生のガロア理論に対する心象風景だろうと

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BF%83%E8%B1%A1%E9%A2%A8%E6%99%AF
心象風景
心の中に思い描いたり、浮かんだり、刻み込まれている風景。現実にはありえない風景であることもある。
(引用おわり)

登山者が登山の途中に登山道から見る富士山は、火山灰と溶岩の荒れ果てた殺伐とした世界>>115
だが、それを遠方から見る美しいフォルムの富士山という心象風景にまで消化できてはじめてガロア理論を理解したといえるのではないか

梅村 浩先生の心象風景を、「隠れた対称性」という言葉で表現された。それが気に入った>>41
その意味を説明しろといわれても、最初に書いたとおりだよと

118 :132人目の素数さん:2012/04/18(水) 07:03:00.78
だから対称性ってなによ?
あんた意味分かってるの?
梅村も説明してないじゃん

119 :132人目の素数さん:2012/04/18(水) 07:08:45.60
他人に満足に説明出来ないことをさも高尚なことのように
得々として書く。いかがわしいカルト宗教の教義みたいだなw


120 :132人目の素数さん:2012/04/18(水) 07:15:09.35
113
113
誰に説明ってここを読んでるまたはこれから読む人にだよ。
対称性ってなによ?
意味不明じゃん
梅村も対象性の意味を書いてないだろ






121 :132人目の素数さん:2012/04/18(水) 21:31:50.67
>>118-120
面白いやつだな
自分が理解できないからって、自分のレベルで計るなよ

>誰に説明ってここを読んでるまたはこれから読む人にだよ。

まあ、言いたかったのは、
1)相手のレベルに合わせた説明が必要だ
2)相手がどこまで理解していて何が分からないのかに合わせた説明が必要だ


だから、誰に対してだと聞いた
だが、答えないところを見ると、自分は分かっているつもりなんだろうね

しかし、小学生中学生に微分積分を説明するのも難しいので、相手のレベルを設定しよう
そうだな、大学入試に数学を入れて合格できるレベル。大学の難易度では、平均より上。数学オリンピック出場レベルのスーパー高校生は含める
さらに、このスレで分からないことは、書店かネット購買かあるいは図書館などで自学できるものとする

122 :132人目の素数さん:2012/04/18(水) 21:39:57.23
>>120
>対称性ってなによ?

ここからはじめよう
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E6%80%A7
対称性(たいしょうせい)、又はシンメトリー (英語: symmetry) は、ある変換に関して不変である性質である。
目次
1 空間の対称性
1.1 並進対称性
1.2 回転対称性
1.3 鏡像対称性
1.4 結晶
2 式の対称性
式の文字を入れ替えても元の式と変わらない式を対称式という。 例えば x^2+xy+y^2 は x と y の入れ替えについて不変な対称式である。
(引用おわり)

123 :132人目の素数さん:2012/04/18(水) 21:50:55.71
>>122 つづき

人類の対称性への認識は図形からだろう
上記では、空間の対称性から始まっているが、本当は平面図形の対称性=(線対称と点対称)から始まったのだろう

そうして、千年以上後に、高次方程式の解法から対称式が研究されるようになった
ニュートン多項式を基本対称式で表せというような問題は、高校数学でよく扱われる
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E5%BC%8F
2.2 基本対称式
2.3 ニュートン多項式
3 対称式の基本定理
3.1 ウェアリングによる方法
3.2 コーシーによる方法
3.3 斉重対称式
3.4 基本対称式の代数的独立性
(引用おわり)

下記は、英語版の記事の目次だが、ずいぶん構成が違う
http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_polynomial
2 Applications
2.1 Galois theory
3 Relation with the roots of a monic univariate polynomial
4 Special kinds of symmetric polynomials
4.1 Elementary symmetric polynomials
4.2 Monomial symmetric polynomials
4.3 Power-sum symmetric polynomials
4.4 Complete homogeneous symmetric polynomials
4.5 Schur polynomials
5 Symmetric polynomials in algebra
6 Alternating polynomials
(引用おわり)

124 :132人目の素数さん:2012/04/18(水) 21:55:56.07
>>123 つづき

ふむふむ、英語版では”対称式の基本定理”などは別にリンクを張ってあるね
http://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_symmetric_polynomials#The_fundamental_theorem_of_symmetric_polynomials

4 The fundamental theorem of symmetric polynomials
4.1 Proof sketch
4.2 An alternative proof
4.3 A Self-Contained Algorithmic Proof

125 :132人目の素数さん:2012/04/18(水) 22:00:38.85
>>124
図形の対称性から進んで、人類は式の対称性を考えるようになった

例えば x^2+xy+y^2 >>122は、x と y の入れ替えについて対称だが、視覚的にも左右対称に近い
そうして人類は、対称式の基本定理に到達したのだった>>123

126 :132人目の素数さん:2012/04/18(水) 22:14:35.06
このスレには運営は現れないな

127 :132人目の素数さん:2012/04/18(水) 22:35:49.79
何でレスが名無し?
おまえ、おかしい

128 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/18(水) 22:42:59.81
>>127
おお、ご指摘ありがとう
コテが消えていた
失礼しました

129 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/18(水) 22:49:07.63
>>125 つづき

式の対称性とは、例えばx と y の入れ替えについてってこと
入れ替えは置換ってことで、置換群に繋がって行く

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%88%97
置換
詳細は「対称群」を参照

有限集合 X の要素全てを落とさず重複無く用いて得られる順列は、特に置換と呼ばれる。
つまり、置換は X 上の(X 自身への)全単射であり、写像の合成に関して置換群 (permutation group) と呼ばれる群を与える代数学的な対象となる。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E7%BE%A4
移動: 案内, 検索
数学における対称群(たいしょうぐん、symmetric group)とは、「ものを並べ替える」という操作を元とする群である。
この場合の「ものを並べ替える」操作のことを置換(ちかん、permutation)という。
数学の議論の様々な場面で「番号づけられて並んでいるものを入れ替える」「入れ替えの可能性すべてをしらべる」ことが問題となり、対称群はそのような議論を定式化するために用いられる。
置換のうちで特別なものだけを集めて得られる群は置換群(ちかんぐん、permutation group)[1]と呼ばれる。

対称群 SX が空間 X の変換群として与えられているとき、X の元 x の置換は Stab(x) = {σ ∈ SX | σx = x} で与えられる SX の部分群のぶんだけ潰れているが、
これは X のなかに x と「同じ」元が複数含まれている場合に対応しており、X の中でこれらを区別することができれば X の元の置換から対称群 SX が回復される。

130 :132人目の素数さん:2012/04/18(水) 22:51:39.10
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     |   |  | / / レ',二、レ′ ,ィイ|゙/   私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
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     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
    |      / `‐-、::::::::::`‐-、::::\   /,ニニ、\            それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
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131 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/19(木) 05:35:25.30
>>129 つづき

もう一つ重要なことがある。根と係数の関係だ
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A0%B9%E3%81%A8%E4%BF%82%E6%95%B0%E3%81%AE%E9%96%A2%E4%BF%82
根と係数の関係は、多項式の根と係数との間に成立する関係式を表した不変式論の定理である。

えーと、英語版だと
http://en.wikipedia.org/wiki/Vieta%27s_formulas
HistoryAs reflected in the name, these formulas were discovered by the 16th century French mathematician Francois Viete, for the case of positive roots.

In the opinion of the 18th century British mathematician Charles Hutton, as quoted in (Funkhouser), the general principle (not only for positive real roots) was first understood by the 17th century French mathematician Albert Girard; Hutton writes:

...[Girard was] the first person who understood the general doctrine of the formation of the coefficients of the powers from the sum of the roots and their products.
He was the first who discovered the rules for summing the powers of the roots of any equation.
(引用おわり)

方程式の係数は、根の基本対称式で表されるという
根と係数の関係は、高校数学で学習するはず

132 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/19(木) 05:59:26.41
>>131 つづき
根と係数の関係は、>>123で引用した対称式にこんな記述があったね
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E5%BC%8F

アルベール・ジラールは、1629年に「代数学の新しい発明」(Invention Nouvelle en l'Algebre) おいて、n 次の代数方程式の根と係数の関係を発見した。
代数方程式の係数は n 個の根の基本対称式と呼ばれる対称式により書かれるというこの関係は、一般の次数の代数方程式の構造を調べるための重要な足掛かりの一つとなった。
さらに、ジラールは、これらの関係を用いて虚数の有用性を説いた。

18世紀の後半になると、任意の対称式は基本対称式によって書くことができる事が、ウェアリングやヴァンデルモンドらによって示され、ラグランジュによる、代数方程式の根の置換の研究へとつながっていった。
(引用おわり)

前置きが長くなって、話が見えにくくなっているから、少し本題へ戻ろう
「梅村も対象性の意味を書いてないだろ」>>120という
が、梅村 浩先生は、>>40
「(1)代数方程式は隠れた対称性をもっている。この対称性はガロア群*3で記述される。」と書かれている

いままでの引用と説明で、感のいい人は下記のつながりが見えてきたろう
対称性

対称性と は、ある変換に関して不変である性質である>>122

方程式の根と係数の関係
代数方程式の係数は n 個の根の基本対称式と呼ばれる対称式により書かれる(上記)

対称式の基本定理
任意の対称式は、基本対称式によって表される

根の対称式:根の置換という操作(変換)で不変である性質

置換群(対称群)>>129

代数方程式のガロア群

133 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/19(木) 06:12:33.47
>>132 つづき
最後のガロア群は、>>121以降では出てきていないので、下記を引用する

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%BE%A4
ガロア理論(ガロア-りろん、Galois theory)は、基本的には代数方程式や体の構造を "ガロア群" と呼ばれる群を用いて記述する代数学の理論をさす。
1830年代におけるエヴァリスト・ガロアによる代数方程式のべき根による可解性などの研究に端を発しているためこの名前がつけられている。

実際にガロアは、方程式の研究において未知であった群や体の考えを用いていた。現代の代数学はこの理論から始まった。

ガロア理論によれば、"ガロア拡大" と呼ばれる体の代数拡大について、拡大の自己同型群の閉部分群と、拡大の中間体との対応関係を記述することができる。

p を形式的に根の一次式の積として表す(実際、これは K を含む代数閉体上で可能になる)ことで p の係数は根の基本対称式であること(根と係数の関係)が分かる。
したがって拡大体 L の自己同型 σ が根の入れ替えを引き起こしているときには σ の下で p の係数たちや、より一般に K の元は変化しないことがわかる。
一方、K の元を不変にするような L の自己同型は p の根を入れ替えている。
このような変換すべての集まり Gal(L/K) は変換の合成という二項演算について群の構造を持っており、L の K 上のガロア群または p のガロア群とよばれる。
(引用おわり)

一気に説明が難しくなったが、仕方がない
これから、ぼちぼち解説して行こう

134 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/20(金) 05:36:59.03
>>133 つづき
ガロア群について、133を読んでも分からないだろう
普通ガロア本では、ガロア群の定義あるいは説明に至るまで100ページほどを要する
それを圧縮して書かれているので、分かりにくい

そこで、このスレのスローガンでもあるまずは先に進むという方式を取る>>90
『Backward deduction』類似のトップダウンアプローチに近いのではないかと
(参考)
前スレ303より、”例えばグロタンが凄いのは『Backward deduction』ですよね。” by 猫さん
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1331903075/303

『Backward deduction』の意味が不明確だが、自分なりに解釈すると、トップダウンアプローチだと
http://dictionary.goo.ne.jp/leaf/ej3/22354/m0u/
 goo辞書より「推論」「演繹」という意味)
つまり、普通は定義、公理から定理を積み上げて、最後の定理の証明に至る
しかし、グロタン師はヴェイユ予想から逆に必要な数学を逆算してエタール圏(下記)などを作り上げたと
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E4%BD%8D%E7%9B%B8
グロタンディーク位相
代数幾何学のヴュイユ予想を解決するためにアレクサンドル・グロタンディークがエタール・コホモロジーを定義する際に導入された。

135 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/20(金) 05:51:21.87
>>134 つづき
数学は、定義、公理から定理を積み上げて、最後の定理の証明に至る
それが普通だ。だから、数学本を最初から読んで行く。途中が分からないと、先へ行ってさらに分からなくなると思いがちだ

だが、定義、公理から定理を積み上げるというのは、ジグソーパズルの各ピースを組み上げてゆくことに例えられるだろう>>35
ジグソーパズルの完成図が分かっていて、各ピースを組み上げてゆくなら理解は早い>>48

トップダウンアプローチは、ソフトウエアー開発でよく使われる言葉で、全体像をはっきりさせて(というか全体像から逆に詳細設計に落として)ソフトウエアー開発を行う
しかし、最近ではボトムアップ設計を組み合わせて設計する手法が一般的になっていると言われる

数学でも、ボトムアップ型とトップダウンアプローチの組み合わせが良いのではないかと
数学で、途中が分からないと、先へ行ってさらに分からなくなると思い込んでいる人がいるので付言した

http://www.comp.tmu.ac.jp/shintani/japanese/openUniversity/node43.html
トップダウンとボトムアップ Tetsuya Shintani 2011-04-05
(抜粋)
トップダウンアプローチは,プロジェクトの全体的な計画を把握して,目的をはっきりさせ,全ての方向性が決まってからプログラムの詳細を書き始める設計手法と言っていいと思います.
ボトムアップ型は実行できるモジュール(機能)を組み合わせてプログラムを構築していきます.
しかし,プロジェクト全体の流れ(トップダウン的なアプローチ)を把握しないと,そのモジュールが必要とされる機能やモジュール同士の連携がうまく設計できない場合もありえます.
そのため,最近ではトップダウン設計とボトムアップ設計を組み合わせて設計する手法が一般的になっていると言われています.

136 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/20(金) 06:00:13.42
>>134 つづき
ガロア群とは何か?
一般の5次方程式に限って言えば、
5次方程式f(x)=x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e の5つ根α、β、γ、δ、ε>>94
(α、β、γ、δ、ε)の置換からなる5次の対称群

おっと・・・、いま検索で引っ掛かった下記ページが面白いね
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%94%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
五次方程式

目次
1 概要
2 解の公式
2.1 エルミートによる解法
2.2 ブリング-ジェラードの標準形
2.3 レベル5のモジュラー方程式
2.4 解の構成
2.5 限定的な代数的解法
2.6 具体例

外部リンク [編集]Quintic Equation Calculator(英語、xの係数を入力すると解を算出してくれる)
http://www.freewebs.com/brianjs/quinticequationcalculator.htm

137 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/20(金) 06:04:58.98
>>136 つづき
英語版ではどうだろうか?

http://en.wikipedia.org/wiki/Quintic_function
Contents
1 Finding roots of a quintic equation
1.1 Solvable quintics
1.2 Examples of solvable quintics
2 Beyond radicals
3 See also
4 References
5 External links

英語版のExternal linksがなかなか面白いんだ
External linksQuintic Equation Solver
Mathworld - Quintic Equation ? more details on methods for solving Quintics.
Solving the Quintic with Mathematica ? poster on Quintic solutions
[1] ? Klein's book is available online
Solving Solvable Quintics ? a method for solving solvable quintics due to David S. Dummit.
Polynomial Transformations of Tschirnhaus, Bring and Jerrard - a recent update of Tschirnhaus' paper by Victor S. Adamchik & David J. Jeffrey
A method for removing all intermediate terms from a given equation - a recent English translation of Tschirnhaus' 1683 paper.

138 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/20(金) 06:12:36.88
>>136 つづき
脱線したが、
一般の5次方程式に限って言えば、ガロア群が5つ根(α、β、γ、δ、ε)の置換からなる5次の対称群S5になるという全体像をまず知識として頭に入れろと

ここで、ガロア群→対称群S5から対称性へと繋がるのだ(>>132の矢印と逆方向)
なぜ5次の対称群S5?

それは、これからぼちぼち解説して行こう
普通ガロア本では、ガロア群の定義あるいは説明に至るまで100ページほどを要するところだから

139 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/20(金) 06:45:01.59
>>134 訂正

 goo辞書より「推論」「演繹」という意味)
 ↓
 deduction:goo辞書より「推論」「演繹」という意味)

140 :132人目の素数さん:2012/04/20(金) 06:58:33.49
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     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
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141 :132人目の素数さん:2012/04/20(金) 07:02:01.67
一般方程式のガロア群は対称群だが普通の方程式の場合は
対称群とは限らないだろ。


142 :132人目の素数さん:2012/04/20(金) 07:13:08.77
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143 :132人目の素数さん:2012/04/20(金) 07:13:54.32
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     |   |  | / / レ',二、レ′ ,ィイ|゙/   私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.     |   \ ∠イ  ,イイ|    ,`-' |      頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
    |      / `‐-、::::::::::`‐-、::::\   /,ニニ、\            それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
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144 :132人目の素数さん:2012/04/20(金) 07:15:05.75
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145 :132人目の素数さん:2012/04/20(金) 07:22:33.18
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146 :132人目の素数さん:2012/04/20(金) 08:22:30.94
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147 :132人目の素数さん:2012/04/20(金) 08:25:23.80
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148 :132人目の素数さん:2012/04/20(金) 08:26:17.45
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149 :132人目の素数さん:2012/04/20(金) 08:31:12.64
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150 :132人目の素数さん:2012/04/20(金) 08:45:43.32
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151 :132人目の素数さん:2012/04/20(金) 15:04:19.66
僅かながら選挙の匂いが漂ってまいりました。

                    _____________
                    ||                      |
                    ||   ちょっと待て .  .     .|
                    ||         .           |
                    ||    その民主党員  . |
                    |l -――-               |
                     '"´: : : : : : : : :`丶 . 帰化鮮人|
                 ':.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:ヽ______|
                  /.::.::./.::.::.::.:j.::.::.:|.:ム;ヘ.::.:ハ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
                  ,'.::.::.::i.::.::.::.:/|.::.:: l/  `|.::./7
                :.::.::.::j:|.:!.:_:/´|_.::_」   くV <|
                   |:ハ_::_ル'´     /⌒丶 j//V|
               |:::::::::i x==ミ     _ 〈/.:|.::|
               |:::::::::i:'"     ´ ゙̄Y}!.::.l.::|
                 八:::::::圦   、' _   "/_ノ.::,'.::j
             /⌒ヽ::::ト{\   _,.ィ__/.::/l:./
               / 丶∧::| 丶 `ニ´ 彡// :厶|∧
            {/  丶ヘ|     ノ / |:/ (こ ハ
                /       }ヽ、 ∧ /  'x┴〈 }_ゝ、
           /         \∨ ∨  /  ニW }  )
             〈       _ノ∧ 厶=7  ,.-、) 人ノ
           }⌒ヽ     `<__,>イ  |__ノ| |/∨
           /   ヘ   /  │  丶ノ.| |   \
             /    ヽ      \__/ | |    ノ
         /       >'"⌒\ 〃⌒\| ト、__/


152 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/20(金) 23:45:52.30
>>141
>一般方程式のガロア群は対称群だが普通の方程式の場合は
>対称群とは限らないだろ。

"いい質問ですね"
倉田>>4によるが、ガロア群の捉え方に二つある
1.ガロアリゾルベントV>>15を作って、Vを用いて方程式の根をVの有理式で表す。Vの共役根をV'、V''、V'''・・・として、VをV'、V''、V'''・・・で置き換えることで根の置換を生じせしめる
2.後世の捉え方は、体の拡大として、k-同型写像のなす群を考える(倉田本>>4 P129)

こう言っても分からないだろうから、これからぼちぼち解説して行こう

153 :132人目の素数さん:2012/04/20(金) 23:46:45.28
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     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
    |      / `‐-、::::::::::`‐-、::::\   /,ニニ、\            それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
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154 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 00:01:33.01
640 名前:名無しさん@12周年[] 投稿日:2012/02/18(土) 15:05:47.13 ID:sskgsjsc0 [2/2]
『平清盛』プロデューサー在日朝鮮人 磯智明(天皇制度廃止論者)のプロデュース作品

@『かんさほうじん (2008)』反体制・反社会
A『最後の戦犯 (2008)』反日・天皇制度廃止・反体制・反社会
B『リミット -刑事の現場2- (2009)』反体制・反社会

大河の画面が汚いのも、役者が大根なのも、衣装がぼろぼろなのも、役者の下品な立ち回りも、
画面が薄暗いのも、役者が汚いのも全ての原因は




NHKが汚れているから
 史実うんぬんの話ではないのですよ。あの大河は役者、セット、演出等が、いまのNHK内部の汚れ具合を見事に反映しているのです。

薄汚れた空間内で繰り広げられる捏造・妄想(=今年の大河)は、反日・在日の脳内を表しているのだ。

155 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 07:43:16.33
>>152 つづき
> 2.後世の捉え方は、体の拡大として、k-同型写像のなす群を考える(倉田本>>4 P129)

ネット検索でいいサイトがヒットした
と言っても、前スレ114でも紹介した* 物理のかぎしっぽ -- 代数学
http://hooktail.org/misc/index.php?%C2%E5%BF%F4%B3%D8

これは凄いね。例えば下記が目次でそれぞれ解説がある
ガロア理論入門 †
体の自己同型写像群(Joh著)
ガロア群の例(Joh著)
ガロア拡大とガロア群(Joh著)
ガロア理論の基本定理(Joh著)
対称式への応用(Joh著)
1のn乗根(Joh著)
作図できる正多角形(Joh著)
正五角形の作図(Joh著)
正十七角形の作図(Joh著)
代数方程式を代数的に解く試み(Joh著)
可解群について補足(Joh著)
ガロア群と可解群(Joh著)
累開冪拡大体の列(Joh著)
累開冪拡大体とガロア群の関係(Joh著)
ガロア理論と代数方程式(Joh著)
二次方程式(Joh著)
三次方程式(Joh著)
四次方程式(Joh著)
交換子群(Joh著)
五次方程式(Joh著)

156 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 07:43:37.57
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     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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157 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 07:50:17.41
>>155 つづき

まずは、次の5つ
体の自己同型写像群(Joh著)
ガロア群の例(Joh著)
ガロア拡大とガロア群(Joh著)
ガロア理論の基本定理(Joh著)
対称式への応用(Joh著)

を読んでくれ

えーと「対称式への応用(Joh著)」の中に
ガロア群と方程式の解

方程式のガロア群
(抜粋)
体F上の方程式f(x)=0 の最小分解体をE とします.このとき,G(E/F) を 方程式f(x)=0のガロア群 と定義します.以後,方程式論の文脈で『方程式のガロア群』と出てきたら,係数体と最小分解体に対するガロア群だと解釈して下さい.
ここでもう一つ,役にたつ定理を紹介します.
(引用おわり)

辺りを熟読のこと

158 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 07:52:51.51
>>157 つづき
余談だが、いま気付いたが、物理のかぎしっぽの中に猫が住んでいる
世の中猫ずきの人はいるんだ

159 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 07:55:57.25
ごたくはいいからあんたのいう隠れた対称性って何?


160 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 07:58:46.79
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161 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 08:02:16.98
>>157 つづき
まあ、それで>>152「一般方程式のガロア群は対称群だが普通の方程式の場合は対称群とは限らないだろ。」への回答の代用としよう
どの程度の説明を求めているか不明だし、相手のレベルも不明だ

加えて、このスレの容量も有限で、アスキー文字ベースで物理のかぎしっぽのような図も描けない
ならば、物理のかぎしっぽを見てもらって、理解できない部分を質問してもらうのが良いだろう

なお、質問にあたっては、
1.物理のかぎしっぽのどの部分に関することか
2.どこまで分かったのか
3.なにがどう理解できないのか(できれば、自分はこう解釈するというのを書いてもらうと話が早い)
4.自分の数学レベル(高校 or 大学) (高校生でも大学生向け専門書を読んでいるならそれを書いて貰えると話が早い)

を明確にすること(この限定は上記の>>152関連に限ることにする。あまり制限をしてもスレが窮屈だ)

162 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 08:03:14.85
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163 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 08:07:20.49
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164 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 08:08:55.35
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165 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 08:10:08.49
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167 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 08:12:03.63
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
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     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
    |      / `‐-、::::::::::`‐-、::::\   /,ニニ、\            それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
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168 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 08:18:36.65
>>161
誤魔化すなよ。
説明になってない。
どの程度の説明ってガロア理論が理解できるやつ
が理解できる程度だよ。
普通の数学科の学生のレベル
あんた自分でも隠れた対称性が何かわかってないだろ。
分からなくていいんだよ。無意味な言葉なんだから。


169 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 08:31:39.23
>>152 つづき
> 1.ガロアリゾルベントV>>15を作って、Vを用いて方程式の根をVの有理式で表す。Vの共役根をV'、V''、V'''・・・として、VをV'、V''、V'''・・・で置き換えることで根の置換を生じせしめる

この話で一番分かりやすいのは、前々スレ198で紹介した
http://www.amazon.co.jp/product-reviews/476870011X
数III方式ガロアの理論―アイデアの変遷を追って [単行本] 矢ケ部 巌 (著) 出版社: 現代数学社 (1976/06)

第24章 方程式の群を導入する P417で
ガロアのもとのアイデアにそって、分かりやすく方程式のガロア群を導入している

つまり、
ガロアリゾルベントV>>15
V=Aa+Bb+Cc+・・・
 a,b,c・・・は、(重根を持たない)で問題の方程式の根、A,B,C・・・は根の置換で異なる値をとる

根の置換で異なる値V'、V''、V'''・・・を全て集めて
F(x)=(x-V)(x-V')(x-V'')(x-V''')・・・
を作る
F(x)の係数は、元の体(それが有理数体QならQに)((x-V)(x-V')(x-V'')(x-V''')・・・は置換で異なる値を集めたので根の置換で変わらない→対称式→根の基本対称式→根と係数の関係から元の体)

一般の5次方程式ならF(x)は既約で、120次元の方程式

V=Aa+Bb+Cc+・・を用いて
a,b,c・・・は、Vの有理式で表される
これをガロア論文>>3では、
a=φ(V),b=φ1(V),c=φ2(V)・・・ と表している
矢ケ部では、θを使っている

ここで、V→V'などの置換で
a'=φ(V'),b'=φ1(V'),c'=φ2(V')・・・ の根の置換が生じる(a'=φ(V')がまた元の方程式の根になることは証明があるので、どちらかの本を見ること)

一般の5次方程式ならこの置換はV→Vの恒等置換も含めて120個。つまり、5次対称群S5になる

170 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 08:34:51.71
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
        , '´  _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
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     |   |  | / / レ',二、レ′ ,ィイ|゙/   私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
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     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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171 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 08:46:33.30
>>169 つづき
では、方程式の群が対称群でない場合>>152はどうなるか?

>一般の5次方程式ならF(x)は既約で、120次元の方程式

ここが、方程式の群が対称群でない場合崩れる
つまり、根の置換で異なる値V'、V''、V'''・・・を全て集めてF(x)=(x-V)(x-V')(x-V'')(x-V''')・・・を作る
F(x)の係数は、元の体(それが有理数体QならQに)

ここで、方程式の群が例えば巡回群ならF(x)は可約になって、有理数体Qの中で因数分解できることになる
そして、F(x)を因数分解して既約にした方程式F'(x)(と書く)の方程式の群は巡回群。というか、巡回群になるまで因数分解できると言った方が分かりやすいかも

つまり、最初から120次元の方程式を作らなくっても巡回群の分だけ置換で異なる値V'、V''、V'''・・・を集めれば良かったと
だが、理論構築としては、一般の方程式の場合=対称群、特別の場合=対称群の部分群 という流れを作るのが綺麗なんだ

172 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 08:51:25.51
>>171
そんなことはガロア理論を学んだ者はよく知っている。
だから隠れた対称性ってなによ?



173 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 08:52:52.77
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     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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174 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 09:00:38.03
>>171 つづき
ガロア理論のガロア論文オリジナル>>3をスケッチしておこう

ガロアリゾルベントV>>15 V=Aa+Bb+Cc+・・・ a,b,c・・・は、(重根を持たない)で問題の方程式の根、A,B,C・・・は根の置換で異なる値をとるように定める

根の置換で異なる値V'、V''、V'''・・・を全て集めて F(x)=(x-V)(x-V')(x-V'')(x-V''')・・・ を作る F(x)の係数は、元の体(それが有理数体QならQに)

F(x)が既約か可約かを確かめる
可約なら因数分解をして既約なF'(x)を求める(F(x)が既約ならF'(x)=F(x))

F'(x)の根をあらためてV、V'、V''、V'''・・・とする

V、V'、V''、V'''・・・から根の置換が定まる
(根a,b,c・・は、a=φ(V),b=φ1(V),c=φ2(V)・・・ とVの有理式で表すことができ、V→V'に置き換えたφ(V')もまた元の方程式の根になるから)

一般の方程式の場合は、この置換全体は対称群(5次方程式ならS5)
そうでない場合は、この置換が演算として群になることを証明して、対称群の部分群になると

そうして、どんな場合でも与えられた方程式からガロアリゾルベントVを使って方程式のガロア群が作れる

175 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 09:04:05.76
>>172
>そんなことはガロア理論を学んだ者はよく知っている。

???
ガロア理論を学んだ者に自分を含めているのか?
うそでしょ

176 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 09:10:48.28
>>174
それは現在では単拡大の定理を使って説明する。
だから本質的には良く知られている。
いいから隠れた対称性って何よ?


177 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 09:13:50.95
>>175
少なくともあんたより良く知っている

178 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 09:26:00.89
>>174
ガロア理論のガロア論文オリジナルについて解説している本は知る限り
>>3の守屋本、>>4の倉田本、>>169の矢ケ部本くらい

前スレ>>39で紹介した
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/shinkan/shin0503_03.html
代数方程式のガロアの理論(ISBN4-320-01770-6)Jean-Pierre Tignol
もガロア論文オリジナルについて解説している
「14.2 方程式のガロア群」、「付録 ガロアよる置換群の表現」のところだ

179 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 09:28:14.07
>>177
>少なくともあんたより良く知っている

???
その証明は?

180 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 09:29:08.05
>>176
>それは現在では単拡大の定理を使って説明する。

正規拡大じゃないのか

181 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 09:38:57.38
>>180
ガロア拡大の話をしてるんだろ。
正規拡大の性質を使うに決まってる。

182 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 09:39:00.87
>>175 つづき
>そんなことはガロア理論を学んだ者はよく知っている。

>>40に戻ろう
http://www.sci.nagoya-u.ac.jp/kouhou/10/p14_15.html
眠りから覚めた微分ガロア理論 梅村 浩 多元数理科学専攻教授 名古屋大学理学部・理学研究科 広報誌 No.10 p14_15

彼らはガロア理論を発見した。ガロア理論を次のように説明することができる。
(1)代数方程式は隠れた対称性をもっている。この対称性はガロア群*3で記述される。
(2)ガロア群を観察すれば、公式(1)を一般化する公式がつくれないことが証明できる。

と梅村 浩先生は書いた
名古屋大学理学部・理学研究科 広報誌 No.10(下記)。対象読者は、広く一般社会人や生徒を対象とし、高等学校の一般的なレベルの基礎知識があれば興味をもって読み進められる、平易で親しみやすい内容を基本とする
http://www.sci.nagoya-u.ac.jp/kouhou/10/index.html
名古屋大学理学部・大学院理学研究科広報誌[理フィロソフィア]April 2006 理 philosophia
表紙
時を語るもの ・・・・・ 飛田武幸
理のエッセイ ・・・・・ 渡辺芳人
特集「生き物の語る地球史」
彼らはいつ日本に来たのだろうか ・・・ 小澤智生 1 2
うなぎと地球科学 ・・・・・・・・・・ 渡邊誠一郎 1 2
理の先端をいく ・・・・ 原田正康 / 梅村 浩
講義探検 ・・・・・・・ 地球惑星物理学実験 II / 統計物理学 I
理学部交差点
裏表紙
PDF 3.7MB http://www.sci.nagoya-u.ac.jp/kouhou/10/10.pdf
コンテンツ内容のご紹介
●広報誌の趣旨
本誌は名古屋大学理学部・理学研究科を広く社会に理解してもらい、社会とのコミュニケーション・絆を深めることを目的に発行しています。
理学部の現在の姿を、研究や教育、施設、将来像、人材などその多様な知的資産全体にさまざまな角度から光をあてて紹介をしています。
読者は広く一般社会人や生徒を対象とし、高等学校の一般的なレベルの基礎知識があれば興味をもって読み進められる、平易で親しみやすい内容を基本とします。
(引用おわり)

183 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 09:42:31.22
>>182
他人の話を鵜呑みにしてんじゃないよ。
だから隠れた対称性ってなによ?


184 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 09:45:44.32
>>179
隠れた対称性が何か説明するのと関係あるのか?

185 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 09:52:42.04
>>182 つづき

梅村 浩先生の
”彼らはガロア理論を発見した。ガロア理論を次のように説明することができる。
(1)代数方程式は隠れた対称性をもっている。この対称性はガロア群*3で記述される。
(2)ガロア群を観察すれば、公式(1)を一般化する公式がつくれないことが証明できる。”

を見て、「ガロア理論を学んだ者」>>175が隠れた対称性の意味が分からないだと!?
”対称性ってなによ? 意味不明じゃん 梅村も対象性の意味を書いてないだろ”>>118-120 ??

これで、自分を「ガロア理論を学んだ者」に含めてくれか??

186 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 10:05:50.18
>>185 つづき

”大学の数学科の学生でも理解できている人は少ないと思っています。”
”「証明が分かる」ということと「定理の意味が理解できる」ことの間には相当の隔りがあります。”
”東大生といっても数学科の学生でなければ無理ですね。数学科の学生ならばほとんどの人が理解できるでしょう。”
”数学を専攻された方の半数以上は理解されているのでは?? と思いますが...”
(下記より引用)
まとめると、「証明が分かる」ということと「定理の意味が理解できる」ことの間には相当の隔りがあり、東大数学科の学生ならばほとんどの人(落ちこぼれあり)、一般には数学を専攻された方の半数以上
これからすると、ガロア理論を学んだ者だが、定理の意味が理解できない落ちこぼれだと自白しているのか?

http://okwave.jp/qa/q3869956.html
5次方程式の代数的解法の不可能性を理解している人は何人いるか? 2008-03-17

5次方程式の代数的解法の不可能性の証明は、難度が高く、大学の数学科の学生でも理解できている人は少ないと思っています。
また、その内容は理解しやすいのに、証明は理解しにくい代表でもあります。
ふと、5次方程式の代数的解法の不可能性の証明を理解している人は、何人くらいいるのだろうと思ったのですが、どうなのでしょうか?

投稿日時 - 2008-03-17 20:59:45
証明は相当易しい部類です。
代数が専門でなくても仮にも数学科に進学しているような学生なら理解できる範疇です。

しかし、「証明が分かる」ということと「定理の意味が理解できる」ことの間には相当の隔りがあります。
ある定理に対して「理解できている」と自分で宣言するときには注意深くあるべきです。

投稿日時 - 2008-03-17 20:00:08
東大生といっても数学科の学生でなければ無理ですね。数学科の学生ならばほとんどの人が理解できるでしょう。

投稿日時 - 2008-03-17 18:43:45
群論をある程度習えば,理解可能と思います.
数学を専攻された方の半数以上は理解されているのでは??
と思いますが...

187 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 10:13:04.39
>>182 つづき

眠りから覚めた微分ガロア理論 梅村 浩先生、名古屋大学理学部・理学研究科 広報誌
理の先端をいくのIIだ

http://www.sci.nagoya-u.ac.jp/kouhou/contents.html
理の先端をいく
名古屋大学ならではの先端的な研究の取り組みや成果を伝えるコーナー。
専門的で難しくなりがちな話を、一般の方でも興味がもてそうなレベルから読み解いていきます。
・文字数=1600字程度(+図表、脚注など)

188 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 10:16:39.22
>>185
ひょっとして隠れた対称性ってガロア群のことを
言ってるのか?


189 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 10:24:14.92
>>187 つづき

梅村 浩先生は、ご自身の研究”微分ガロア理論”を紹介する過程で、歴史的なガロア理論に対する経緯の途中として

”彼らはガロア理論を発見した。ガロア理論を次のように説明することができる。
(1)代数方程式は隠れた対称性をもっている。この対称性はガロア群*3で記述される。
(2)ガロア群を観察すれば、公式(1)を一般化する公式がつくれないことが証明できる。”

と書かれ、
”リーのアイデアの実現は20世紀の初めまで盛んに試みられたが、問題が難しいこともあって放棄され、ついには忘れ去られてしまった。
 私は1996年に、20世紀初頭に活躍したフランスの数学者ヴェッシオ*7の晩年の1つのアイデアを現代代数幾何学*8と結びつけることにより、新しい無限次元微分ガロア理論を提案した。
 数年後海外で話題となった。現在はこの分野の研究に注目する数学者が増えてきた。無限次元微分ガロア理論は数十年の眠りから覚めて復活したのである。
 1980年代からひそかにこの分野の重要性に注目して、研究をしていた私にとって、復活のための一翼を担うことができたのは、うれしいことである。
 数論においてガロア理論が果たしたような役割のごく一部でもよいから微分ガロア理論が微分方程式論において果たしてほしいものである。”
と続けられている

代数方程式は隠れた対称性をもっている。この対称性はガロア群*3で記述される。ガロア群を観察すれば、公式(1)を一般化する公式がつくれないことが証明できる。
これと、同様のことが、微分方程式でもできるのだと。それが、”微分ガロア理論”だと

”微分ガロア理論”を直接語るより、代数方程式を語って、「それと同じことが”微分ガロア理論”でできるという研究をしたのだと」説明している
いわば、上記(1)(2)は、”微分ガロア理論”を説明するためのキーの文章であり、それはエッセンスであり、梅村 浩先生がガロア理論に対して持つ心象風景だと思うんだ

自分はこれを読んで上記(1)(2)に感心した
だが、あんたは”対称性ってなによ? 意味不明じゃん 梅村も対象性の意味を書いてないだろ”>>118-120 ??かよ

190 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 10:25:18.36
>>188
>ひょっとして隠れた対称性ってガロア群のことを
>言ってるのか?

当然だろ
おいらの解釈はそれ
それ以外の解釈の仕方があるのかね?

191 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 10:32:37.23
だったらなんで対称性なのよ
対称群以外のガロア群は一杯ある。


192 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 10:35:24.20
隠れた対称性なんて言葉は無意味。
素直にガロア群と言えばいい。
無意味な言葉に酔ってるんじゃないよ

193 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 10:54:50.63
>>191
>だったらなんで対称性なのよ
>対称群以外のガロア群は一杯ある。

本当にガロア理論を学んだのか
群論=対称性を扱う理論というのは、梅村 浩先生は当然として書いていると思うけど
「群は,様々な対象の対称性を考える上で欠かせない概念である.」(下記)は当然で、様々な対象の対称性を数学的に扱うのが群論だと

(アマゾンサイトより。URLが長すぎるので省略)
対称性からの群論入門

内容紹介
本書は対称性の観点からみた群論への入門書である.

群は,様々な対象の対称性を考える上で欠かせない概念である.
本書では,数学専攻の学部学生向けに専門用語や群論の入門コースにおける主要な定理を,とても丁寧に,しかも平易な言葉で解説している.
本書で著者は,最初から最後まで,立体の対称性に重点を置きながら,「例」のわかりやすさを特に大切にしている.題材は28の短い章に分けられているが,全体として読者が群論を自然な流れで学べるよう配慮された構成となっている.
内容を理解するための章末の演習問題も充実しており,独習用のテキストとしても格好の書である.

英語原著は Springer の Undergraduate Texts in Mathematics シリーズの1冊として1988年に出版されて以来,世界各地の大学で教科書採用され,現在も版を重ね続けている.

194 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 10:59:53.92
だから対称性ってなによ?
何度も聞いてるけどあんた答えてないじゃん
答えられないんだろ
だって無意味なんだから
無意味な言葉に酔ってんじゃないよ

195 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 11:00:05.71
>>192
>本書で著者は,最初から最後まで,立体の対称性に重点を置きながら

>>155で紹介した* 物理のかぎしっぽ -- 代数学の群論入門が参考になるだろう(行があふれるので横につなげる)
http://hooktail.org/misc/index.php?%C2%E5%BF%F4%B3%D8
群論入門 †
群の公理(Joh著) 群について基本的なこと(Joh著) 対称群(Joh著) 置換の計算 (Joh著) 運動群 (Joh著) 有限回転群(Joh著)
有限巡回群(Joh著) 無限巡回群(Joh著) 組みひも群 (Joh・丹下著) クラインの四元群(Joh著) 対称式・交代式と群(Joh著)
正六面体群(Joh著) 正多面体群1(Joh著) 正多面体群2(Joh著) 部分群(Joh著) 集合の元同士を足す・掛ける(Joh著)
類別(Joh著) 整数の加法群の剰余類(Joh著) 剰余類(Joh著) 剰余類2(Joh著) 完全代表系と商集合(Joh著)
整数の剰余類のつくる加群(Joh著)
整数の剰余類の作る乗群(Joh著)
ラグランジェの定理(Joh著)
群の位数と元の位数(Joh著)
正多面体群3(Joh著)
フェルマーの小定理(Joh著)
シローの定理(Joh著)
群が集合の上で働くということ(Joh著)
軌道の概念(Joh著)
固定部分群(Joh著)
共役類(Joh著)
群の中心(Joh著)
中心化群(Joh著)
共役部分群と正規部分群(Joh著)
正規部分群に関する幾つかの性質(Joh著)
商群(Joh著)
組成列と単純群(Joh著)
準同型写像(Joh著)
準同型写像に関する定理(Joh著)
準同型定理の例(Joh著)
同型定理(Joh著)

196 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 11:03:29.97
必死に検索してるなw
無駄だって
無意味な言葉なんだから

197 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 11:06:30.15
まともな数学者は群論は対称性を研究するものだ
なんて言わない。

198 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 11:12:15.86
>>192
>隠れた対称性なんて言葉は無意味。
>素直にガロア群と言えばいい。

だれに向かって言っているの?

梅村 浩先生は、ご自身の研究”微分ガロア理論”を紹介する過程で、歴史的なガロア理論に対する経緯の途中として>>189
”彼らはガロア理論を発見した。ガロア理論を次のように説明することができる。
(1)代数方程式は隠れた対称性をもっている。この対称性はガロア群*3で記述される。
(2)ガロア群を観察すれば、公式(1)を一般化する公式がつくれないことが証明できる。”
と書かれた

ご自身の研究”微分ガロア理論”を紹介する一助として
”微分ガロア理論”を直接紹介しようとすると、結局歴史的経緯としての方程式の”ガロア理論”を説明することに
方程式の”ガロア理論”の説明を、上記の(1)(2)に凝集させた

「素直にガロア群と言えばいい。」?
確かに、本当にガロア理論を学んだ者にとっては、それで良いだろう

だが、”広く一般社会人や生徒を対象とし、高等学校の一般的なレベルの基礎知識があれば興味をもって読み進められる、平易で親しみやすい内容を基本とする”>>182を趣旨として
梅村 浩先生は、上記の(1)(2)の2行に方程式の”ガロア理論”凝集させた。この2行にガロア理論が集約されている

それが読み取れないなら、本当にガロア理論を学んだ者とはいえまい
ところで、本当に、群論=対称性を扱う理論ってことも理解していないか?

”群論=対称性を扱う理論”という視点で、上記(1)を再度読んでみな

199 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 11:13:45.56
>>197
>まともな数学者は群論は対称性を研究するものだ
>なんて言わない。

いうよ
というか、おそらく数学者なら10人が10人ともいうだろう

200 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 11:21:52.99
>>199 つづき
>まともな数学者は群論は対称性を研究するものだ
>なんて言わない。

ここに茨城大学の山上 滋先生の群論入門のPDFがある
読んでみな
http://sss.sci.ibaraki.ac.jp/teaching/group/group1.pdf
群論入門
山上 滋
平成15 年4 月14 日
「群論」の授業というと、代数の一部として教えられることが多いよ
うですが、もっと適用範囲の広い汎用性のある概念です。群論に限らず、
代数系の本は「代数学」に片寄りすぎかも知れません。代数方程式論に由
来するという歴史的事実があるにしても、「群」という概念の重要性は、
対称性の記述のためにこそあるのであって、・・・

201 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 11:25:22.50
だから対称性ってなによ?
検索しないで自分の言葉で説明出来ないのか?


202 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 11:28:17.78
検索しないと自分が酔ってる言葉を説明出来ないのかw


203 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 11:30:32.24
>>200 つづき

このPDFは途中までしかないね。えーとここだね、下記のgroup1.pdfが上記のPDFだな。続きがあるよ
http://sss.sci.ibaraki.ac.jp/teaching/group/gunron2003.html
群論入門授業日誌

4月14日
線型代数の「基底と成分」のあたりをさらに復習して、3次の直交行列と回転の行列とを関係付けました。
「基底と1次変換の成分行列」の考えの有効性を実感していただたら嬉しいのですが、なかなかそうも行かないかしれません。これが分かれば、線型代数はほぼ卒業、と思っていいので。
復習してみて、具体的な困難を感じたら、どうぞ遠慮無く質問に訪れてみて下さい。

そういった復習をする人のために、講義ノートを少しずつ公開していきます。(1時間の授業につき2時間家で復習するのだそうな。知ってました?)
(group1.pdf, group1.ps)

204 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 11:38:03.51
>>201-202
”群論=対称性を扱う理論”という視点に立てないなら、
梅村 浩先生の”(1)代数方程式は隠れた対称性をもっている。この対称性はガロア群*3で記述される。”の意味が取れないは、仕方ないし

まあ、はっきり言って
1)勉強不足
2)世間知らず(群論が応用されている物理や化学の分野に無知)
のどちらかでしょ

”群論=対称性を扱う理論”は、こちらからすれば常識でね
常識が分からんと言われてもなー

しかも、自称”ガロア理論を学んだ者”>>175で、”少なくともあんたより良く知っている”>>177とのたまうあなた
>>1のような質問サイトで、”群論=対称性を扱う理論”は常識ですかと聞いて、常識だと知ってから来てくれよ

205 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 11:38:21.17
幾何学はある変換群に関して不変な性質を研究するもの
というのはクラインの言い出したことで
それはある意味正しい。
だからといって幾何学は対称性の研究だとは
言えないし、そんなことを言ってる数学者も
ほとんどいない。


206 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 11:42:21.05
>>204
説明出来ない常識ってw
ちゃんと自分の言葉で説明してよ。
対称性ってなによ?

207 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 11:43:16.34
>>201
>だから対称性ってなによ?

対称性については>>122-125で説明しているよ
そして、”式の対称性とは、例えばx と y の入れ替えについてってこと
入れ替えは置換ってことで、置換群に繋がって行く”>>129
と群との関係も書いているよ

208 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 11:46:36.40
>>207
それは対称群について説明してるだけじゃん

209 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 11:47:52.13
>>205
>幾何学はある変換群に関して不変な性質を研究するもの
>というのはクラインの言い出したことで

なるほど、多少知識はあるんだね

>だからといって幾何学は対称性の研究だとは
>言えないし、そんなことを言ってる数学者も
>ほとんどいない。

論旨をすり替えたね
もとは、>>200
>まともな数学者は群論は対称性を研究するものだ
>なんて言わない。

に対し、茨城大学の山上 滋先生の群論入門
「群」という概念の重要性は、対称性の記述のためにこそあるのであって
を引用したよ

直接の反論は?

210 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 11:51:33.82
>>209
だから対称性ってなによ?

211 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 11:59:37.25
少数の二流の数学者の好い加減な言葉を鵜呑みに
してそれを2chで宣伝するのはやめてくれ。
学生を混乱させる。

212 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 12:00:03.94
>>208
>それは対称群について説明してるだけじゃん

勉強不足、理解不足だな

繰り返し引用になるが>>122
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E6%80%A7
対称性(たいしょうせい)、又はシンメトリー (英語: symmetry) は、ある変換に関して不変である性質である。
目次
1 空間の対称性
1.1 並進対称性
1.2 回転対称性
1.3 鏡像対称性
1.4 結晶
2 式の対称性
式の文字を入れ替えても元の式と変わらない式を対称式という。 例えば x^2+xy+y^2 は x と y の入れ替えについて不変な対称式である。
(引用おわり)

ここで
空間の対称性と、式の対称性とをつなぐのが群論なのだよ

群論という視点に立つと、空間の対称性と式の対称性に共通点が見えてくるのだ
それは、「対称群についての説明」とは全く違った視点に立つものだよ

なお、定義
”対称性(たいしょうせい)、又はシンメトリー (英語: symmetry) は、ある変換に関して不変である性質である。”
として与えられている

ある変換を演算あるいは操作と見て、演算あるいは操作について閉じた対象=群と捉える
閉じた対象=群とは、積の定義(連続した操作)や逆元(逆の操作)を考える
そうして、対称性→操作(変換)→操作(変換)について閉じられた対象→群とつながる
(こちらにとっては自明だが)

213 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 12:04:46.30
>>211
>少数の二流の数学者の好い加減な言葉を鵜呑みに

ほんと勉強不足
”群論=対称性を扱う理論”が理解できないのか? 何を勉強してんだ?
そもそも、二流の数学者って、あなた自分のレベルを考えなさいよ

214 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 12:06:24.20
アーベル群を仮定しなくても
それに似たような性質をもつものがつくれる
ってことじゃね
左〜
右〜
の区別がいらないとか
つまり非可換なものの全体の中でもしも
結合法則が成り立つとすればそれから可換と場合と同じ性質を導出できる
気がする

215 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 12:11:57.68
素直に変換群または置換で不変な性質と言えばいい。
対称性などというからわからなくなる。
隠れた対称性なんて言葉に酔ってんじゃないよ。




216 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 12:15:21.15
>>213
一流の数学者の誰が言ってる?

217 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 12:34:34.56
ガロア拡大の自己同型群の部分群のなす圏と
その部分体のなす圏の双対圏が圏同値というのが
ガロア理論の胆。対称性なんてピントはずれ。

218 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 12:56:01.07
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
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     |   |  | / / レ',二、レ′ ,ィイ|゙/   私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.     |   \ ∠イ  ,イイ|    ,`-' |      頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
    |      / `‐-、::::::::::`‐-、::::\   /,ニニ、\            それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
   |      |::::::::::::::::::|` -、:::::::,ヘ ̄|'、  ヒニ二、 \
.   |      /::::::::::::::::::|::::::::\/:::O`、::\   | '、   \
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219 :あんでぃ:2012/04/21(土) 13:24:49.26
[TS/GF/VX/MP]
[O/H]
[FJT/OGN]
[TRKI/OGR]
[SC]
[コースワーク]

220 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 13:25:02.36
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
        , '´  _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
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.     |   \ ∠イ  ,イイ|    ,`-' |      頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
    |      / `‐-、::::::::::`‐-、::::\   /,ニニ、\            それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
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221 :あんでぃ:2012/04/21(土) 13:25:14.10
[TS/GF/VX/MP]
[O/H]
[FJT/OGN]
[TRKI/OGR]
[SC]
[コースワーク]


222 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 14:01:15.13
>>214

そういう見方もあるね

>>215
>素直に変換群または置換で不変な性質と言えばいい。
>対称性などというからわからなくなる。
>隠れた対称性なんて言葉に酔ってんじゃないよ。

全く無茶苦茶な議論だし
数学以外の世界を知らないらしいね
それから、歴史を知らない

対称性の概念は、変換群や置換よりずっと古い概念だよ
図形の対称性は古代ギリシャのユークリッドの時代(おそらくはそのずっと前)からの概念
そうして、「千年以上後に、高次方程式の解法から対称式が研究されるようになった」>>123と書いたように
変換群や置換はずっと後の時代なんだよ

そうして、代数方程式の解法の研究から、ラグランジュ、ガウス、コーシー、アーベル、ガロアと来て、群論に結実した
ガロアの後世の人によって、群論の立場から見ると対称性が、空間や式の対称性など世にあるあらゆる対称性を数学的に扱えるのだと
それが、現代数学における群論の位置づけである

現代数学を学ぶ者の常識だと思うのだが
繰り返すが、対称性の概念は、変換群や置換よりずっと古い概念で、古代ギリシャから人類が直感的に把握してきたもの
それを、群論という光を当てて考えてゆくのだと
そう考えれば隠れた対称性という表現は、(古代からの自然な対称性という概念と群を結びつけることで)大いに意味があると思うよ

それが梅村先生の視点だと思う

223 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 14:02:42.44
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.     |   \ ∠イ  ,イイ|    ,`-' |      頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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224 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 14:12:41.94
なるほど
その辺の葉っぱが何で対称になってるのか
は自然に思う
その自然をことばで記述したってことか

225 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 14:14:10.57
>>216
>一流の数学者の誰が言ってる?

原田耕一郎先生じゃ不足か?
「美しいものには隠れた対称性がある」という標語を、原田耕一郎先生は使われているようだが
あなたの主張を原田耕一郎先生にぶつけてみたら?
隠れた対称性なんてナンセンスで、”学生を混乱させる。”>>211

http://mathsoc.jp/publication/tushin/903/yoshiara.pdf
書評 原田耕一郎著 「群の発見」 岩波書店248ページ、2001年11月21日刊

梅田駅前の書店で初めて手に取ったとき、新奇な書名と、帯に付けられた情緒的な宣伝文句に驚かされた。
「群」という存在は自然界にもともと潜んでいたものであり、それが「発見」され、次第に我々人間に身近な存在になっていく過程を描き出そうとしたのが本書である{そんな著者の主張が伝わってくるような書名だ。
「美しいものには隠れた対称性がある」という標語の中でも、「美」と「隠」の字が意図的に重ねられている。

前々スレ352で紹介したが
http://mathsoc.jp/publication/tushin/0801/mitsumatsu.pdf
原田耕一郎著,『群の発見』岩波書店,2001年,248 + xiv 頁 (三松佳彦,中大理工)
(以下引用)
第1章では群の概念を図形や集合の持つシンメトリーとして導入する.読者層として
は(もちろん筆者も十分に楽しんだが)高校生も含めることができよう.全くの初学者
への配慮は随所に十分なされている.特に群の概念の導入はゆったりとしており,対称
性を前面に打ち出していて,数の演算による例を引き合いに出すことには注意がうまく
配られている.対称群,交代群,正多角形のシンメトリー(有限巡回群,2面体群),
正多面体のシンメトリー(多面体群)などがこの章の主役なのである.
(引用おわり)

226 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 14:22:13.98
>>224

なるほど
そういう見方もあるね

227 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 14:24:02.45
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.     |   \ ∠イ  ,イイ|    ,`-' |      頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
    |      / `‐-、::::::::::`‐-、::::\   /,ニニ、\            それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
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228 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 14:51:19.14
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        , '´  _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
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     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
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    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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229 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 15:00:23.41
>>225
他人の考えを頼るんでなく自分で考えられないのか?
例えば X^5 - 2 の有理数体上のガロア群の位数は20だが
このガロア群がこの方程式の対称性を表しているってどういう意味?
対称性もなにもそういうガロア群を持っているだけだろ。




230 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 15:06:26.18
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     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
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231 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 15:15:43.09
アランコンヌはガロアの業績の紹介の中で
ガロアを対称性の破壊者と呼んでいる。

Brisker de symetrie
Le premier pas de la demarche de Galois consiste a briser
de maniere maximale la symetrie entre les racines
d'une equation en choisissant une fonction
auxiliaire largement arbitraire de n variables.



232 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 15:19:01.53
>>231
>Brisker de symetrie

Brisure de symetrie

233 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 15:22:33.32
>>231
論説の原題は
La pensee d'Evariste Galois et le formalisme moderne


234 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 15:53:34.87
「国の借金」について

日頃メディアや、反日工作員が必死になって「国の借金」という単語を使い
財政破綻論を展開させていますが、現実、現在の日本には「政府の借金」1000兆円近く存在いたしますが、
「国の借金」は存在いたしません。

朝日新聞やNHKは、雇い主である中国共産党より日本人に対して不安や政府に対する不信を持たせ、煽るために
局内の共産党員を使用して既に数十年間、「国の借金」を連呼し続けております。

<違和感なく「国の借金が1000兆円もある」という幻想に浸ってしまっている一般の方々は、朝日新聞やNHKに見事に騙されて続けている訳です>

数十年もテレビや新聞から情報を得てきた方々の中には、「メディアが嘘を付く訳ない」と思う、そう思いたい方もいるでしょう。
  しかし、長い目で見れば、もともと戦前から日本を転覆させるために存在してきた報道機関ですから、
これくらいの嘘は朝飯前で御座います。

それでも、「国の借金は1000兆円ある」と考えをお持ちの方は、複式簿記の勉強をしてから、日本のバランスシートをご覧ください。
 
  実質中国の広報機関であるNHK、朝日新聞は、これからも嘘を付き続けます。デマを流し続けます。捏造し続けます。
   
 ---そのニュース 核心はヤラセだ       長文失礼いたしました。---



235 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 17:50:52.41
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236 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 17:55:20.77
>>231-233
乙です
いや、面白ね

で、231はPS版で、同じ内容のPDF版が下記にあるね
http://www.alainconnes.org/fr/downloads.php
Alain Connes -- Documents

? La Pensee d'Evariste Galois et le Formalisme moderne [PDF] 259 KB http://www.alainconnes.org/docs/galoistext.pdf [PS] 1.6 MB

237 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 18:01:07.06
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     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
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238 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 18:15:32.63
>>236 つづき

”アランコンヌはガロアの業績の紹介の中で
ガロアを対称性の破壊者と呼んでいる。”>>231は、全くの誤訳誤解でしょ

"Brisure de symetrie"は、正確には ”2. Brisure de symetrie” で、2章の表題だろ(因みに、”1. Introduction” )
で、結論から言えば、 ”2. 対称性の分解”とすべきだろう

239 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 18:24:27.47
>>236
なんで対称性の破壊者と呼んだかわかるかな?
ガロアは論文の始めに対称群で不変となる式でなく
恒等置換以外の全ての置換で不変とならないもの
を定義してそれを議論の中心においた。
このことを指している。
コンヌだからこそ言える台詞。
そこらの二流の数学者じゃ群といったら対称性と
脊髄反射的に月並みな台詞を吐くのが関の山。

240 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 18:27:30.08
>>238
分解じゃなく破壊者だよ

241 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 18:28:46.39
>>238 つづき

”2. Brisure de symetrie”の10行ほど後に、
V = Aa + B b + C c +
と出てくる

これは有名なガロア分解式(リゾルベント)>>15
ならば、Brisure de symetrie=対称性の分解

しかも、”ガロアを対称性の破壊者と呼んでいる。”というのはどの文を根拠にしている? (”ガロアを”の部分が読めない)
おいらも、仏語はよく分からないが、いまネット翻訳もあるから(例えば下記)翻訳にかけているのでよろしく
http://www.excite.co.jp/world/french/

242 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 18:34:39.25
つまりその式は対称性の対極にあるもの。
これに目をつけたガロアをコンヌは賞賛している。

243 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 18:36:38.02
>>239
じゃ聞くが
”2. Brisure de symetrie”のすぐ(10行ほど)前に下記があるよ

L'un des aspects des idees de Galois qui est passe le plus facilement dans les outils
conceptuels des scientiques de notre epoque est celui relie a la notion de symetrie.

Gr^ace a cet acquis il n'est pas irrealiste d'esperer que les textes de Galois soient
devenus accessibles au scientique non-mathematicien (physicien chimiste et peut-
^etre biologiste). Raison de plus pour en commencer la lecture !

これを訳してみな

244 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 18:42:13.65
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
        , '´  _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
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     |   |  | / / レ',二、レ′ ,ィイ|゙/   私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.     |   \ ∠イ  ,イイ|    ,`-' |      頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
    |      / `‐-、::::::::::`‐-、::::\   /,ニニ、\            それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
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245 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 18:52:16.53
>>231
いやー面白いね
ネット翻訳で、仏→日は使えないが仏→英はかなり使える
http://www.excite.co.jp/world/french/

例えばこの文

2. Brisure de symetrie
Le premier pas de la demarche de Galois consiste a briser de maniere maximale
la symetrie entre les racines d'une equation en choisissant une fonction auxiliaire
largement arbitraire de n variables. Il enonce


2. Break of symetrie
The first step of the d emarche of Galois consists has break mani maximal era the symetrie between the roots of an equation while choosing an auxiliary function extensively arbitrary of variable n. It expresses

246 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 18:54:37.46
>>245 つづき

だれがどう見ても、英訳ではガロア分解式についての説明だよね

247 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 18:57:13.21
>>243 つづき

英訳
One of the aspects of the idees of Galois that is the most easily e pass in the conceptual tools of the scienti ques of our time is the one e reli has the notion of symetrie.




Gr^ace has this acquirement he is not irr ealiste of esp erer that the texts of Galois became accessible to the scienti that no-math ematicien (physicist chemist and can - ^ to be a biologist). All the more reason to begin reading of it!

248 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 18:59:05.10
>>247 つづき

えらく行間が空いてしまったが
英訳
One of the aspects of the idees of Galois that is the most easily e pass in the conceptual tools of the scienti ques of our time is the one e reli has the notion of symetrie.

を見る限り、意味の取れないところもあるが
”ガロアを対称性の破壊者と呼んでいる”と真逆だと思うのだが

249 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 19:47:40.14
>>248
それは対称性を強調してるよくあるガロア理論入門書
に対する皮肉。

250 :231:2012/04/21(土) 19:53:35.90
猫ならフランス語が得意らしいから俺の言ってることに
賛成するだろう。

251 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 20:06:48.34
>>236

(再録)
http://www.alainconnes.org/fr/downloads.php
Alain Connes -- Documents

ここ、仏語が読めれば面白そうな文献が沢山あるね

・Symetries [PDF] 193 KB http://www.alainconnes.org/docs/symetries.pdf [PS] 6.6 MB
辺を読んでみたらどうだ? 仏語が得意なら

この中にGaloisがあるが、どう扱われているか分かるだろう

252 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 20:25:30.62
>>249
>それは対称性を強調してるよくあるガロア理論入門書に対する皮肉。

おいおい

>>243の最初の文

L'un des aspects des idees de Galois qui est passe le plus facilement dans les outils conceptuels des scientiques de notre epoque est celui relie a la notion de symetrie.

One of the aspects of the idees of Galois that is the most easily e pass in the conceptual tools of the scienti ques of our time is the one e reli has the notion of symetrie.

二つ目の文

Gr^ace a cet acquis il n'est pas irrealiste d'esperer que les textes de Galois soient devenus accessibles au scientique non-mathematicien (physicien chimiste et peut-^etre biologiste). Raison de plus pour en commencer la lecture !

Gr^ace has this acquirement he is not irr ealiste of esp erer that the texts of Galois became accessible to the scienti that no-math ematicien (physicist chemist and can - ^ to be a biologist). All the more reason to begin reading of it!

だよ? そもそも、こんな箇所で”ガロア理論入門書に対する皮肉”なんて出すところじゃないでしょ

おいらの解釈
最初の文:ガロアのアイデアに対する一つの見方は、対称性を把握するための現代の科学者が簡単に使える概念的なツールを作った
のように読めるけど?

二つ目の文:非数学者 物理、化学、生物学の人たちがガロアを習得できるように、それがこのlectureを始めた理由だ
のように読めるけど?

253 :あんでぃ:2012/04/21(土) 20:45:06.95
[TS/GF/VX/MP]
[O/H]
[KBGE/SC]

254 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 20:54:58.16
>>229
>他人の考えを頼るんでなく自分で考えられないのか?
>例えば X^5 - 2 の有理数体上のガロア群の位数は20だが
>このガロア群がこの方程式の対称性を表しているってどういう意味?
>対称性もなにもそういうガロア群を持っているだけだろ。

で、これに戻るけど、おいおいわざと間違えて、トラップのつもりか?
X^5 - 2=0 は、2項方程式だから、巡回群でガロア群の位数は5だろ

ここらは、下記が参考になる
http://hooktail.sub.jp/algebra/1sNthRoot/
1のn乗根 [物理のかぎしっぽ]

255 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 21:07:12.46
>>254 つづき

1のn乗根 [物理のかぎしっぽ]にあるように
ζ=cos(2π/5)+ i sin(2π/5)=e^(2π i/5) :1の5乗根
とすると、
2の5乗根=2^(1/5)に、上記1の5乗根ζを順次ζ^2, ζ^3, ζ^4
を掛けた5つの数が、X^5 - 2=0の根

どの根も5乗すれば、有理数体になることは自明
ならば、ガロア群は1の5乗根の成す群=位数5の巡回群と同じだろ


256 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 21:07:37.21
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      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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257 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 21:10:52.93
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258 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 21:14:14.20
>>252
おいおいじゃねえよ。
コンピュータ翻訳なんか持ち出すなって。
俺が信じられないなら
誰かフランス語と数学のわかる奴に翻訳してもらえ。
話はそれからだ

259 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 21:15:29.20
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260 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 21:17:09.08
>>255
それでよくガロア理論の話が出来るなw

261 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 21:22:42.74
>>255 つづき

>このガロア群がこの方程式の対称性を表しているってどういう意味?

ガロア群は1の5乗根の成す群=位数5の巡回群と同じってことは、下記のページの中に図があって”解は複素平面上の単位円の周の五等分点にあたる.”というところがあるんだが、その図を見てみな
http://hooktail.sub.jp/algebra/1sNthRoot/

位数5の巡回群=単位円の周の五等分点がぐるぐる回る(巡回する)という対称性を持つということが分かる

>対称性もなにもそういうガロア群を持っているだけだろ。

位数5の巡回群は、2項方程式になるから、外見で分かる
しかし、位数10や位数20の群になっている方程式を外見から見分けることは困難だ
この対称性は外見(方程式の係数を見ても)からは分からない

ではどうするか?
現代の考え(元吉文男による>>31)は、位数20の群で不変な根の式を作って、それが有理数になるか否かを見ようという
http://staff.aist.go.jp/f.motoyoshi/java/deg5.pdf
5次方程式の可解性の高速判定法 元吉文男 著 - FM Memo 19961017-01

h = x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 + x5x1- x1x3- x3x5- x5x2- x2x4- x4x1
g = h^2

という式を利用する

262 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 21:29:15.97
>>261 つづき

元吉文男論文もガロア理論があって成り立つ
つまり、ガロア理論によって、5次方程式のガロア理論は解明が終わって、S5、A5、B'5(位数20)、B5(位数10)、C5(位数5 巡回群)になることが分かっているから成り立つ
即ち、ガロア理論によって、べき根で解ける場合が判明しているから、B'5を利用して判定法が工夫できると
なお、g = h^2の計算は数式処理を利用している

263 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 21:30:47.46
>>261
あんた分かってないよ。
話にならない。
ガロア理論をもっと勉強してから出直しなさい。

264 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 21:43:24.05
>>262 つづき

なお前スレ395より
http://repository.hyogo-u.ac.jp/dspace/bitstream/10132/1612/1/ZD30301003.pdf
可解な5次方程式について 大迎規宏 兵庫教育大修士論文 2003

も参考になるだろう
似たようなことを数式処理を用いて行なっている
これも、ガロアによる理論が完成しているから成り立つ論文

”隠れた対称性”>>198の隠れたとは、元吉文男の論文や大迎規宏にあるように、その係数からは容易に分からない(方程式の根の対称性を)意味するのだと

265 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 21:47:47.40
>>239
>なんで対称性の破壊者と呼んだかわかるかな?
>ガロアは論文の始めに対称群で不変となる式でなく
>恒等置換以外の全ての置換で不変とならないもの
>を定義してそれを議論の中心においた。
>このことを指している。
>コンヌだからこそ言える台詞。
>そこらの二流の数学者じゃ群といったら対称性と
>脊髄反射的に月並みな台詞を吐くのが関の山。

これだけトンチンカンな、逆方向の理解をしているんじゃ
梅村 浩先生
”彼らはガロア理論を発見した。ガロア理論を次のように説明することができる。
(1)代数方程式は隠れた対称性をもっている。この対称性はガロア群*3で記述される。
(2)ガロア群を観察すれば、公式(1)を一般化する公式がつくれないことが証明できる。”
も理解できないも無理ないね

ところで、梅村 浩先生はどちらに分類するんだ? 君の理解なら二流の数学者なんだろう?

266 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 21:58:13.86
>>255
なんでそのガロア群が1の5乗根のなす群と同型になる?

267 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 22:01:10.61
>>265
コンピュータ翻訳に頼ってる奴に言われたくないよw


268 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/21(土) 22:28:39.70
>>267
でも、コンピュータ翻訳に具体的に反論できない

269 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 22:35:26.61
>>268
具体的に反論しないと反論出来ないことになるのか?
具体的に反論したってあんたそれが正しいか判断出来ないだろ。
フランス語読めないんだから。

270 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 22:37:55.62
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271 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 22:39:51.18
とにかくコンピュータ翻訳を根拠に俺に反論する
のは噴飯もの。正気かよ。


272 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 22:59:40.29
>>255
ガロア理論の教科書に当たってみろ。
2項方程式のガロア群について書いてある本があるはず。
よくあるのは基礎体に1の冪根が含まれている
場合だが、その場合は巡回群になる。
が今の場合は違う。

273 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 23:41:19.22
1が運営だったりして

274 :132人目の素数さん:2012/04/21(土) 23:58:19.76
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275 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 00:01:41.68
となると、猫vs現代数学の系譜?

276 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 00:05:54.19
いやいや猫氏は彼のAAを利用してるのですよ
数板をいわく焼払うために

277 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 02:12:21.77
>>254
>X^5 - 2=0 は、2項方程式だから、巡回群でガロア群の位数は5だろ
あんたやっぱりわかってないよw
過去スレで、次数pの既約方程式がべき根で解けるときのガロア群の位数は、p(p−1)だと
いうことを理解したと、感動しながら書いたことを忘れたのか?

ことばに酔ってると言われても仕方がない。

278 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/22(日) 05:44:01.58
>>266>>272>>277
失礼
確かに、ガロア本で2項方程式のガロア群を扱うときは、基礎体に1の冪根が含めている
だからこの場合には、2項方程式のガロア群は巡回群になる

>>229に戻ると
>>254を以下のように訂正する

X^5 - 2=0 は、2項方程式だから、基礎体に1の冪根が含めている場合には、巡回群でガロア群の位数は5

>>255も違うね
ζ=cos(2π/5)+ i sin(2π/5)=e^(2π i/5) :1の5乗根を添加した体のガロア群の位数は、φ(n)でn=5の場合φ(5)=4 (φ(n)はオイラーのファイ関数 )
http://hooktail.sub.jp/algebra/1sNthRoot/ 1のn乗根 [物理のかぎしっぽ]

なので、基礎体に1の冪根を含めない有理数体をQ、ζを添加した体をQ(ζ)、2の5乗根=2^(1/5)=αとしてこれをQ(ζ)に添加した体をQ(α、ζ)とする
Q→Q(ζ)→Q(α、ζ)
の体の拡大で、最初の拡大が4次、次の拡大が5次、全体では20次の拡大になる

方程式のガロア群は、基礎体をQとした場合の位数は20、基礎体をQ(ζ)とした場合の位数は5だな
失礼しました

279 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 06:03:39.43
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280 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/22(日) 06:22:17.25
>>258

>俺が信じられないなら

全く信じられないよな
仏語は分からなくとも、数学の論文だから、数式とか記号が出てくる。ここはほぼ共通だ
そして、>>231で原文のリンクを明示せず、Brisure de symetrieが2章の表題ということを不明確にした。分かると都合が悪かったんだろ?

>>271
>とにかくコンピュータ翻訳を根拠に俺に反論する
>のは噴飯もの。正気かよ。

じゃ、いいから>>241”ガロアを対称性の破壊者と呼んでいる。”というのはどの文を根拠にしている? (”ガロアを”の部分が読めない)
だけでも回答してくれ

”ガロアを対称性の破壊者と呼んでいる。”の根拠文がはっきりすれば、アランコンヌがそう言ったということは認めるよ
が、>>241のガロア分解式(リゾルベント)の話は、第2章の文の流れをみれば、明白だろ?

>>245より (原文 http://www.alainconnes.org/docs/galoistext.pdf >>236
2. Brisure de symetrie
Le premier pas de la demarche de Galois consiste a briser de maniere maximale
la symetrie entre les racines d'une equation en choisissant une fonction auxiliaire
largement arbitraire de n variables. Il enonce


2. Break of symetrie
The first step of the demarche of Galois consists has break mani maximal era the symetrie between the roots of an equation while choosing an auxiliary function extensively arbitrary of variable n. It expresses
(仏→英は、ほぼ逐語訳)
・・・
V = Aa + B b + C c +
と続くのだから、上記の文を根拠として「アランコンヌはガロアの業績の紹介の中でガロアを対称性の破壊者と呼んでいる。」>>231は、全く言えないと思うけどね

281 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/22(日) 07:02:41.83
>>261 つづき
h = x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 + x5x1- x1x3- x3x5- x5x2- x2x4- x4x1
g = h^2

は、決定方程式というそうだが、エム・ポストニコフの『ガロアの理論』(1964年4月25日,東京図書出版発行)(前々スレ>>442で紹介)に詳しい

282 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/22(日) 07:33:01.54
>>222
補足

「隠れた対称性」という、梅村先生の視点>>40は重要だと思うので、補足しておく

1.対称性は、人類が古代から認識していた概念(ユークリッドなどでも扱われている)で、人が直感的に把握できるもの
  定義は、時代により進化して、「対称性、又はシンメトリー (英語: symmetry) は、ある変換に関して不変である性質である。」>>212とされている
2.それに対して、対称性を数学的に扱う群という概念は、抽象的で人の直感的把握が難しい
  かつ、群の構造が容易に見えない場合が多い(だから、群論が生まれるまで歴史の時間を要した)
3.そこで、「隠れた対称性」という言葉で、直感的に把握できる対称性と抽象的な数学概念である群とを結びつけることは大いに意味がある(それを意識することに大きな意味がある)
4.人類は群論を作った。だが、群が終着点ではない。群,半群,モノイド,環,体・・・、そして現代数学では圏を抜きには語れなくなった
http://hooktail.sub.jp/algebra/ReviewAlgebra/
ここまでに出てきた代数構造のまとめ [物理のかぎしっぽ]
ここまでに,群,半群,モノイド,環,体という代数構造が出てきました.
(引用おわり)

5.今後も、新しい代数構造が考えられていくだろう
  対称性という人が直感的に把握できるものから、対象物に応じて新しい代数構造を考えゆく
  「隠れた対称性」という梅村先生の視点にはそれが含まれていると思う(梅村先生の場合には、それが微分ガロア理論だった)

283 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 07:53:36.71
>>280
X^ - 2 のときも俺が信じられなかったなw
ラグランジュの分解式はフランス語で
resolvante de Lagrange だ

284 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 08:04:34.92
それで>>229の答えは?

285 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/22(日) 08:49:48.66
>>283


>X^ - 2 のときも俺が信じられなかったなw

すまんな

>ラグランジュの分解式はフランス語で
>resolvante de Lagrange だ

ラグランジュはね。だが、下記>>280より
2. Brisure de symetrie
Le premier pas de la demarche de Galois consiste a briser de maniere maximale
la symetrie entre les racines d'une equation en choisissant une fonction auxiliaire
largement arbitraire de n variables. Il enonce

の後は、下記に続くよ。これを、仏→英の翻訳で読んだが、ガロア分解式(リゾルベント)に関するものであることは間違いない
Lemme (定理)
Etant donnee une equation quelconque, qui n'a pas de racines egales, dont les racines
sont a, b, c, , on peut toujours former une fonction V des racines, telle qu'aucune
des valeurs que l'on obtient en permutant dans cette fonction les racines de toutes
manieres ne soient egales.
Preuve (証明)
Par exemple on peut prendre
V = Aa + B b + C c +
ou A;B;C; sont des nombres entiers convenablement choisis.
(On peut m^eme si l'on veut prendre A = 1, B = N, C = N2 avec N 2 N car
l'egalite entre deux permutees de V est alors une equation polynomiale en N et n'a
qu'un nombre ni de solutions N 2 C )
Il en deduit chacune des racines de l'equation de depart comme fonction rationnelle
de V :

286 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 09:00:52.74
>>285
だからガロア分解式は resolvante de Galois だろ。

287 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/22(日) 09:01:32.50
>>284
>それで>>229の答えは?

>>261-264に書いてあるよ
これに>>278の修正を加えれば、そのまま成り立つ

X^5 - 2=0 は、2項方程式だから、基礎体に1の冪根が含めている場合には、巡回群でガロア群の位数は5 >>278
ガロア群は1の5乗根の成す群=位数5の巡回群と同じってことは、下記のページの中に図があって”解は複素平面上の単位円の周の五等分点にあたる.”というところがあるんだが、その図を見てみな
http://hooktail.sub.jp/algebra/1sNthRoot/

位数5の巡回群=単位円の周の五等分点がぐるぐる回る(巡回する)という対称性を持つということが分かる

位数5の巡回群は、2項方程式になるから、外見で分かる
しかし、位数10や位数20の群になっている方程式を外見から見分けることは困難だ
この対称性は外見(方程式の係数を見ても)からは分からない

ガロア理論によって、一般5次方程式のガロア群はS5かあるいはその部分群であるという枠組みが出来上がっている
そこで、ガロア群を決めるために決定方程式用いる方法をエム・ポストニコフが書いている>>281 
P147からの「既約な5次方程式のガロア群の計算」だ
これを数式処理に載せたのが、5次方程式の可解性の高速判定法 元吉文男 >>261

288 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/22(日) 09:03:16.57
>>286
>だからガロア分解式は resolvante de Galois だろ。

”だから”? 意味不明
resolvanteという用語を使わなかったというだけの話でしょ、コンヌが

289 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 09:06:40.44
>>287
その群は巡回群じゃない。
その群がその方程式の対称性を表しているって
どういう意味?

290 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/22(日) 09:07:55.35
>>288 補足
Lemme (定理)とPreuve (証明)との中では、resolvanteという用語は不要なんだろ
そして、une fonction Vで十分だと

resolvante de Galois とわざわざune fonction Vに命名する必要性がないんだろう、この文書では

291 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 09:21:59.95
>>288
訂正:対称性の破壊者じゃなく対称性の破れだな。
しかしコンヌの言ってる意味はたいして違わない。
ガロアが論文の最初にやったことは根の間の
対称性を最大限に壊すことであった。


292 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 09:24:21.71
「現代数学の系譜11 ガロア理論を読む」はたくさん引用するけど本人よくわかってないと思う。
なのに態度でかすぎw

293 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/22(日) 09:32:53.15
>>249
>それは対称性を強調してるよくあるガロア理論入門書
>に対する皮肉。

あんた、学生さんだね
おそらく数学科で2年生か3年生

日本のガロア理論は大体、外国の大数学者の本が底本でね
それを自分なりに工夫したものが多い
底本があるから、あまり間違ったことは書いていないよ

そういう業界事情に疎いのかね

>>239
>そこらの二流の数学者じゃ群といったら対称性と
>脊髄反射的に月並みな台詞を吐くのが関の山。

これ正しいよ
「群といったら対称性」
これで良いよ

294 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/22(日) 09:44:46.09
>>289
>その群は巡回群じゃない。

巡回群だよ
基礎体に1の冪根が含めている場合には>>278
基礎体に1の冪根を含めていない場合は、巡回群ではない
位数20の群。これは位数5の巡回群と位数4の巡回群の半直積かな

>その群がその方程式の対称性を表しているって
>どういう意味?

>>287「位数5の巡回群=単位円の周の五等分点がぐるぐる回る(巡回する)という対称性を持つということが分かる」ということが分かる

>>278 Q→Q(ζ)→Q(α、ζ) の体の拡大で、最初の拡大が4次、次の拡大が5次、全体では20次の拡大になる

これから考えると、Q→Q(ζ)の拡大のガロア群が位数4の巡回群C4に、Q(ζ)→Q(α、ζ)の拡大のガロア群が位数5の巡回群C5になっていることが分かって
それが、図形の回転対称と同じ対称性を持つと>>212

295 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/22(日) 09:48:19.50
>>292


>「現代数学の系譜11 ガロア理論を読む」はたくさん引用するけど本人よくわかってないと思う。

おいらは、基本的に引用を入れる
確認のためもあり、説得力を出すためもあり
なので、スレはほとんど999までいかない

>なのに態度でかすぎw

スレ主だからね

296 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 09:53:29.51
>>294
その群と言ったら俺があげた群に決まってるだろ。
頭痛くなるな。つまり X^5 - 2 の有理数体上の
ガロア群。これがこの方程式の対称性を
表しているってどういう意味?

297 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 10:08:49.41
>>295
ガロア理論をよく理解してないのに態度がでかい
ということ。スレ主だから態度でかくていい
ということはない。

298 :猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY :2012/04/22(日) 10:17:26.82
>>297
でもそういう人を論理的に潰すのは手間が掛かるので、従って放置する
という考え方もアルでしょう。以前と違ってそういう人に共鳴してしま
う勘違いサンももはや居ないし、だから放置しても実害はないと思いま
すけど。ココは教育の場ではないので。

どうもご苦労様です。




299 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 10:32:09.71
>>298
猫さん、>>231あたりからのコンヌのガロア観に
関する論争に決着をつけてくれませんか?
フランス語の原文なんで。

300 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/22(日) 15:09:12.41
>>298
猫さん、乙です
ふむ、猫さんはよく分かっておいでだ
おいらが、この板では新参でも、他のスレでどういう経験をしてきたかを

>>297
スレ主は態度でかくていいんだよ。気に入らなければ、自分のスレ立てれ
それに、正しいか正しくないかと、態度の大小は無関係
”でもそういう人を論理的に潰すのは手間が掛かるので”と猫さんがいうのは当たっている

>>299
学生さんだと思うんだが、成績悪いのか? 成績良いのはここまで粘着しないだろう?

>>296
こっちこそ、頭が痛くなるね

>つまり X^5 - 2 の有理数体上の
>ガロア群。これがこの方程式の対称性を
>表しているってどういう意味?

この方程式の対称性とは、根の対称性つまりこの方程式の根によって作られる拡大体の数学的構造の持つ対称性だろ
それが「分からない、分からない」じゃ、ガロア理論を学んだ者>>175とは言えまい
拡大体の数学的構造の対称性がガロア群で表されると

>>278で言えば、
ガロア拡大Q(α、ζ)/QのQ自己同型の成す群Gal( Q(α、ζ)/Q )=Aut( Q(α、ζ)/Q )がガロア群(記号 by 足立>>69) で、Gal( Q(α、ζ)/Q )は位数20の群
ガロア拡大Q(α、ζ)/Qは、Q→Q(ζ)→Q(α、ζ)の二段階に分けられる

X^5 - 1=0 の根ζ(=1の5乗根で複素数根)による拡大Q→Q(ζ)は、拡大体Q(ζ)/Q )のガロア群Ga( Q(ζ)/Q )=Aut( Q(ζ)/Q )が位数4の巡回群C4
X^5 - 2=0 の根α(=2の5乗根で実数根  )による拡大Q(ζ)→Q(α、ζ)は、拡大体 Q(α、ζ)/Q(ζ)のガロア群Ga( Q(α、ζ)/Q(ζ) )=Aut( Q(α、ζ)/Q(ζ) )が位数5の巡回群C5
巡回群C4は、Gal( Q(α、ζ)/Q )の正規部分群で、商群はGal( Q(α、ζ)/Q )/C4=C5だと。これが、「ガロア群が、方程式の対称性=拡大体Q(α、ζ)の数学的構造の対称性を表している」(ガロア理論)ということ
あなたのような人を論理で納得させるのは手間が掛かるので、従って放置するという考え方もアルでしょう、では

301 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 15:10:03.66
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
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     |   |  | / / レ',二、レ′ ,ィイ|゙/   私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
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     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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302 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 15:28:14.01
>>300
間違ってることを偉そうに言ってるのは問題ないのか?


303 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 15:35:49.84
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304 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 15:36:22.68
>>300
なんで剰余群が巡回群だと方程式が対称なんだよ。
百歩いや千歩譲ってそれが対称性を表しているとして
可解でないガロア群をもつ方程式はどうなんだ?
その方程式のガロア群がその対称性を表しているって
どういう意味?


305 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 15:36:48.10
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306 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 15:45:30.55
>>300
猫はあんたのことを擁護してるわけじゃない。
この板は過疎ってるので偉そうなアホは放置しても
それほど害はないと言ってるだけ。
俺は必ずしもこの説に賛成でないが。

307 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 15:46:24.46
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308 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 15:55:19.11
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309 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/22(日) 17:57:48.18
>>302
>間違ってることを偉そうに言ってるのは問題ないのか?

間違ってることがあれば具体的かつ簡潔に指摘してくれ
自分の理解不足の質問責めは止めてくれ

なお、「隠れた対称性」については意見が違うよ>>282
おいらは、梅村先生を指示する

>>304
対称性を狭く捉えすぎ
”対称性、又はシンメトリー (英語: symmetry) は、ある変換に関して不変である性質である。”>>212

変換あるところ、対称性あり
変換とは、式においては操作や置換のこと

群は変換を、演算と見る
そして、演算の積、単位元、逆元を考えて、演算に対して閉じた集合を考える

逆に言えば、群のあるところ変換(=演算)ありということができる
そういう見方ができないか?


310 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/22(日) 18:05:00.36
>>306
猫さんは、自由だよ
このスレで遊びたければそうするだろうし

暴れたければそうするだろう
それは、猫さんの自由だし、運営でもなんでない人間(おいら)にどうこう出来るものじゃない

猫さんに頼み事をしても>>299、気が向いたらするだろうさ
だが、えらく弱気に見える。猫さんを高く評価しているんだろうが。まあ、レベルは高そう(大学数学科教員レベルはあるんだろう)

311 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/22(日) 18:09:57.58
>>309
補足

>百歩いや千歩譲ってそれが対称性を表しているとして
>可解でないガロア群をもつ方程式はどうなんだ?

昔、インドでゼロが発明されたという
それ以前はゼロは数に入らない
人類はゼロを発明することで、数を統一して把握することができるようになった

方程式で対称性を持つものと持たないものがある
持たないものは、ゼロの対称性を持つと考えるんだ

そうすれば、統一した視点に立てるよ

312 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/22(日) 18:34:41.62
>>311
補足の補足

下記説明で、対称性という言葉がキーワードになっていることが分かるだろう
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
数学における群(ぐん、group)とは最も基本的と見なされる代数的構造の一つである。
概略

群の概念は、数学的対象 X から X への自己同型の集まりの満たす性質を代数的に抽象化することによって得られる。
この集まりは X の対称性を表現していると考えられ、結合法則・恒等変換の存在・逆変換の存在などがなりたっている。

集合論にもとづき X が集合として実現されている場合には、自己同型として X からそれ自身への全単射写像を考えることになるが、空間や対象の持つ構造に応じてさらに付加条件を課すことが多い。
例えば、ベクトル空間 X に対してその自己同型写像の集まりを考えると群が得られる。
また、平面上に正三角形など何らかの対称性を持った図形が与えられているとき、平面全体の変換のうちでその図形を保つようなものだけを考えることによって、図形の対称性を表す群を取り出すことができる。

313 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 18:51:35.13
横槍すみません
対称的な変換全体が群になるのは分かりますが、その逆で任意の群を対称的な変換全体と見なせるとは言えないのでは?

314 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/22(日) 19:38:34.55
>>313

>対称的な変換全体が群になるのは分かりますが、その逆で任意の群を対称的な変換全体と見なせるとは言えないのでは?

横槍OKですよ

”群の概念は、数学的対象 X から X への自己同型の集まりの満たす性質を代数的に抽象化することによって得られる。
この集まりは X の対称性を表現していると考えられ、結合法則・恒等変換の存在・逆変換の存在などがなりたっている。”>>312

という
数学的対象 X から X への自己同型として取り出された射の演算を抽象化した(数学的対象 X から切り離した)代数的構造を表すものと捉えるべきかも
そういう意味では、任意の群は演算(群としての)を持つ変換の集合と良いと思う

さらに付言すれば、数学的対象 Xに対して群を超えて、いろいろなものが考えられる
とすれば、群で思考停止するのではなく、対称性という非数学言語で語っておくことが、既存の代数的構造を超えて行く力になると思うんだ

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%A7%8B%E9%80%A0
数学において代数的構造(だいすうてきこうぞう、algebraic structure)とは、集合に定まっている算法(演算ともいう)や作用によって決まる構造のことである。
代数的構造の概念は、数学全体を少数の概念のみを用いて見通しよく記述するためにブルバキによって導入された。
また、代数的構造を持つ集合は代数系(だいすうけい、algebraic system)であるといわれる。すなわち、代数系というのは、集合 A とそこでの算法(演算の規則)の族 R の組 (A, R) のことを指す。
逆に、具体的なさまざまな代数系から、それらが共通してもつ原理的な性質を抽出して抽象化・公理化したものが、代数的構造と呼ばれるのである。

現代では、代数学とは代数系を研究する学問のことであると捉えられている。

代数的構造の例
一つの演算によって決まる代数的構造
マグマ: 一つの二項演算の定義された集合。
擬群 (quasi-group): a × x = c であるような x が一意に決まるマグマ
Loop: 単位元 e を持つ擬群。したがって、任意の元が逆元を持つマグマとも言える。
半群: 結合法則を満たすマグマ モノイド: 単位元を持つ半群

315 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/22(日) 19:40:37.10
>>314
訂正

そういう意味では、任意の群は演算(群としての)を持つ変換の集合と良いと思う
 ↓
そういう意味では、任意の群は演算(群としての)を持つある(抽象的な)変換の集合として良いと思う

316 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 19:51:35.38
>>311
例外が多すぎるだろw



317 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/22(日) 19:57:07.82
>>316
>例外が多すぎるだろw

確かに、例外が多いか
が多くの人は、群S5も対称性ありに含めていると思うけどね、たいがいの数学者は
S5とC5を区別する確かな規範もないだろう

318 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 21:03:18.83
>>317
ある群が対称性をもつかどうかの判定基準は何?


319 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/22(日) 21:24:27.25
>>318
>ある群が対称性をもつかどうかの判定基準は何?

あるとも言えるし、無いともいえる

あるとも言える:群の定義(2項演算になるか? 結合法則は? 単位元は? 逆元は?)
無いともいえる:ボンクラが見れば群の構造が見えないが、大数学者が見れば隠れた群構造を見抜ける場合がある

320 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 21:26:09.44
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321 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 21:28:01.47
だめだこりゃ


322 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 21:28:49.73
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323 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/22(日) 21:32:46.65
>>319
失礼

群になるかどうかと勘違い

>ある群が対称性をもつかどうかの判定基準は何?

? なんらかの対称性があるから、群があると個人的には思う

”対称性、又はシンメトリー (英語: symmetry) は、ある変換に関して不変である性質である。”>>212

対称性には、変換と不変というキーワード
この変換を演算と考えて、二つの演算に>>319の群の定義(2項演算になるか? 結合法則は? 単位元は? 逆元は?)を当てはめる

群構造があるなら、群の定義(2項演算になるか? 結合法則は? 単位元は? 逆元は?)はすべてOK

そこで、「群の概念は、数学的対象 X から X への自己同型の集まりの満たす性質を代数的に抽象化することによって得られる。」>>312から
数学的対象 X になんらかの対称性があるんだと

群自身に対称性を求めるのは、地球の海に海水があるかと聞くが如し(同語反復に思える)

324 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/22(日) 21:38:37.70
>>232
訂正

この変換を演算と考えて、二つの演算に>>319の群の定義(2項演算になるか? 結合法則は? 単位元は? 逆元は?)を当てはめる
 ↓
この変換を演算と考えて、こつの演算に

325 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 21:39:08.89
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326 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/22(日) 21:43:16.19
>>232
>数学的対象 X になんらかの対称性があるんだと
>群自身に対称性を求めるのは、地球の海に海水があるかと聞くが如し(同語反復に思える)

補足
数学的対象 Xの対称性を、群という代数的構造として取り出す
加藤和也風に言えば、数学的対象 Xのシンメトリー(対称性)の化身が群だと
対称性の化身に、対称性があるか無いかを問うのはナンセンスだと思うぞ

327 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 22:13:41.77
>>326
>>311で方程式で対称性を持つものと持たないものがあると
書いてある。

328 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 22:33:40.38
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329 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 22:48:50.19
>>326
対称性から群構造を抽出出来るからといって、
全ての群が対称変換全体として表現可能とは限らないというのが問題なのだと思うのですが。

330 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/22(日) 22:54:07.28
>>327
> >>311で方程式で対称性を持つものと持たないものがあると
>書いてある。

まあ、対称性というのは、非数学言語だから
方程式の対称性をどう定義するかも問題だが

しかし、一般の5次方程式、そのガロア群S5。この場合に、方程式は対称性を持つと定義するのかどうか

そこで、>>317に「が多くの人は、群S5も対称性ありに含めていると思うけどね、たいがいの数学者は
S5とC5を区別する確かな規範もないだろう」と書いた

群S5の場合も対称性ありに含めようぜというのがおいらの立場だよ
一般の5次方程式に対称性を認めるべきかどうか

一般の5次方程式をゼロベースで捉える考えもある
だが { e } 単位元=1番目=スタート地点で捉える考えもある

どちらでも良いが、C5の場合に対称性を認めるなら、S5にも対称性を認めて、S5は対称性において一番低い状態(物理学における基底状態)だと思えばどうよ
それで、多少はS5の場合も対称性ありとする違和感は緩和されるだろう

331 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/22(日) 23:04:33.09
>>329
>対称性から群構造を抽出出来るからといって、


ちょっと違うと思う
対称性から群構造を抽出出来るかどうか。それは、半群でしかない場合もありうる

>全ての群が対称変換全体として表現可能とは限らないというのが問題なのだと思うのですが。

ここはちょっと意味が取れないが、下記ご参照
http://reference.wolfram.com/mathematica/tutorial/PermutationGroups.ja.html
MATHEMATICAチュートリアル
置換群
群には多くの異なる表現方法がある.特にすべての有限群は置換群として表現することができる.
つまり,有限群は常に 個の元からなる集合の自己同型の対称群 の部分群に同型なのである(ケーリーの定理).

この40年の間に置換群の操作で非常に効率的な手法が開発され,大規模な群の操作がコンピュータでできるようになった.
Mathematica は,数千の適度な次数の置換群,つまり個の元より多い置換群を扱うことのできるコマンドやアルゴリズムを提供する.

このチュートリアルは,互いに素な巡回形式で与えられた置換の生成のリストで指定された有限置換群を使って計算する基本的アルゴリズムをいくつか紹介する.

332 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 23:11:01.96
>>330
群の位数の大きい方が対称性が高いと考えるのが普通だろう。
(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) = 0
のガロア群は自明群なので対称性は無い。

333 :132人目の素数さん:2012/04/23(月) 00:00:21.54
方程式の対称性を定義しろよ。
定義しないとあんた以外の人間には理解不能。
あんた自身も分かってないから定義出来ないだろうがw


334 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/23(月) 03:53:42.49
>>332
>群の位数の大きい方が対称性が高いと考えるのが普通だろう。

それは考え方の相違
というか、「群の位数の大きい方が対称性が多いと考えるのが普通だろう」

図形の例をあげよう
左右対称の建物の正面図があるとする。これは線対称だ。位数2の群。人が直感的に把握できる対称性だ

次に、正多面体で群の位数と対称性の大きさを考える
”正多面体には全部で,正四面体,正六面体,正八面体,正十二面体,正二十面体の五種類しかないことが知られています.”正多面体群1(Joh著)
”正四面体群,正六面体群,正八面体群,正十二面体群,正二十面体群の位数は,それぞれ12,24,24,60,60 だということでした.”正多面体群2(Joh著)

正多面体群1(Joh著)に正多面体の図があるから見てくれ
どの図が対称性が高い低いと言えるのだろうか? 対称性を保つ変換の数が多い少ないとはいえても。さらに、正多面体では位数60までしか表すことはできない。S5の対称性は正十二面体は高いのか?

http://hooktail.sub.jp/algebra/PolyhedronGroup/
正多面体群1(Joh著)
http://hooktail.sub.jp/algebra/PolyhedronGroup2/
正多面体群2(Joh著)
http://hooktail.org/misc/index.php?%C2%E5%BF%F4%B3%D8
群論入門 †

>(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) = 0
>のガロア群は自明群なので対称性は無い。

ガロア群は、{ e } 単位元のみからなる、自明群だ
だから、「対称性は無い」は正しい。だが、{ e }も群だ。だから>>311でゼロの発明に例えた。ゼロを数と扱うかどうかで立場は異なるよと

335 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/23(月) 04:10:09.09
>>334
訂正スマソ

S5の対称性は正十二面体は高いのか?

S5の対称性は正十二面体よりは高いのか?

>>333
>方程式の対称性を定義しろよ。
>定義しないとあんた以外の人間には理解不能。
>あんた自身も分かってないから定義出来ないだろうがw

「方程式の対称性を定義しろよ」は、>>40の梅村先生に言ってくれ
「定義しないとあんた以外の人間には理解不能」というが、>>40
http://www.sci.nagoya-u.ac.jp/kouhou/10/p14_15.html
眠りから覚めた微分ガロア理論 梅村 浩 多元数理科学専攻教授 名古屋大学理学部・理学研究科 広報誌 No.10 p14_15

を読んで理解できない? まあ、細部を完全に理解することは出来ないとしても、言いたいことは分かるはず。数学的内容を自然言語で完全に表現するのは無理だから、細部にこだわることが間違い
これ(梅村)は元々、数学の論文でもなく哲学の論文でもなく、広報誌の一文だ
これに逐一の定義は不要。それぞれが、自然言語の範囲で理解すれば良い

そして、自分は「隠れた対称性」という、梅村先生の視点に感心した。その感じは>>282に補足した通りだよ
ここまで書いて、「隠れた対称性」が分からないというなら、名古屋大学へ行ってくれ
(ここで、おいらが梅村先生と独立に、方程式の対称性を定義してあなたと論争しても無意味だろ?)

336 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/23(月) 07:42:10.77
>>332
いま思ったが、それを排除するには既約方程式に限ればいい
実質的にはそれで問題ないでしょ

337 :132人目の素数さん:2012/04/23(月) 07:55:09.76
>既約方程式に限ればいい
今更都合の良い事云うなよ

338 :132人目の素数さん:2012/04/23(月) 08:03:37.94
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
        , '´  _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
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     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
    |      / `‐-、::::::::::`‐-、::::\   /,ニニ、\            それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
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339 :132人目の素数さん:2012/04/23(月) 08:39:55.32
>>335
梅村は説明してないし、あんたが広めてるんだから
説明責任はあんたにある。
方程式の対称性ってなによ?
あんたによると可解でない方程式は対称性がない。
これは何故?

340 :132人目の素数さん:2012/04/23(月) 10:31:48.82
方程式 (x^2 -2)(x^2 - 3) = 0 は、
当然ガロア理論の対象とすべきだ。

341 :132人目の素数さん:2012/04/23(月) 11:08:57.74
ここに書いてる人は、コーシーやフーリエなど、ガロアと同時代の多くの御偉い数学者達が
代数方程式の係数からそれを代数的に解けるかどうかを判定しようとしていた
ということは御存じだな。
ガロア群をコンピュータで計算出来る今では即判定出来るが、
当時ガロア理論ではこれは出来なかった。
今でもこれに関する理論はない。
ガロア理論をやるならこれマメ知識な。

342 :132人目の素数さん:2012/04/23(月) 11:16:01.28
誤解を招きかねないから訂正:
>>341
>当時ガロア理論ではこれは出来なかった。

コンピュータのなかった当時の状況では、ガロア理論ではこれは出来ない。
に変更。

343 :132人目の素数さん:2012/04/23(月) 11:47:27.00
>>341
コンピュータ使っても10次方程式くらいまでしか判定出来ないはず。
最新の結果は知らないからもっと次数が高いかも
知れないが30次とか無理だろ。


344 :132人目の素数さん:2012/04/23(月) 11:53:36.36
>>341
次数が低くければコンピュータがなくても計算出来る。
例えば5次方程式は手計算で出来る。
根気と時間が必要だが。

345 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/23(月) 13:22:34.30
>>337
あんたのために言ってやっているのに、迷える子羊のために

346 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/23(月) 13:31:50.82
>>339
>あんたによると可解でない方程式は対称性がない。

本当に数学科?
数学的には、5次の非可解の方程式のガロア群はS5、6次ならS6・・・
これを対称性がないというのか、あるというのか
そんなことは各人の持つ数学のレベルで決まる話で

S5、S6に対称性を感じ取れない人には、対称性はないとなるだけ
君のレベルならそういうこと

だが、その論法ならS3、S4とS5、S6で
S3、S4には対称性あり(可解だから)、S5、S6には対称性なし(非可解)だと

それが君の数学レベルだということよ

347 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/23(月) 13:35:11.29
>>340
本当に数学科?

勝手にしなよ
当然ガロア理論さまは、拒否はしないだろうさ

だが、方程式 (x^2 -2)(x^2 - 3) = 0 にガロア理論を適用してなにが面白いのかね?
それが君の数学レベルだと理解していいか

348 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/23(月) 13:37:13.52
>>341-342
乙です

349 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/23(月) 13:43:39.06
>>343
> 30次とか無理だろ。

ガロア理論が広まったあと、しばらくはべき根以外の楕円関数などを使って解く研究が流行った
だが、それも一段落し、一方コンピュータによる数値計算手法が発展した
いまさら30次の根の公式もいらんだろうと

そこで、高次多項式による方程式論から離れて行き、群論を含むガロア理論は方程式以外の多くの分野に応用されるようになった
そしていま21世紀

350 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/23(月) 13:52:48.08
>>344
>例えば5次方程式は手計算で出来る。
>根気と時間が必要だが。

手計算をしているのが下記。数学科の大学の図書館ならあるだろう
エム・ポストニコフの『ガロアの理論』(1964年4月25日,東京図書出版発行)>>281

数式処理は下記2件
http://staff.aist.go.jp/f.motoyoshi/java/deg5.pdf >>261
5次方程式の可解性の高速判定法 元吉文男 著 - FM Memo 19961017-01

http://repository.hyogo-u.ac.jp/dspace/bitstream/10132/1612/1/ZD30301003.pdf >>264
可解な5次方程式について 大迎規宏 兵庫教育大修士論文 2003

いずれも既出だが、興味のある方はどうぞ

351 :132人目の素数さん:2012/04/23(月) 14:02:04.29
スレ主とまともな議論をすることは不可能だとわかった。

352 :132人目の素数さん:2012/04/23(月) 17:24:31.21
>>347
>方程式 (x^2 -2)(x^2 - 3) = 0 にガロア理論を適用してなにが面白いのかね?
では聞くが、ほかの方程式の何処が面白いの?

353 :132人目の素数さん:2012/04/23(月) 17:56:20.99
>>349
出鱈目言うなよw


354 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/23(月) 21:34:15.31
>>351
そっくり同じ言葉を返すよ
議論にならんな、レベル低い

355 :132人目の素数さん:2012/04/23(月) 21:41:06.07
あんた考えがどっかおかしい。
頭のネジがゆるんでる。

356 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/23(月) 21:42:50.92
>>352
>>方程式 (x^2 -2)(x^2 - 3) = 0 にガロア理論を適用してなにが面白いのかね?
>では聞くが、ほかの方程式の何処が面白いの?

おいおい、既約方程式に限ればいい>>336と言ったろ?
可約な方程式と既約な方程式の区別もつかないのか?

可約な方程式にロア理論を適用してなにが面白いのかね?
既約な方程式に適用しなければ面白くない。というか、もともと既約な方程式に適用すべき理論なのだよ

(可約に適用できないわけじゃないが、普通可約なら既約にしてから考える。それが思考の節約というもの)

357 :132人目の素数さん:2012/04/23(月) 21:53:31.87
>>356
ガロア理論は可約な方程式でも成り立つ。
ガロアの主定理を述べるのに
普通は既約性を仮定しないだろ。

358 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/24(火) 04:41:36.52
>>353
確かに適当に書いた
正確には、下記を参照してもらいたい
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
代数方程式
(抜粋)
ガロアが楕円モジュラー関数を用いる超越的方法では一般的解法が存在することを予言し、その遺書に書き残している。
ガロアの死後、エルミートは、楕円モジュラー関数による五次方程式の解の公式を導いた。
なお、アーベルもモジュラー方程式の研究を行っていたことから、彼にも解の公式のアイディアがあったであろうと考えられている。
エルミートから現在まで、5 次より高次の方程式の解の公式は様々に提案されている。

工学的見地からは、これらの解の公式に拠る解法は計算量的な実用性があまりないため、3 次より高次の方程式は数値計算による解法が一般的である。
中には、固有値問題へ帰着して行列の固有値計算のアルゴリズムが用いられることもある。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96
ガロア理論
http://en.wikipedia.org/wiki/Galois_theory
Galois theory

359 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/24(火) 05:19:22.18
>>357
>ガロア理論は可約な方程式でも成り立つ。
>ガロアの主定理を述べるのに
>普通は既約性を仮定しないだろ。

それは正しいが。そもそも>>40
http://www.sci.nagoya-u.ac.jp/kouhou/10/p14_15.html
眠りから覚めた微分ガロア理論 梅村 浩 多元数理科学専攻教授 名古屋大学理学部・理学研究科 広報誌 No.10 p14_15

の中の
「代数方程式は隠れた対称性をもっている。この対称性はガロア群*3で記述される。」に対し

可約でガロア群が自明({ e } 単位元のみからなる)な場合を反例として挙げて、対称性を否定する。これはナンセンスだろう。暗黙の前提として、自明は排除して良い。これは一般向け文章なのだから
かつ、ガロア群が自明の場合を自分勝手に含めて、”隠れた対称性”が「分からん、分からん」と主張する。何を言いたいのか、こっちが「分からん」かったよ
ようやく、分かったけどね。大いなる誤解だと

360 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/24(火) 05:26:13.24
>>356
訂正

可約な方程式にロア理論を適用してなにが面白いのかね?
 ↓
可約な方程式にガロア理論を適用してなにが面白いのかね?

361 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/24(火) 05:45:34.68
>>309
訂正スマソ

おいらは、梅村先生を指示する
 ↓
おいらは、梅村先生を支持する

362 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/24(火) 07:10:43.06
>>291
>訂正:対称性の破壊者じゃなく対称性の破れだな。
>しかしコンヌの言ってる意味はたいして違わない。
>ガロアが論文の最初にやったことは根の間の
>対称性を最大限に壊すことであった。

こんな風にコンヌの文章を誤訳誤解して、勝手な対象性のイメージを持って、わーわー言われちゃかなわんな
une fonction V>>290が、resolvanteを使わなくとも、それが>>15のガロア分解式(リゾルベント)と同じということは同意するんだろ

そして、ガロア分解式(リゾルベント)という呼称をコンヌが知らないわけがない
ならば、コンヌがresolvanteという言葉は不適当で今後は”brisure de Galois”と提唱したならともかく(コンヌが新しいコンセプトを提唱するならそうするだろう)、ガロア分解式(リゾルベント)という呼称は認めているんだろうよ

では、なぜresolvanteでなく、Brisureとしたのか?
文の表題を見ると”La Pensee d'Evariste Galois et le Formalisme moderne”だ>>236

広く、ガロア理論に詳しくない人にもEvariste Galoisを紹介しようという文だと思う
その視点からみると、resolvanteよりBrisureの方が一般読者に分かりやすいと思ったのではないか

日本語にすれば、”破れ”でも”分解”でもほぼ同じ意味だろうが(個人的には”分解”が分かりやすいと思うが)、”破壊”はちょっと違うように思う

363 :337:2012/04/24(火) 07:22:35.20
>>362
フランス語読めないのに何故わかる?
あんた考えがおかしい。

364 :132人目の素数さん:2012/04/24(火) 07:25:19.32
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.     |   \ ∠イ  ,イイ|    ,`-' |      頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
    |      / `‐-、::::::::::`‐-、::::\   /,ニニ、\            それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
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365 :132人目の素数さん:2012/04/24(火) 14:31:11.02
[TS/VX]
[GF/MP]
[RS/HK]
[KBGE/HTAK]
[O/H]
[SEGA/MARVEL]
[VF/SC]

366 :132人目の素数さん:2012/04/24(火) 14:31:34.46
[TS/VX]
[GF/MP]
[RS/HK]
[KBGE/HTAK]
[O/H]
[SEGA/MARVEL]
[VF/SC]
[TS/GF/VX/MP]

367 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/24(火) 22:35:15.60
>>363
>フランス語読めないのに何故わかる?
>あんた考えがおかしい。

なぜ?
1.仏語は分からなくとも、数学の論文だから、数式とか記号が出てくる。ここはほぼ共通だ>>280
2.ネット翻訳で、仏→日は使えないが仏→英はかなり使える>>245
http://www.excite.co.jp/world/french/
3.仏語と英語でスペルが似ている単語があるので、意味の類推が可能
  例えば、仏語:Brisure de symetrie、英語:Break of symmetryで、Brisure vs Break、symetrie vs symmetryの如し
4.仏語辞書を引けばさらに意味が取れる

文学ならともかく、数学でしょ。論理的におかしなことがないと分かっているし

368 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/24(火) 22:47:04.95
ところで>>280へ戻らせてもらうが
(再度引用)
>>245より (原文 http://www.alainconnes.org/docs/galoistext.pdf >>236
2. Brisure de symetrie
Le premier pas de la demarche de Galois consiste a briser de maniere maximale
la symetrie entre les racines d'une equation en choisissant une fonction auxiliaire
largement arbitraire de n variables. Il enonce


2. Break of symetrie
The first step of the demarche of Galois consists has break mani maximal era the symetrie between the roots of an equation while choosing an auxiliary function extensively arbitrary of variable n. It expresses
(仏→英は、ほぼ逐語訳)
・・・
V = Aa + B b + C c +
(引用おわり)

で、表題の仏語:Brisure de symetrie、英語:Break of symmetryてところで、Breakが破壊でも破れでも分解でも良いとして
Break of symmetryとして、まずsymmetryじゃないのか?

369 :337:2012/04/24(火) 22:51:29.94
>>367
じゃあ訳してくれ。取りあえずBrisure de symetrieから
arbitraire de n variables. まで。

370 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/24(火) 22:55:14.74
>>368
>Break of symmetryとして、まずsymmetryじゃないのか?

1.言いたいことは、まずsymmetryがあってそれをBreakするのだと
2.まずなにか、symmetryがあるから、Breakできる (余談だが、Break downは分解という意味があるよ)
3.もし、これを認めるなら、コンヌもまずsymmetryありきで、この文を書いたことになるけど?
4.ならば、symmetry=対称性とすると、梅村氏が対称性と書いて、定義がないの二流だのという批判があったけど、そっくりこの文にも批判は当てはまるな

371 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/24(火) 23:00:08.73
>>370 つづき

>>40より再録
http://www.sci.nagoya-u.ac.jp/kouhou/10/p14_15.html
眠りから覚めた微分ガロア理論 梅村 浩 多元数理科学専攻教授 名古屋大学理学部・理学研究科 広報誌 No.10 p14_15

彼らはガロア理論を発見した。ガロア理論を次のように説明することができる。
(1)代数方程式は隠れた対称性をもっている。この対称性はガロア群*3で記述される。

これで、対称性が定義されいないの、意味不明だのとさんざん言ったね

Brisure de symetrie>>368のsymetrieのコンヌによる定義はなんだ?

372 :337:2012/04/24(火) 23:01:51.61
>>370
ごたくはいいからまず翻訳してくれ。
話はそれからだ。

373 :132人目の素数さん:2012/04/24(火) 23:07:48.93
翻訳まだあ?


374 :132人目の素数さん:2012/04/24(火) 23:10:01.29
意味分かるって言ったじゃん。
なら翻訳出来るだろ。
意訳いい。

375 :132人目の素数さん:2012/04/24(火) 23:10:44.95
意訳でいい。

376 :132人目の素数さん:2012/04/24(火) 23:13:32.94
まさか今必死に辞書引いて調べてるわけじゃないよな?

377 :132人目の素数さん:2012/04/24(火) 23:16:04.66
>>370
意味わかると言ったのは嘘なのか?

378 :132人目の素数さん:2012/04/24(火) 23:24:40.95
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
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     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
    |      / `‐-、::::::::::`‐-、::::\   /,ニニ、\            それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
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379 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/24(火) 23:52:13.74
>>369
では、ご要望に応えて

>>245より (原文 http://www.alainconnes.org/docs/galoistext.pdf >>236

2. Brisure de symetrie
Le premier pas de la demarche de Galois consiste a briser de maniere maximale
la symetrie entre les racines d'une equation en choisissant une fonction auxiliaire
largement arbitraire de n variables. Il enonce


2. Break of symmetry
The first step of the demarche of Galois consists has break mani maximal era the symmetry between the roots of an equation while choosing an auxiliary function extensively arbitrary of variable n. It expresses
(仏→英は、ほぼ逐語訳)
・・・
V = Aa + B b + C c +


2.対称性の分解
ガロアが構築した手段の最初のステップは、n 変数の広範囲に任意性のある補助関数(訳注:後で出てくるガロアリゾルベントV>>15)を選ぶことで、方程式の根の間の対称性(symmetry)を最大限度に分解したことだ。
それは、次のように表される
Lemme
・・・
V = Aa + B b + C c +
(和訳おわり)
とまあ、こんなところがおいらの解釈だよ

380 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/24(火) 23:53:54.21
>>379
つづき

(参考)
demarche:処理法, 手続き, 手段, 処置. goo辞書より http://dictionary.goo.ne.jp/leaf/ej3/22687/m0u/

consists:構築した

de maniere http://class.kitakama-france.com/index.php?%E3%83%95%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B9%E8%AA%9E%E5%89%AF%E8%A9%9E
 d'une maniere 形容詞、 de maniere 形容詞、 d'une facon 形容詞、 de facon 形容詞
の 4 通り可能です。
意味は、
  (1)「〜な仕方で」「〜な風に」
  (2)単に「〜に」〔形容詞を副詞化する〕
となります。
もともと maniere と facon は、ともに「仕方、やり方」という同じ意味の女性名詞です。

auxiliary:補助

extensively:広範囲に, 広く.

arbitrary:自由裁量による、《数学》任意の, 不定の

381 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/25(水) 00:01:24.70
>>380
つづき

It expressesの It は、おそらく形式主語というやつで、その前の文全体を指し、次のLemmeがその数学的内容を表す
まあ、フランス語は分からなくても、ネットの仏→英翻訳と、仏語と英語の意味を辞書で調べればこの程度の解釈は可能だよ

訳にいちゃもんつけるならどうぞ
だが、具体的にどの箇所がどうかをきちんと指摘してくれよ。漠然とした批判で逃げるなよ

ところで、翻訳要求はこれだけにしておいてくれ。これ以上の翻訳は有料だぜ
で、こちらは翻訳をしたんだから、>>371の「Brisure de symetrie>>368のsymetrieのコンヌによる定義はなんだ?」に応えてもらおうか

382 :132人目の素数さん:2012/04/25(水) 01:14:43.18
いくら長々と書き込んでもおっさんの理解があやしいのは事実w

383 :132人目の素数さん:2012/04/25(水) 04:40:01.49
>>379
で俺の意訳(>>291)のどこが間違ってる?


384 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/25(水) 05:29:54.27
>>382
>いくら長々と書き込んでもおっさんの理解があやしいのは事実w

それは認めるがね
というか、おいらの理解は猫さんレベル(大学教員)には行ってない
せいぜい、大学の数学科でガロア理論を学んだ直後くらいの理解だろうさ。で、それがどうした?

このスレは、ガロア理論そのものではなく
”「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」にチャレンジしております。”>>1という方のお役に立とういうスレの趣旨だ

ガロアの原論文を読むにはそれで十分だろうさ
それ以外の話は、引用をつけている。理解は不十分でも自分なりに正しいと判断したものだけを引用しているのさ

385 :安倍のぶざまな辞任劇、ウヨに大打撃だな>>110:2012/04/25(水) 05:42:44.34
>>383
>で俺の意訳(>>291)のどこが間違ってる?

>>291については、すでに>>362にコメントをつけたよ
(>>291より)
>訂正:対称性の破壊者じゃなく対称性の破れだな。
>しかしコンヌの言ってる意味はたいして違わない。
>ガロアが論文の最初にやったことは根の間の
>対称性を最大限に壊すことであった。

>>362より)
>こんな風にコンヌの文章を誤訳誤解して、勝手な対象性のイメージを持って、わーわー言われちゃかなわんな
>une fonction V>>290が、resolvanteを使わなくとも、それが>>15のガロア分解式(リゾルベント)と同じということは同意するんだろ
>日本語にすれば、”破れ”でも”分解”でもほぼ同じ意味だろうが(個人的には”分解”が分かりやすいと思うが)、”破壊”はちょっと違うように思う

>>231より)
>アランコンヌはガロアの業績の紹介の中で
>ガロアを対称性の破壊者と呼んでいる。

>>239
>なんで対称性の破壊者と呼んだかわかるかな?
>ガロアは論文の始めに対称群で不変となる式でなく
>恒等置換以外の全ての置換で不変とならないもの
>を定義してそれを議論の中心においた。
>このことを指している。
>コンヌだからこそ言える台詞。
>そこらの二流の数学者じゃ群といったら対称性と
>脊髄反射的に月並みな台詞を吐くのが関の山。
(引用おわり)

291の”しかしコンヌの言ってる意味はたいして違わない”は間違い。そして、そもそもの231の”ガロアを対称性の破壊者と呼んでいる”が誤訳誤解
239の”なんで対称性の破壊者と呼んだかわかるかな?”も誤訳誤解がもとだろう

386 :安倍のぶざまな辞任劇、ウヨに大打撃だな>>110:2012/04/25(水) 05:51:23.61
>>385
つづき

あなたの引用したアランコンヌの文をよく読んでみれば
>>379
表題:2. Break of symmetry これ、対称性が前提として存在するってことでは?
文中:the symmetry between the roots of an equation これ、方程式の根の間の対称性(symmetry)が前提として存在するってことでは?

コンヌは”ガロアを対称性の破壊者と呼んでいる”のではなく
”そこらの二流の数学者じゃ群といったら対称性と脊髄反射的に月並みな台詞を吐く”と同じことをしていると思うのだが

(方程式の根の間の対称性(symmetry)を前提として、群といったら対称性だと)

387 :132人目の素数さん:2012/04/25(水) 06:19:43.08
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388 :132人目の素数さん:2012/04/25(水) 06:20:26.61
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389 :132人目の素数さん:2012/04/25(水) 06:22:09.57
>>385
だから>>291の訳のどこが間違ってる?
分解じゃなく壊すと訳したからか?

390 :132人目の素数さん:2012/04/25(水) 06:30:46.71
>>385
安倍のぶざまな辞任劇ってなによ?

391 :132人目の素数さん:2012/04/25(水) 08:41:47.80
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392 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/25(水) 20:09:18.09
>>390
失礼へんなのが混じった

>>389
>だから>>291の訳のどこが間違ってる?
>分解じゃなく壊すと訳したからか?

いや、あながち間違っちゃいない

Brisure de symetrie 英訳Break of symmetry
Brisureに壊すという意味はある

が、あとのune fonction auxiliaire:V = Aa + B b + C c + を日本語では、ガロアリゾルベント(分解式)V>>15と呼ばれていることとの整合性からも、分解の方が分かりやすいだろうと
”壊す”なら、分解式ではなく破壊式だろうが、そんな数学用語はない

393 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/25(水) 20:17:48.73
>>392
つづき

>Brisure de symetrie 英訳Break of symmetry

訳案
1.対称性の破壊
2.対称性の破れ
3.対称性の分解

このどれが良いか
破壊は、カナヅチで物を壊すみたいだ
対称性の破れは、物理学の自発的対称性の破れを連想する
分解は、ガロアリゾルベント(分解式)を連想するので、これが一番だろうよ

394 :132人目の素数さん:2012/04/25(水) 20:51:01.01
>>379
対称性を最大限度に分解したとはどういう意味?


395 :132人目の素数さん:2012/04/25(水) 20:53:56.20
>>393
物理の対称性の破れに掛けてるんだよ。
鈍いな。

396 :132人目の素数さん:2012/04/25(水) 21:03:53.86
誰が訳したかしらないがレゾルベントを分解式なんて訳すから
へんな誤解する人間が出てくる。
resolventはresolveから来てる。
resolveとは今の場合だと方程式を解くといこと。
与えられた方程式を解くための補助的な方程式を
レゾルベントと言う。

397 :132人目の素数さん:2012/04/25(水) 21:17:22.75
>>392
その一次式をガロアレゾルベントというのか?
じゃあそれの最小多項式は何という?

398 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/25(水) 22:46:46.24
>>394
>対称性を最大限度に分解したとはどういう意味?

質問する相手を間違えているよ
質問する相手は自分だろ?

そもそも、そのコンヌの文を紹介したのは、自分だろ?
「アランコンヌはガロアの業績の紹介の中で
ガロアを対称性の破壊者と呼んでいる。」と>>231

この文のニュアンスは、”対称性の否定”だと思った。それまでの文脈からね
>>239
>なんで対称性の破壊者と呼んだかわかるかな?
>ガロアは論文の始めに対称群で不変となる式でなく
>恒等置換以外の全ての置換で不変とならないもの
>を定義してそれを議論の中心においた。
>このことを指している。
>コンヌだからこそ言える台詞。
>そこらの二流の数学者じゃ群といったら対称性と
>脊髄反射的に月並みな台詞を吐くのが関の山。
(引用おわり)
と言ったろ? 自分で自分の言った文の意味を考えて見ろよ

そして、答えてくれ
>>118
だから対称性ってなによ?
あんた意味分かってるの?
梅村も説明してないじゃん
(引用おわり)

をそっくりそのまま、”コンヌも説明してないじゃん”と置き換えてやるからよ

399 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/25(水) 22:52:01.94
>>395
まあ、博識なことで
>>396
法律論でいう小数説だな
http://blogs.yahoo.co.jp/samayoeruhounoshihai/423643.html
法律学用語の基礎知識…らしきもの 2010/11/8

「多数説」とは、ある争点について、法律学会で多数派に属する学説であり、「少数説」とは、ある争点について、法律学会で少数派に属する学説のことです。

400 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/25(水) 22:56:02.23
>>397
いろいろ物知りなんだね。ご苦労さん

>>120
対称性ってなによ?
意味不明じゃん
梅村も対象性の意味を書いてないだろ
(引用おわり)

の梅村をそっくりそのまま、”コンヌ”と置き換えてやるからよ
自分のした質問について、このコンヌの文章について、答えてくれ

401 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/25(水) 23:07:33.22
>>399
補足

>resolveとは今の場合だと方程式を解くといこと。
>与えられた方程式を解くための補助的な方程式を
>レゾルベントと言う。

補助的な方程式は、une fonction auxiliaire (an auxiliary function) >>379( by コンヌ)
で、そのなかで特別重要な式を、ガロアリゾルベント(分解式)とか、ラグランジュの分解式( by 矢ケ部>>169)とか名前をつけたのだと思うが

402 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/25(水) 23:24:51.56
>>400
あなたは言いました
(以下引用)
>>102
そこで使っている対称性の意味をきちんと説明しないと
隠れた対称性という言葉に酔ってるように見える。
はっきり言ってイミフ

>>108
イメージするにも言ってる意味が分からない
隠れた対称性って何なの?

>>159
ごたくはいいからあんたのいう隠れた対称性って何?

>>197
まともな数学者は群論は対称性を研究するものだ
なんて言わない。

>>210-211
だから対称性ってなによ?

少数の二流の数学者の好い加減な言葉を鵜呑みに
してそれを2chで宣伝するのはやめてくれ。
学生を混乱させる。
(引用おわり)

梅村氏の隠れた対称性>>40を、そっくりコンヌの文>>379のBrisure de symetrie=Break of symmetryに置き換えてやるよ
コンヌのいう、symetrieとは? Brisureとは? コンヌも少数の二流の数学者の好い加減な言葉なのか? それもと鵜呑みか?

403 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/25(水) 23:32:15.66
>>402
おれがコンヌの解釈を付け加えておいてやるよ
2. Brisure de symetrie の最後はこうだ

Galois note que l'equation Q(V ) = 0 obtenue a partir d'un facteur irreductible
de l'equation en V a cette propriete particuliere que ses racines sont fonctions
rationnelles de l'une quelconque d'entre elles. En particulier il sut d'adjoindre
formellement une racine de cette equation, en travaillant avec l'algebre des polyn^
omes modulo les multiples de Q pour adjoindre en fait toutes les racines. Chacune
d'entre elles est de la forme R(x) ou R est une fonction rationnelle et (toujours
en travaillant modulo Q) ces fonctions forment un groupe pour la composition (i.e.
RS(x) = R(S(x))). Ce qui est loin d'^etre evident a ce stade est que ce groupe est
en fait independant du choix de la fonction auxiliaire V (a; b; ; z) et ne depend
donc que de l'equation proposee.

Galois Note that the equation Q (V) = 0 is obtained from an irreducible factor
of the equation V has this property and th ere Particular features are that its roots
sound of any of them. In particular it is enough to add
formally a root of this equation, working with the algebra of polynomials
polynomials modulo multiples of Q to actually add all the roots. each
of them is of the form R (x) or R is a rational function and (always
working modulo Q) these functions form a group for composition (ie
R S (x) = R (S (x))). Which is far from being evident ^ at this stage is that this group is
in fact independent of the choice of ut the auxiliary function V (a, b, z) and only depends
so that the equation about ee.

by google 翻訳 http://translate.google.co.jp/#fr|en|

404 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/25(水) 23:41:41.41
>>403
つづき

ここで、group (群 仏 groupe)が出ている
ガロア分解式からガロア群に

だから、この後が
3. Groupe de Galois
と続きます。

ということは
2. Brisure de symetrie で、コンヌはガロア分解式 Vを紹介し、それが群を成すことを言い、3. Groupe de Galoisと続けた
symetrie → group → Groupe de Galois という流れ

その視点で、梅村>>40を再度見てみな
http://www.sci.nagoya-u.ac.jp/kouhou/10/p14_15.html
眠りから覚めた微分ガロア理論 梅村 浩 多元数理科学専攻教授 名古屋大学理学部・理学研究科 広報誌 No.10 p14_15

彼らはガロア理論を発見した。ガロア理論を次のように説明することができる。
(1)代数方程式は隠れた対称性をもっている。この対称性はガロア群*3で記述される。
(2)ガロア群を観察すれば、公式(1)を一般化する公式がつくれないことが証明できる。
 方程式の場合、目のつけどころであるカナメの部分がガロア群である。ヒヨコのお尻と違って、方程式の対称性であるガロア群は隠れているので、発見するのが難しいのである。
(引用おわり)

おいらは、コンヌと梅村はほぼ同じことを、それぞれの言葉で語っていると思うけどどうよ?

405 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/25(水) 23:43:57.35
>>403
補足
google 翻訳の仏→英はなかなかすごいよ

406 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/25(水) 23:53:55.40
>>231-232
>>Brisker de symetrie
>
>Brisure de symetrie

おぬしこれ手打ちしたね
だが、>>403でおいらがしたように、このPDFは普通のワードなどの文同様に選択コピーが出来るんだ (スキャナーの文では無理だが、そうでなければ出来る場合が多い)
だから、それで簡単にgoogle 翻訳などにかけることができる

そうやって、コンヌの文を読んでみな。英文と対比すれば、仏文だけを読むより理解が早いだろう

407 :132人目の素数さん:2012/04/26(木) 00:04:36.49

メディアは全部抑えてある。教団名を出したり逆らえばどうなるかわかってるだろうな?
<           _-=≡:: ;;   ヾ\            >
<         /          ヾ:::\           >
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<        ミ|-=≡、 ミ≡==- 、 |;;;;;/          >
<         || <●>| ̄| <◎> |── /\         >
<         |ヽ_/  \_/    > /         >
<        / /(    )\      |_/          >
<        | |  ` ´        ) |           >
<        | \/ヽ/\_/  /  |           >
<        \ \ ̄ ̄ /ヽ  /  /           >
<          \  ̄ ̄   /  /       \    >
  / /        ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄     \\ \ \
     ___
   / ー\ ナンミョウホウレンゲッキョウナンミョウホウレンゲッキョウナンミョウホウレンゲッキョウ
 /ノ  (@)\ ナンミョウホウレンゲッキョウナンミョウホウレンゲッキョウナンミョウホウレンゲッキ
.| (@)   ⌒)\ ナンミョウホウレンゲッキョウナンミョウホウレンゲッキョウナンミョウホウレンゲッ
.|   (__ノ ̄|  |   ///;ト,  ナンミョウホウレンゲッキョウナンミョウホウレンゲッキョウナンミョ
 \   |_/  / ////゙l゙l;  ナンミョウホウレンゲッキョウナンミョウホウレンゲッキョウナンミョ
   \     _ノ   l   .i .! |  ナンミョウホウレンゲッキョウナンミョウホウレンゲッキョウナンミョ
   /´ 公明  `\ │   | .|  ナンミョウホウレンゲッキョウナンミョウホウレンゲッキョウナンミョ


408 :132人目の素数さん:2012/04/26(木) 01:37:05.06
基本の理解があやふやなアホが何をいっても説得力がないなw


409 :132人目の素数さん:2012/04/26(木) 01:48:48.73
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
        , '´  _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
      /   /:::::; -‐''"        `ーノ
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     /    /::::::/          | | |  |
     |   |:::::/ /     |  | | | |  |
      |   |::/ / / |  | ||  | | ,ハ .| ,ハ|
      |   |/ / / /| ,ハノ| /|ノレ,ニ|ル' 
     |   |  | / / レ',二、レ′ ,ィイ|゙/   私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.     |   \ ∠イ  ,イイ|    ,`-' |      頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
    |      / `‐-、::::::::::`‐-、::::\   /,ニニ、\            それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
   |      |::::::::::::::::::|` -、:::::::,ヘ ̄|'、  ヒニ二、 \
.   |      /::::::::::::::::::|::::::::\/:::O`、::\   | '、   \
   |      /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'、::::\ノ  ヽ、  |
  |      |:::::/:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'、',::::'、  /:\__/‐、
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410 :132人目の素数さん:2012/04/26(木) 05:19:01.66
>>398
あんたが訳したんだろ。
俺じゃない。
対称性を最大限度に分解したとはどういう意味?


411 :132人目の素数さん:2012/04/26(木) 05:22:25.82
>>399
Brisure de symetrie をgoogleで検索してみろ。


412 :132人目の素数さん:2012/04/26(木) 05:29:52.63
>>400
誤魔化すなよ。
その一次式の最小多項式をガロアレゾルベントというのじゃないのか?
その多項式はガロア群の位数と同じ次数を持つ。

413 :132人目の素数さん:2012/04/26(木) 05:46:03.20
>>406
見当はずれの解釈しておいて俺に講釈かよw
俺にはコンピュータ翻訳なんか不要。
因みに手打ちしたのは携帯から打ってるから。

414 :132人目の素数さん:2012/04/26(木) 05:52:07.80
>>402
コンヌがそこで言ってる対称性とは根の置換で不変な有理式のこと
を言ってる。

415 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/26(木) 06:24:37.17
>>414
>コンヌがそこで言ってる対称性とは根の置換で不変な有理式のことを言ってる。

それこそ意味不明だろ
対称性という抽象的な概念が、有理式という具体的なものだと。日本語の論理が破綻している

>>414
>俺にはコンピュータ翻訳なんか不要。

じゃ最初>>231で「アランコンヌはガロアの業績の紹介の中でガロアを対称性の破壊者と呼んでいる。」と解釈を間違えたのはなぜ?
もし、これが正しいと言い張るなら、この解釈の根拠の文を示せ。示せないなら、誤訳誤解で良いだろ

>>412
>誤魔化すなよ。
>その一次式の最小多項式をガロアレゾルベントというのじゃないのか?
>その多項式はガロア群の位数と同じ次数を持つ。

それって、おれが>>129あたりで説明していることと殆ど同じことだろ?

>>411
なるほど、 Brisure de symetrie は物理の対称性の破れにひっかけているのか
例えば、これだね
http://fr.wikipedia.org/wiki/Brisure_spontan%C3%A9e_de_sym%C3%A9trie
En physique, le terme brisure spontanee de symetrie renvoie au fait que, sous certaines conditions, certaines proprietes de la matiere ne semblent pas respecter les equations decrivant le mouvement des particules
(on dit qu'elles n'ont pas les memes symetries). Cette incoherence n'est qu'apparente et ne signifie pas que les equations soient fausses.
Cette notion joue un role important en physique des particules et en physique de la matiere condensee.

In physics, spontaneous symmetry breaking term refers to the fact that, under certain conditions, certain properties of matter does not seem to respect the equations describing the motion of particles
(they say they do not have the same symmetries). This inconsistency is only apparent and does not mean that the equations are false.
This notion plays an important role in particle physics and condensed matter physics.

416 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/26(木) 06:32:35.59
>>410
>あんたが訳したんだろ。
>俺じゃない。
>対称性を最大限度に分解したとはどういう意味?

本当に数学やってる? 日常論理が弱くないか? ゆとり?
「対称性を最大限度に分解」は、「 a briser de maniere maximale la symetrie 」の逐語訳だ>>379

ならば、「 a briser de maniere maximale la symetrie 」に対して、あなたがどういう意味かを答えてくれればそれで良い
その質問は、コンヌの文を紹介したあなた(当然意味を理解しているんだろ?)に返って行くんだ
日本語でなくとも結構だ。仏語でコンヌの文を引用してくれるだけで結構ですよ

>>408
>基本の理解があやふやなアホが何をいっても説得力がないなw

良い勝負だな
じゃ、勝利宣言して良いな。あとは適当にあしらうよ

417 :132人目の素数さん:2012/04/26(木) 06:59:51.13
>>416
意味分からずに訳したのか?
もしそうなら俺の訳に文句つけるのは10年早い。

418 :132人目の素数さん:2012/04/26(木) 07:03:30.71
>>415
一個のレスに複数のレスを書くなよ。
分けて書け。紛らわしい。

419 :132人目の素数さん:2012/04/26(木) 07:06:40.78
>>415
根の置換で不変な性質



420 :132人目の素数さん:2012/04/26(木) 07:10:52.53
>>415
ここまで書いてもまだ分からないのか?
その一次式は根のどんな置換でも不変にならないだろ。
つまり最大限に対称性を壊したものがその式だ。

421 :132人目の素数さん:2012/04/26(木) 07:13:33.15
>>415
その一次式の最小多項式をガロアレゾルベントというのなら
その一次式はガロアレゾルベントじゃない。

422 :132人目の素数さん:2012/04/26(木) 07:15:46.47
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
        , '´  _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
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     |   |  | / / レ',二、レ′ ,ィイ|゙/   私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.     |   \ ∠イ  ,イイ|    ,`-' |      頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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423 :132人目の素数さん:2012/04/26(木) 07:17:43.41
>>416
あんたと俺じゃ勝負にならない。
因みに>>408は俺じゃない。

424 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/26(木) 07:19:56.47
>>416
追い討ちをかけておいてやろう

>>304
なんで剰余群が巡回群だと方程式が対称なんだよ。
百歩いや千歩譲ってそれが対称性を表しているとして
可解でないガロア群をもつ方程式はどうなんだ?
その方程式のガロア群がその対称性を表しているって
どういう意味?
(引用おわり)

コンヌのBrisure de symetrieが物理の対称性の破れにひっかけとようやく理解したあなた
だが、コンヌのsymetrieは、「可解でないガロア群をもつ方程式」をその対象から除外しているのか
いな、「可解でないガロア群をもつ方程式」こそがコンヌが紹介しようとしているガロア理論の対象ではないのか
このころのあんたのカキコを見ると、コンヌのsymetrieの意図を全く理解できていないとしか思えん (このころ自分の書いたことを読み返してみろ)

これ以上つっかかってきても、梅村氏の”隠れた対称性”>>40についてなした理解不足のカキコをそのまま、コンヌの"symetrie"に置き換えれば結局自分のした攻撃がそのまま自分に返ると
そして、”隠れた”の部分についても、コンヌの”Brisure”とはどういう意味かと置き換えれば同じことができる
(勝利宣言の証明おわりw)

425 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/26(木) 07:26:05.02
>>423
>因みに>>408は俺じゃない。

ああ、そうだね
失礼した

だが、>>304はあんただろ?
>>419-420
>>304
「百歩いや千歩譲ってそれが対称性を表しているとして
可解でないガロア群をもつ方程式はどうなんだ?
その方程式のガロア群がその対称性を表しているって
どういう意味?」
の主張とは整合しないよ

426 :132人目の素数さん:2012/04/26(木) 07:27:23.70
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
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     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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427 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/26(木) 07:30:59.80
>>424
補足

>いな、「可解でないガロア群をもつ方程式」こそがコンヌが紹介しようとしているガロア理論の対象ではないのか

正確には、可解と非可解をきちんと区別できるのがガロア理論だ。「可解でないガロア群をもつ方程式」も扱えると

428 :132人目の素数さん:2012/04/26(木) 07:41:32.35
>>424
物理用語にかけたものとようやく理解したのは俺じゃない。

429 :132人目の素数さん:2012/04/26(木) 07:46:04.87
とにかくコンヌが言ってることは>>239とほぼ同じこと。

430 :猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY :2012/04/26(木) 08:44:11.16
>>299
数日前に印刷しましたので、今読んでます。まあ『崩壊されるべき対象性がある』
という事を最初に認識したのが他ならぬガロアであったという事だと思いますが。




431 :132人目の素数さん:2012/04/26(木) 08:50:00.81
>>419の訂正
この場合の対称性とは性質というより根の置換で不変なこと

432 :132人目の素数さん:2012/04/26(木) 08:56:03.14
>>430
待ってました。
>>243からのやり取りに対してのご意見は?
>>243はガロア理論を素人に説明するのに対称性をもちだしてくる
輩にたいする皮肉でしょう?

433 :猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY :2012/04/26(木) 10:08:27.31
>>432
ソコまでスレを遡って全部読むのは大変なので今は何とも言えませんが、
私見を述べればまあ:
★★★『何故対称性が大事なのかというと、ソレは対象性が無い場合があるから』★★★
であって、そういう考え方をする(こういう考え方自体がガロアを起源
とするとすれば、ガロアの考え方は余りにも偉大過ぎる!)のであれば、
今となっては物理学でも化学でも、或いは生物学でもそういう見方が出
来るという指摘にも読めますけどね。

まあ対象性を重要視するのは数学では根幹(のひとつ)ですから。




434 :432:2012/04/26(木) 10:39:17.01
>>432
フランス語に流暢な猫さんに聞いたのは
ものわかりの悪いスレ主を納得させる為であって、
俺自身は俺の見解に自信を持ってる。

435 :432:2012/04/26(木) 10:44:44.72
>>433
遡って全部読む必要はないです。
>>243のコンヌの文章の意味を問題にしている。

436 :132人目の素数さん:2012/04/26(木) 11:14:24.78
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
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     |   |  | / / レ',二、レ′ ,ィイ|゙/   私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.     |   \ ∠イ  ,イイ|    ,`-' |      頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
    |      / `‐-、::::::::::`‐-、::::\   /,ニニ、\            それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
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437 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/26(木) 21:14:07.31
>>428
>物理用語にかけたものとようやく理解したのは俺じゃない。

そうなん。失礼した。>>411は君じゃないと。分かった
数学スレはIDが出ないので不便だな
まあ、仏語なら”Brisure”が物理の”対称性の破れ”に使われるとしても
日本語では、君が最初に使った「破壊」(>>231 アランコンヌは・・ガロアを対称性の破壊者と呼んでいる)と、「破れ」とでは、物理用語にかけたものとは言えないよ

>>429
>とにかくコンヌが言ってることは>>239とほぼ同じこと。
(239より)
なんで対称性の破壊者と呼んだかわかるかな?
ガロアは論文の始めに対称群で不変となる式でなく
恒等置換以外の全ての置換で不変とならないもの
を定義してそれを議論の中心においた。
このことを指している。
コンヌだからこそ言える台詞。
そこらの二流の数学者じゃ群といったら対称性と
脊髄反射的に月並みな台詞を吐くのが関の山。
(引用おわり)

1.「なんで対称性の破壊者と呼んだかわかるかな?」の破壊ってのを破れに訂正したんだろ?
2.「対称性の破壊者と呼んだ」は、>>291「訂正:対称性の破壊者じゃなく対称性の破れだな」と間違いを認めたよ。おいらが一番問題にしたのはここだ
3.「ガロアは論文の始めに対称群で不変となる式でなく 恒等置換以外の全ての置換で不変とならないものを定義してそれを議論の中心においた」は正しい
 だが、「このことを指している。コンヌだからこそ言える台詞(=対称性の破壊者と呼んだ)」ってところが、正しくない
4.そして、「そこらの二流の数学者じゃ群といったら対称性と脊髄反射的に月並みな台詞を吐くのが関の山」 というけれど、
 コンヌも”2. Brisure de symetrie”という台詞を言った>>379。これは、Brisureの前にsymetrieありきだろ?
 そして、symetrieと群(Groupe)が、Brisure=une fonction auxiliaire (V)を通じて繋がり、3. Groupe de Galois>>403-404と繋がるんだ
 ならば、symetrie−群(Groupe)という脊髄反射でいいだろ

438 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/26(木) 21:17:50.13
>>430
猫さん、乙です
ついに、猫さんを引っ張り出したか

猫さんを動かすとは、>>299ってだれ?

>数日前に印刷しましたので、今読んでます。

はあ
まあ、すごい人だね

439 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/26(木) 21:41:26.46
>>433
>私見を述べればまあ:
>★★★『何故対称性が大事なのかというと、ソレは対象性が無い場合があるから』★★★
>であって、そういう考え方をする(こういう考え方自体がガロアを起源
>とするとすれば、ガロアの考え方は余りにも偉大過ぎる!)のであれば、
>今となっては物理学でも化学でも、或いは生物学でもそういう見方が出
>来るという指摘にも読めますけどね。
>
>まあ対象性を重要視するのは数学では根幹(のひとつ)ですから。

なるほど、一つの貴重な視点ですね
1.図形の対称性については、>>123あたりに書いたように、シンメトリー (英語: symmetry) ということばは、おそらく平面図形の対称性=(線対称と点対称)(古代ギリシャのころ)から始まったのだろうと
2.そして、対称式についての認識もガロア以前に、>>131-132 Viete、ジラール、ニュートン、ウェアリングやヴァンデルモンドなどが研究したと
3.で、ガロアは方程式の対称性(=拡大体の対称性でもある)を、群という代数構造にうつして、数学的に取り扱えるようにした
4.物理学でも化学でも、或いは生物学でも、対称性あるところ群論の応用ありと
5.「対称性を重要視するのは数学では根幹(のひとつ)」は完全同意。場合によれば、群で足りなければ、群もどき(=半群やモノイドなど)の代数構造を考える
それが、小生の個人的理解ですがね

440 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/26(木) 21:46:54.52
>>434
>ものわかりの悪いスレ主を納得させる為であって、
>俺自身は俺の見解に自信を持ってる。

それは正しいな
猫さんは、フランス語流暢よりもその数学的見識に信頼がおける(数学科の学生のレベルを超えている)
”俺の見解に自信を持ってる”っていっても、それは信用できないな

441 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/26(木) 21:59:32.62
>>440
補足

おいらの理解が不十分というのは当っている
数学科でガロア理論を学びたての理解不十分に毛の生えた程度だろう
このスレを始めたのは、自分の勉強のためでもある
>>1の”ガロアの論文が、どんなものか知りたくて、私もこの本を読もうとしました。
高名な数学者さえ理解出来なかった論文とは、一体何がどのように書かれているのか興味があったからです。すでにガロア理論を知っていたので、軽く考えていました。
が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。”

を見て、ああ自分と同じだねと
だが、これが”ベストアンサーに選ばれた回答”かと
じゃ、不肖私がチャレンジしましょうと

442 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/26(木) 22:27:35.13
>>441
補足の補足

昔は、ファンデルウェルデン 現代代数学 が定番だと言われたが、これは読まなかった
しかし、岩波の「高等代数学I」(秋月康夫・鈴木通夫)から始まって、ガロア本は何冊か読んだ
アルチンは、最近買った

「高等代数学I」の序文に秋月康夫が、アルチンの講義録にふれて内容を書き直したく思うなんてことを書いてあったような記憶が
数学については、自分は使う立場であって、作る立場でもなく勉強する立場でもない。学ぶのは、実用とエンタを兼ねたもの

最近、このスレを始めて、矢ケ部>>169を読み直してみたら、結構ガロアの原論文>>3に近い(ほぼそのまま)ガロア群の導入をしているんだと
ガロアの原論文が読めるようになったのは、ブルーバックス 「ガロアの理論」 中村亨>>3のおかげ

問題のコンヌの文La Pensee d'Evariste Galois et le Formalisme moderne >>236も、VからVによるもとの方程式の根の有理式を使ってガロア群を導入するところは原論文>>3そのまま
コンヌの文を理解するには、原論文>>3、倉田>>4、矢ケ部が助けになるだろう

443 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/26(木) 22:55:49.07
>>443
補足の補足の補足

(239より)>>437
なんで対称性の破壊者と呼んだかわかるかな?
ガロアは論文の始めに対称群で不変となる式でなく
恒等置換以外の全ての置換で不変とならないもの
を定義してそれを議論の中心においた。
このことを指している。
コンヌだからこそ言える台詞。
そこらの二流の数学者じゃ群といったら対称性と
脊髄反射的に月並みな台詞を吐くのが関の山。
(引用おわり)

こんなのは、噴飯ものの解釈
1.足立 ガロア理論講義 http://www.nippyo.co.jp/book/2113.html >>69の 6.5「歴史覚書」P168-9に書いているように
「整理された現代理論がもとの理論のすべてを包括しているのではない上、感激性が薄まっており、生命の息吹というものが失われているのではないか」
2.倉田>>4 序論 「たとえばブルバキ『数学原論/代数4』はヴェイユの『代数幾何学の基礎』の序説としての「体の理論」であり、ガロア理論がもともと方程式論であった痕跡さえ抹殺されている」と
 (だから、>>2>>3>>4や矢ケ部>>169がある)
3.現代のアルチン>>95を底本とするガロア理論では、ガロア分解式を経由しない
4.それはコンヌも承知の上で、ガロアのオリジナルをコンヌ流にやや一般向けに噛み砕いて解説しただけであって(どうもこの文はガロア誕生200年にあたっての文らしい)
5.二流の数学者うんぬんの批判(ガロア分解式に触れないことへの批判)は、お門違い(現代流はガロア分解式を使わないだけのこと)

444 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/26(木) 23:12:14.84
>>443
補足
> 3.現代のアルチン>>95を底本とするガロア理論では、ガロア分解式を経由しない

記憶では、ファンデルウェルデンでも、ガロア分解式は扱っていなかったと思う
倉田>>4 序論や足立>>69の 6.5「歴史覚書」によれば、デデキントが体の自己同型写像を使ったとあるので、ここでガロア分解式を使わなくなったのかも

体論と群論の組み合わせ
代数構造のモデル

その方が、現代数学に結びつく発展性があるのは確か
しかし、生命の息吹というものが失われているのではないか

ガロアオリジナルに戻って
もっと直感的に、あるいはガロアの見ていた原風景を共感しようというのが、このスレのもう一つの趣旨でもある

http://www.kyoto-u.com/phpBB3/viewtopic.php?f=33&t=180
kyoto-u.com - トピック - 【ε】数学の勉強法【δ】

445 :猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY :2012/04/26(木) 23:15:55.88
>>439
I do have a small addition that the structure group of a vector bundle
or a fiber bundle could/should also be understood as an object which
describes the symmetry and/or the order of "how those expected symmetries
are broken".

--neko--


446 :132人目の素数さん:2012/04/27(金) 01:16:19.72
>>442
わかった気になってるだけじゃないの?w

447 :132人目の素数さん:2012/04/27(金) 01:31:33.34
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
        , '´  _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
      /   /:::::; -‐''"        `ーノ
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      |   |/ / / /| ,ハノ| /|ノレ,ニ|ル' 
     |   |  | / / レ',二、レ′ ,ィイ|゙/   私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.     |   \ ∠イ  ,イイ|    ,`-' |      頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
    |      / `‐-、::::::::::`‐-、::::\   /,ニニ、\            それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
   |      |::::::::::::::::::|` -、:::::::,ヘ ̄|'、  ヒニ二、 \
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448 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/27(金) 06:48:33.87
>>446
>わかった気になってるだけじゃないの?w

そうかもな
だが、それを判断するのは君じゃない
君以外のガロア理論を知る人に判断してもらえば良い

449 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/27(金) 07:21:41.24
>>445
猫さん、乙です

I = neko ですな
コンヌの原文 http://www.alainconnes.org/docs/galoistext.pdf >>236 で、キーワードの検索をかけたが

vectorで、7.1. Motifs. ”・・・ Q-espace vectoriel de dimension finie.”のみ()
fibr ではヒットなし
だから、コンヌの文にはvector bundleに関する記述なしだから、I = neko ではないと

猫さんすごい

450 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/27(金) 07:28:12.59
>>433
>今となっては物理学でも化学でも、或いは生物学でもそういう見方が出
>来るという指摘にも読めますけどね。

これ、コンヌの文の最後のところですな

L'un des aspects des idees de Galois qui est passe le plus facilement dans les outils
conceptuels des scientiques de notre epoque est celui relie a la notion de symetrie.
Gr^ace a cet acquis il n'est pas irrealiste d'esperer que les textes de Galois soient
devenus accessibles au scientique non-mathematicien (physicien chimiste et peut-
^etre biologiste). Raison de plus pour en commencer la lecture !
Je remercie J-P. Serre pour ses critiques et corrections, Andre Dalmas qui m'a
fait parvenir la derniere edition de son livre sur Galois [9], J-P. Bourguignon qui
m'a signale le texte de Sophus Lie [19] et Martin Andler qui en me donnant carte
blanche pour une lecture d'un texte original me permet de lire avec vous les textes
fondateurs de Galois.

One aspect of the SEA Galois id is pass more easily through the e tools
Concepts scienti of our times is that the notion of religious Others symmetry.
Gr ^ ace has this achievement is not ealiste irr esp Erer that texts are Galois
become accessible to the scientific and non-math ematicien (physicist and chemist may
^ be a biologist). More reason to start playing!
I thank J-P. Serre for his criticisms and corrections, Andr e Dalmas to me
ere sent the last edition of his book on Galois [9], JP. Burgundian
signal e me the text of Sophus Lie [19] and Martin Andler giving me that card
white for reading an original text allows me to read the texts with you
Galois founders.

451 :432:2012/04/27(金) 07:31:01.21
>>442
秋月の高等代数学I のガロアの主定理の証明(p.184)は
間違ってるよ。基礎体の標数に制限を設けないと駄目。

452 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/27(金) 07:39:07.98
>>450
訂正スマソ

これ、コンヌの文の最後のところですな
 ↓
これ、コンヌの文Introductionの最後のところですな

ともかくsymetrieというのがガロア理論の一つのキーワードだと

453 :132人目の素数さん:2012/04/27(金) 07:41:05.33
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
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     |   |  | / / レ',二、レ′ ,ィイ|゙/   私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
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     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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454 :432:2012/04/27(金) 07:41:40.40
>>437
破れも破壊も同じだろ。
コンヌはガロアが最初にやったのは根の間の対称性を壊すことだった。
と書いてるじゃん。ガロアは壊したんだよ。
つまり破壊者。

455 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/27(金) 07:44:42.97
>>451


>秋月の高等代数学I のガロアの主定理の証明(p.184)は
>間違ってるよ。基礎体の標数に制限を設けないと駄目。

すまん
あれは捨てたので手元にない
だが、標数0(例えば有理数体Q)なら成り立つんだろ?
当面の目的(ガロアの方程式論)には間に合うだろうが、しかし先に進む人は気をつけるべきだね

456 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/27(金) 07:49:59.29
>>454
だから、それなら梅村>>40の”隠れた対称性”

http://www.sci.nagoya-u.ac.jp/kouhou/10/p14_15.html
眠りから覚めた微分ガロア理論 梅村 浩 多元数理科学専攻教授 名古屋大学理学部・理学研究科 広報誌 No.10 p14_15

彼らはガロア理論を発見した。ガロア理論を次のように説明することができる。
(1)代数方程式は隠れた対称性をもっている。この対称性はガロア群*3で記述される。
(引用おわり)

と同じだろ
代数方程式は対称性をもっているを前提として

ここから、コンヌはガロアは分解式を使って、ガロア群を導いたと書き
梅村は、隠れた対称性と見て、ガロアはガロア群でその対称性をあらわにしたと書く

457 :432:2012/04/27(金) 07:50:20.46
>>448
>>446は俺じゃない。その時間は寝てたw


458 :432:2012/04/27(金) 08:01:44.16
>>455
秋月は標数0を仮定してない。
その上で証明を進めてるから大きな間違い。
しかも誤り修正した改定版でやってるから
初版から関係者(同僚とか助手)の誰も気づいてないことになる。


459 :132人目の素数さん:2012/04/27(金) 08:03:09.58
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.     |   \ ∠イ  ,イイ|    ,`-' |      頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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460 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/27(金) 08:09:44.62
>>457

そうなん

ともかく
>>239 ”なんで対称性の破壊者と呼んだかわかるかな?”
を梅村のいう対称性の否定の文脈で出した

だが、コンヌの原文をよく読むと、コンヌも対称性を前提としているんだと
それを認めれば全ては解決するんだよ

461 :432:2012/04/27(金) 08:15:23.74
>>456
コンヌがそこで言ってる対称性は対称式の
対称性と同様な意味。根の置換で不変なことを
意味してる。

462 :132人目の素数さん:2012/04/27(金) 08:23:59.54
>>460
対称性の破壊と隠れた対称性を見出したじゃ全然違うだろ。


463 :132人目の素数さん:2012/04/27(金) 08:28:46.06
対称式ははっきりした意味を持ってる。
当時の数学者に周知の概念。
別にガロアが見いだした概念じゃない。

464 :432:2012/04/27(金) 08:32:10.65
ガロアは最初に根の間の対称性を壊した。
コンヌはこう書いてる。これはいいよな?

465 :132人目の素数さん:2012/04/27(金) 16:10:20.67
>>243
それは俺の主張のキーポイントに関わるから訳してみよう。

ガロアのいくつかのアイデアの中の一つの側面で現代の科学の概念的道具として
最も容易に受け入れられるものは対称性のそれと結びつくそれである。
それ故、ガロアの論文が数学者以外の科学者達
(物理学者、化学者、それとたぶん生物学者)に理解されると期待することは
非現実的なことではない。
この講義を始めるのにこれ程ふさわしい理由はない!


466 :132人目の素数さん:2012/04/27(金) 16:36:37.63
>>465 訂正
対称性の概念と結びつくそれ(側面)である。

467 :132人目の素数さん:2012/04/27(金) 22:38:41.30
1 名無しさんにズームイン! [] Date:2012/03/28(水) 08:28:15.02 ?ID:NWYs/2ZP Be:
 やらなけゃいけない
 電○の各局への圧力が半端ないんです
 昨日、一昨日前田AKB卒業ネタやった情報番組全てが前田AKB卒業ネタ中の毎分で視聴率がダダ下がりしました。
 各局本音では毎分視聴率ダダ下がりするこのネタははやりたくなかったけど原子力村以上に電○からの圧力が凄いんです

ブーム捏造、枕営業、自社買い、サクラの動員そして
AKBの捏造ブームのために税金が大量に使われている証拠がこちら

やっと気付いた「AKBに電通が絡んでる」ではなく「AKBの正体が電通」な件 その127
http://hayabusa3.2ch.net/test/read.cgi/morningcoffee/1335468718/
テレビの捏造ブームに騙されるな


468 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/27(金) 22:44:12.88
>>461
>コンヌがそこで言ってる対称性は対称式の
>対称性と同様な意味。根の置換で不変なことを
>意味してる。

それはあなたの独自見解ってことで良いか。それを裏付ける直接のコンヌの文は無いよ

それから、おいらの書いた>>123>>129を読んでみな
対称式、置換、みなおれの言ったことだよ。だが、あんたはそれに納得しなかった

>>201 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2012/04/21(土) 11:25:22.50
>だから対称性ってなによ?
>検索しないで自分の言葉で説明出来ないのか?

この201は、あんたの発言だろ



469 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/27(金) 22:54:31.79
>>462
>対称性の破壊と隠れた対称性を見出したじゃ全然違うだろ。

まあ、違うといえば違うけど
俺にとっちゃどうでも
本質は、ガロアが方程式の持つ対称性をガロア群で表し、べき根による解法(べき根拡大)を巡回群で捉え、べき根で解ける条件を可解群で表した
これが本質であって、キーワードは対称性と群

それを破壊(コンヌが物理の用語に掛けたなら、日本語では”破れ”)とするのか、隠れたとするのか、それぞれの感性と文学の世界

470 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/27(金) 22:58:58.34
>>463

これは別の人かな
IDがないと不便だね

>>464
>ガロアは最初に根の間の対称性を壊した。
>コンヌはこう書いてる。これはいいよな?

いいよ
briser de maniere maximale
la symetrie entre les racines d'une equation >>379だな

おいらは、「方程式の根の間の対称性(symmetry)を最大限度に分解したことだ」と訳したが、”壊した”も成り立つだろう

471 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/27(金) 23:43:16.96
>>458
>秋月は標数0を仮定してない。
>その上で証明を進めてるから大きな間違い。
>しかも誤り修正した改定版でやってるから
>初版から関係者(同僚とか助手)の誰も気づいてないことになる。

へー
改定版でもか。えらく詳しいね
共著者の鈴木通夫=関係者は、日本の群論研究者では知らなければもぐりだろう、Szで名前が残っている
http://en.wikipedia.org/wiki/Michio_Suzuki
Michio Suzuki (鈴木 通夫 Suzuki Michio?, October 2, 1926 ? May 31, 1998) was a Japanese mathematician who studied group theory.

A notable achievement was his discovery in 1960 of the Suzuki groups, an infinite family of the only non-abelian simple groups whose order is not divisible by 3.
The smallest, of order 29120, was the first simple group of order less than 1 million to be discovered since Dickson's list of 1900.

References
[1] M. Aschbacher, H. Bender, W. Feit, R. Solomon, Michio Suzuki (1926?1998), Notices Amer. Math. Soc. 46 (1999), no. 5, 543?551
(引用おわり)

Aschbacherが追悼文を書いているのか
世界的には、秋月より有名だろう

472 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/27(金) 23:55:56.71
>>465
別にその訳に文句はないけど

じゃ、おいらの書いた>>248
”英訳
One of the aspects of the idees of Galois that is the most easily e pass in the conceptual tools of the scienti ques of our time is the one e reli has the notion of symetrie.

を見る限り、意味の取れないところもあるが
”ガロアを対称性の破壊者と呼んでいる”と真逆だと思うのだが”

に対して>>249
”それは対称性を強調してるよくあるガロア理論入門書に対する皮肉。”と言ったのはあんただろ?

>>252に以下のように書いた
”おいおい
>>243の最初の文

L'un des aspects des idees de Galois qui est passe le plus facilement dans les outils conceptuels des scientiques de notre epoque est celui relie a la notion de symetrie.

One of the aspects of the idees of Galois that is the most easily e pass in the conceptual tools of the scienti ques of our time is the one e reli has the notion of symetrie.
二つ目の文

Gr^ace a cet acquis il n'est pas irrealiste d'esperer que les textes de Galois soient devenus accessibles au scientique non-mathematicien (physicien chimiste et peut-^etre biologiste). Raison de plus pour en commencer la lecture !

Gr^ace has this acquirement he is not irr ealiste of esp erer that the texts of Galois became accessible to the scienti that no-math ematicien (physicist chemist and can - ^ to be a biologist). All the more reason to begin reading of it!

だよ? そもそも、こんな箇所で”ガロア理論入門書に対する皮肉”なんて出すところじゃないでしょ
おいらの解釈
最初の文:ガロアのアイデアに対する一つの見方は、対称性を把握するための現代の科学者が簡単に使える概念的なツールを作った
のように読めるけど?
二つ目の文:非数学者 物理、化学、生物学の人たちがガロアを習得できるように、それがこのlectureを始めた理由だ
のように読めるけど?”と

473 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/28(土) 00:05:13.99
>>472
つづき

で、これに対して、あんたは
>>258 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2012/04/21(土) 21:14:14.20
>>252
おいおいじゃねえよ。
コンピュータ翻訳なんか持ち出すなって。
俺が信じられないなら
誰かフランス語と数学のわかる奴に翻訳してもらえ。
話はそれからだ
(引用おわり)

と言ったよね

で、あんたが訳した結果。”それは対称性を強調してるよくあるガロア理論入門書に対する皮肉。”>>249はどこへ行った?
>>465は、>>252に書いたおれの意訳と大して違わない訳に見えるけどね

474 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/28(土) 00:56:38.48
この際、はっきりさせておいてやろう

1.君は最初、方程式の対称性の存在を意識していなかった
  例えば、>>194-215”だから対称性ってなによ?何度も聞いてるけどあんた答えてないじゃん 答えられないんだろ だって無意味なんだから 無意味な言葉に酔ってんじゃないよ”
  ”だから対称性ってなによ?” ”素直に変換群または置換で不変な性質と言えばいい。対称性などというからわからなくなる。隠れた対称性なんて言葉に酔ってんじゃないよ。”と
2.次に、君の>>197”まともな数学者は群論は対称性を研究するものだなんて言わない。”
  に対する反論として、こちらは>>200 茨城大学の山上 滋先生の群論入門のPDFより”「群」という概念の重要性は、対称性の記述のためにこそあるのであって」を引用した
  で、君は>>211”少数の二流の数学者の好い加減な言葉を鵜呑みにしてそれを2chで宣伝するのはやめてくれ。学生を混乱させる。”からと
  君の主張の裏付けとして一流数学者のコンヌの>>232 ”Brisure de symetrie”を引用し、「アランコンヌはガロアの業績の紹介の中でガロアを対称性の破壊者と呼んでいる」とやった
3.だが、これが墓穴だった
  どっこい、原文のリンクなしで、理解不十分を誤魔化そうとしたのかしらんが、原文のPDFが見つかり取り上げた
  中身を見ると>>252>>379、アランコンヌはsymetrieを否定しているどころか、symetrieを重要なキーワードと位置づけた文だったのだ
4.それを、ようやく>>465に至って気付く君。symetrie=対称性とはガロア理論の重要なキーワードだったのだと
  ”それは対称性を強調してるよくあるガロア理論入門書に対する皮肉”>>249ではなく、アランコンヌもまた対称性を強調しているのだった
  ”コンヌだからこそ言える台詞。そこらの二流の数学者じゃ群といったら対称性と脊髄反射的に月並みな台詞を吐くのが関の山。”>>239とは真逆に、コンヌもまた対称性を強調しているのだった

475 :132人目の素数さん:2012/04/28(土) 00:59:47.53
次に一応>>231を訳す

対称性の破れ
ガロアの最初の一歩は大きな任意性をもつ n 変数の補助的な関数を
選ぶことにより与えられた方程式の根の間の対称性を
最大限に壊すことであった。



476 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/28(土) 01:02:43.37
>>474
つづき

どんなに言い繕ろうとしても、過去ログ全部残っているので無理だよ
君にできる最良は、ほとぼりが冷めるまで暫く大人してしていることだ

そして付け加えるならば、対称性はコンヌが書いているように>>465
物理、化学、生物学などの群論、ガロア理論の応用される分野を貫く重要キーワードなのだ

>>200 茨城大学の山上 滋先生の群論入門のPDFより”「群」という概念の重要性は、対称性の記述のためにこそあるのであって」という通り
”少数の二流の数学者の好い加減な言葉”ではなく、一流数学者のコンヌさまも同じことを語っているのだった

477 :432:2012/04/28(土) 01:06:56.74
>>468
独自見解じゃないよ。
それを裏付ける直接のコンヌの文は>>475に決まってる。
あんたコンヌの文章の意味を全く理解してないな。

478 :432:2012/04/28(土) 01:20:20.19
>>468
対称式の対称性くらい数学科の学生ならだれでも知ってる。
あんたは隠れた対称性とは何かに明確に答えてない。
ガロア群が可解でないときは対称性は持たないとも言った。
ガロア群が巡回群のときは対称性を持つと言った。
コンヌはそんなことは言っちゃいない。


479 :432:2012/04/28(土) 01:29:17.63
>>465は皮肉に決まってるだろ。
その直後に>>475を書いてるんだから。

480 :432:2012/04/28(土) 01:56:19.12
突っ込みどころが多すぎて一々反論するのが面倒だなw

481 :432:2012/04/28(土) 02:09:16.56
>>474
1. 今も同じ疑問
2. 今も同じ意見
3. リンク付けなかったのは携帯から打ってるから。
検索出来るように題名をちゃんと書いたんだよ。
見当違いの勘繰りすんな。
だからコンヌの皮肉だって。
4.俺の意見は全く変わってない。
>>465はあんたのために翻訳しただけだ。
俺は初めから意味はわかってる。

482 :432:2012/04/28(土) 02:27:34.62
>>471
別に詳しいわけじゃない。
改定版を持ってるだけ。
初版なんか持ってるわけない。
改定版の前書きに面白いことが書いてある。
可換代数で有名な松村英之が鹿児島大学の学生の頃
この本の初版を読んで誤植や誤りを指摘したものを
秋月に送ったそうだ。それで秋月に気に入られて
秋月の所に呼ばれたらしい。

483 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/28(土) 07:07:59.63
>>477-481
昔、大学の教養科目で心理学を取った。そのとき、心理学に”合理化”という概念があるのを知った
君は、いま必至で心理学でいうところの合理化をしようとしている(下記)
だが、過去ログがあるから、完全な合理化は無理だよ

が、人の自然な心の動きとして、自分の敗北を認めたくないというのは自然なものだ
数学的な論点以外では、それは認めよう
で、数学における対称性という概念の重要性をコンヌの文で学んで、このスレに執着せず早く本来の数学の勉強に戻りなさい

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%88%E7%90%86%E5%8C%96
合理化 (心理学) - 心理学の用語で、自分にとって都合の悪い現実を、事実と異なる理由で隠蔽・正当化するなど、心理的自己防衛を図ること。
例えば、大学入試に失敗した者が、自分の学力が不足していたことに目を背け、「あの大学はもともと学風が嫌いだった」と述べるなど。防衛機制#防衛機制の例も参照。

http://www8.plala.or.jp/psychology/topic/gourika.htm
合理化とは、葛藤や罪悪感を伴う言動を正当化するために社会的に許されそうな理由付けをすることです。
 イソップ童話のなかに、この合理化がテーマになっているお話があります。
 おおまかなあらすじは、一匹の狐がおいしそうなブドウを取ろうと飛び上がるが、結局取ることができず、 「あのブドウはどうせすっぱいに違いないさ」と言って、取ることをあきらめるというものです。
 このように、目的や欲求が達成されなかったとき、その欲求と現実のギャップを埋めるために、 自分に都合のいい理屈で埋め合わせしようとする心理メカニズムを、心理学では合理化の一種の ”すっぱいブドウの理論”といいます。
 いわゆる「負け惜しみ」といったところでしょうか。

 この合理化には、もう1つ”甘いレモンの理論”というものがあります。 これは、どんなにすっぱいレモンでも、自分のものである限り、甘いと思い込もうとするものです。
 人は、自分の持っているものが良いものであると思いたがります。せっかく手に入れたものが、 想像とはかけ離れていた場合には、心に大きな負担がかかります。それを、避けようとするのが甘いレモンの理論です。

 すっぱいブドウに、甘いレモン。できれば負け惜しみなど言わずに、現実を受け止めていきたいですよね。

484 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/28(土) 07:44:47.17
>>482
初版なんか持ってるわけないか
その改訂版の序文には、アルチンの講義録のことが書いてあるかい? よく改訂版では、初版の序文も残すことが多いからあるかな

松村英之さんね。名前は書店で見かけたかも
面白い話だな

だが、秋月康夫先も鈴木通夫も亡くなったから、さらなる改訂は出ないだろう。おそらく誰かが全く新規に書き直しだろう
http://www.kyoto-u.com/lounge/hokubu/html/200204/02040011.html
ホーム > 談話室 > 理学部・農学部 > 秋月康夫先生知ってる?

485 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/28(土) 07:56:55.03
>>478
心理学でいう合理化は認めるが、数学的におかしな記述は認めないよ

>それを裏付ける直接のコンヌの文は>>475に決まってる。
(475:対称性の破れ
ガロアの最初の一歩は大きな任意性をもつ n 変数の補助的な関数を
選ぶことにより与えられた方程式の根の間の対称性を
最大限に壊すことであった。)

なるほど。だが、>>461に戻ると
461
>コンヌがそこで言ってる対称性は対称式の
>対称性と同様な意味。根の置換で不変なことを
>意味してる。

で、問題は「対称性」の定義だ
475の文は、「対称性」の定義の文ではない
だから、475の文から各自が「対称性」の定義を考えるんだ

コンヌは、「対称性」の定義をこの文では与えていない
おいらはそれが正しいと思う
「対称性」という言葉を厳密に定義することは、この文の趣旨としては必要ない。むしろ、定義せず文学的含みを持たせる方が良いのだと

だが、461”コンヌがそこで言ってる対称性は対称式の対称性と同様な意味。根の置換で不変なことを意味してる。”というのは、正確でもなく誤解を与える表現だ

486 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/28(土) 08:07:49.99
>>485
つづき

>だが、461”コンヌがそこで言ってる対称性は対称式の対称性と同様な意味。根の置換で不変なことを意味してる。”というのは、正確でもなく誤解を与える表現だ

どなたが>>463で指摘している
”対称式ははっきりした意味を持ってる。
当時の数学者に周知の概念。
別にガロアが見いだした概念じゃない。”


コンヌは、ガロアの偉大な独創性を解説しているんだ
”対称式の対称性と同様”などとチンケなところに落とすなよ
それから、”根の置換で不変”もラグランジュから始まって、ガウス、ルフィニ・アーベルも認識している
それじゃ、ガロアの偉大さが分からないよ

487 :132人目の素数さん:2012/04/28(土) 08:13:08.41
>>483
合理化なんてする必要はない。
初めから俺の言ってることは一貫してる。

488 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/28(土) 08:15:54.94
>>486
つづき

で、対称性について、>>478”あんたは隠れた対称性とは何かに明確に答えてない。”に答えるついでに、説明しよう
「隠れた対称性」の解釈は、以下自分の解釈で、本来は>>40の原典に戻って、各人各様にイメージしてもらえば良いと思うんだ>>105-106

その要点は、>>132に書いたフロー
梅村 浩先生は、>>40
「(1)代数方程式は隠れた対称性をもっている。この対称性はガロア群*3で記述される。」と書かれている

いままでの引用と説明で、感のいい人は下記のつながりが見えてきたろう
対称性

対称性と は、ある変換に関して不変である性質である>>122

方程式の根と係数の関係
代数方程式の係数は n 個の根の基本対称式と呼ばれる対称式により書かれる(上記)

対称式の基本定理
任意の対称式は、基本対称式によって表される

根の対称式:根の置換という操作(変換)で不変である性質

置換群(対称群)>>129

代数方程式のガロア群
(引用おわり)

489 :132人目の素数さん:2012/04/28(土) 08:21:20.55
>>484
当たり前だろ。
古い本の初版なんて普通は手に入らない。
初版の前書きはそのまま掲載されている。
秋月も鈴木も松村も気付かなかった間違いを
俺が気付いたってことは少し自慢していいかな?w


490 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/28(土) 08:43:19.10
>>488
訂正
「隠れた対称性」の解釈は、以下自分の解釈で、本来は>>40の原典に戻って、各人各様にイメージしてもらえば良いと思うんだ>>105-106
 ↓
(「隠れた対称性」の解釈は、以下自分の解釈で、本来は>>40の原典に戻って、各人各様にイメージしてもらえば良いと思うんだ>>105-106
この文は、全体の流れから異質なので、カッコに入れる

(つづき)
1.方程式のもつ対称性は、図形の対称性のように人が自然に認識できるものではなかった。だから、梅村先生は「隠れた対称性」と表現したと思う
  例:http://repository.hyogo-u.ac.jp/dspace/bitstream/10132/1612/1/ZD30301003.pdf 可解な5次方程式について 大迎規宏 兵庫教育大修士論文 2003
  この中のP84 例3に f(x)=x^5+330x-4170=0という方程式が書かれている。
  一方、矢ケ部>>169 P509には、 f(x)=x^5-80x-5=0という方程式が書かれている。
  両者の対称性の違いが、あなたに見えるだろうか?
2.前者はQ上既約で可解な5次方程式の例。後者は、Q上既約で非可解な5次方程式の例。だが、根と係数の関係から来る対称式という視点では、両者の区別はできない。方程式の持つ対称性が見えるようになっていない。
3.そこで、ガロアはガロアリゾルベントVを導入して、この隠れた対称性を見えるようにする>>18
  Vで、5次の根の置換を全て施し、120個の異なる値を得て、ガロア方程式F(x)=(x-V)(x-V')(x-V'')・・・・(x-V''*)を作る(注)V''*は、Vにダッシュ'がn-1個ついたもの(アスキーでは添え字が表現できないので))
  F(x)は120次の方程式
4.ガロアの巧みなところは、元の方程式f(x)から話を120次のガロア方程式F(x)に持ち込んだところ
5.ガロアは、このVを使って元の方程式f(x)の根をVの有理式で表す。そして、ガロア群を導く
(つづく)

491 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/28(土) 08:46:59.94
>>489
>俺が気付いたってことは少し自慢していいかな?w

いいよ
”名無し”さんだが、猫さんはあんたを旧知なのだろうね
猫さんを引っ張り出すんだから、猫さんもあなたを認めているんだろう>>438

492 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/28(土) 08:51:40.05
>>490
(つづき)
6.ガロア群を導くやり方はこうだ
>>169
V=Aa+Bb+Cc+・・を用いて
a,b,c・・・は、Vの有理式で表される
これをガロア論文>>3では、
a=φ(V),b=φ1(V),c=φ2(V)・・・ と表している
矢ケ部では、θを使っている

ここで、V→V'などの置換で
a'=φ(V'),b'=φ1(V'),c'=φ2(V')・・・ の根の置換が生じる(a'=φ(V')がまた元の方程式の根になることは証明があるので、どちらかの本を見ること)

一般の5次方程式ならこの置換はV→Vの恒等置換も含めて120個。つまり、5次対称群S5になる
(引用おわり)

7.では、方程式の群が対称群でない場合>>152はどうなるか?
>>171
>一般の5次方程式ならF(x)は既約で、120次元の方程式

ここが、方程式の群が対称群でない場合崩れる
つまり、根の置換で異なる値V'、V''、V'''・・・を全て集めてF(x)=(x-V)(x-V')(x-V'')(x-V''')・・・を作る
F(x)の係数は、元の体(それが有理数体QならQに)

ここで、方程式の群が例えば巡回群ならF(x)は可約になって、有理数体Qの中で因数分解できることになる
そして、F(x)を因数分解して既約にした方程式F'(x)(と書く)の方程式の群は巡回群。というか、巡回群になるまで因数分解できると言った方が分かりやすいかも

つまり、最初から120次元の方程式を作らなくっても巡回群の分だけ置換で異なる値V'、V''、V'''・・・を集めれば良かったと
だが、理論構築としては、一般の方程式の場合=対称群、特別の場合=対称群の部分群 という流れを作るのが綺麗なんだ
(つづく)

493 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/28(土) 09:18:58.93
>>492
(つづき)
8.ガロア理論のガロア論文オリジナル>>3をスケッチしておこう
>>174
ガロアリゾルベントV>>15 V=Aa+Bb+Cc+・・・ a,b,c・・・は、(重根を持たない)で問題の方程式の根、A,B,C・・・は根の置換で異なる値をとるように定める

根の置換で異なる値V'、V''、V'''・・・を全て集めて F(x)=(x-V)(x-V')(x-V'')(x-V''')・・・ を作る F(x)の係数は、元の体(それが有理数体QならQに)

F(x)が既約か可約かを確かめる
可約なら因数分解をして既約なF'(x)を求める(F(x)が既約ならF'(x)=F(x))

F'(x)の根をあらためてV、V'、V''、V'''・・・とする

V、V'、V''、V'''・・・から根の置換が定まる
(根a,b,c・・は、a=φ(V),b=φ1(V),c=φ2(V)・・・ とVの有理式で表すことができ、V→V'に置き換えたφ(V')もまた元の方程式の根になるから)

一般の方程式の場合は、この置換全体は対称群(5次方程式ならS5)
そうでない場合は、この置換が演算として群になることを証明して、対称群の部分群になると

そうして、どんな場合でも与えられた方程式からガロアリゾルベントVを使って方程式のガロア群が作れる
(引用おわり)

9.以上説明したように、ガロアはガロアリゾルベントVを使って、Vからガロア方程式F(x)を導き、またVから元の方程式f(x)の根を有理式で表し置換群を定義し、F(x)の規約性(既約になるまで分解する)を通じてガロア群を導く
  それは、補助方程式の根の添加でガロア方程式F(x)が可約になれば、その分解を通じて自然にガロア群の縮小が導かれる見事なものだった
10.まとめよう
  1)>>490の1.2に示したように、方程式の持つ対称性が見えるようになっていない。だから、梅村氏は>>40で「隠れた対称性」と表現した
  2)ガロアは、ガロアはガロアリゾルベントVを使って、ガロア群を導き、この「隠れた対称性」を見えるようにした
  3)コンヌは、これを対称性の破壊( 2. Brisure de symetrie )かも知れないが、コンヌの原文>>280の続く3. Groupe de Galois、4. Reduction du groupe de Galoisを合わせて読めば、上記と同じことが書いてあることが分かるだろう
(つづく)

494 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/28(土) 09:31:37.27
>>493
(つづき)
以上が、「隠れた対称性」と”ガロアの偉大な独創性を”対称式の対称性と同様”などとチンケなところに落とすなよ”に対するおいらの説明だ
コンヌの文を読んだ後、もう一度梅村>>40を読んでみな。梅村のいう「隠れた対称性」が理解できるだろうよ

なお、以上の説明は、君が>>231でコンヌの文を紹介するまえに書かれたという時系列も忘れないように

495 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/28(土) 10:04:16.42
>>494
つづき

そして、>>493の8.で示したガロア理論のガロア論文オリジナル>>3のスケッチ>>174に対して
君は、
>>176 返信:132人目の素数さん[] 投稿日:2012/04/21(土) 09:10:48.28
>>174
それは現在では単拡大の定理を使って説明する。
だから本質的には良く知られている。
いいから隠れた対称性って何よ?
(引用おわり)

というトンチンカンなレスを返してきた。それも忘れないように

174で示したガロア論文オリジナルのスケッチは、コンヌの原文>>280の 2. Brisure de symetrie、3. Groupe de Galois、4. Reduction du groupe de Galoisにある
もちろん、コンヌの方が格調は高いが、もし誰かがコンヌの原文を読もうとするなら、上記スケッチは役に立つだろう

話を戻すと、174とコンヌの原文の 2. Brisure de symetrie、3. Groupe de Galois、4. Reduction du groupe de Galoisを比べてみな
176のレスは方向違いだよ(コンヌは、単拡大の定理など使っていないよ)

まあ、要するに、コンヌ>>231を知る前は、全くトンチンカンな対称性に対する理解だったと
いま、コンヌ>>231を読んでレベルアップした君。もう一>>40のリンクをたどって梅村のオリジナルを読んでみな
以前と違った世界が見えるだろう。梅村が「隠れた対称性」と表現した意図が分かるだろう

496 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/28(土) 10:05:39.70
>>495
訂正

もう一>>40のリンクをたどって梅村のオリジナルを読んでみな
 ↓
もう一度>>40のリンクをたどって梅村のオリジナルを読んでみな

497 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/28(土) 10:19:29.91
>>493
訂正

  2)ガロアは、ガロアはガロアリゾルベントVを使って
  ↓
  2)ガロアは、ロアリゾルベントVを使って

  3)コンヌは、これを対称性の破壊( 2. Brisure de symetrie )かも知れないが
  ↓
  3)コンヌは、これを対称性の破壊( 2. Brisure de symetrie )と読んだかも知れないが

498 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/28(土) 11:32:14.82
>>484
”松村英之”で検索していたら、梅村先生の下記最終講義がヒット
これ面白いよ

http://ocw.nagoya-u.jp/files/100/umemura_lect.pdf
http://ocw.nagoya-u.jp/files/100/umemura_lect.pdf
最終講義 射影極限と帰納極限 梅村浩 2008年3月14日
(以下抜粋)
1970年名古屋大学助手
幸運だったこと (I)
フランスへ行かせてもらったこと
本当はパリへ行きたかったのにストラスブールへ行ったこと
つぎの年にP.Cartier の移動にともないパリ郊外のIHES へ

71年のIHES 教授 数学R. Thom, P. Deligne(無学位),
思い出に残る学審査会
P. Deligne, Theorie de Hodge
N. Katz 『博士論文はそれを理解できない人々によって審査されている.』

数学において何をやってたか
1968?74 形式群,コホモロジー次元,ベクトル束,非可換なテータ関数を探す.
A. Weil のアイディア 野心的 失敗作!

本質的な問題であるが誰にも解けない問題である.
よい問題とは
(1) 解ける問題である.
(2) 解けたとき反響がある.
井草準一
反省 如何に魅力的であっても,解けない問題に挑戦してはならない.

499 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/28(土) 11:36:56.18
>>498
抜粋つづき

Fano, I gruppi di Jonquieres …
イタリア学派
よく分からない. 小平邦彦

十年弱をかけて誰でも理解することができるようにすることに成功した
天才でなくても大学院を卒業できるくらいの学力があれば.
新しい結果も付け加えた

『数学者は荒野の開拓者でなければならない.』 なければならない.』 と信じていた.
荒野の開拓者とは一体何か?
自分の創造力に対する疑問
古典に向かうようになる フランスの影響

反省
本当の自分を知ることが大切
これは難しい

眠っている論文がある. 手書きで100ページを超える.
俳句のような論文を書くな
Non-singular rational threefold のみを考えるのは今では不自然.
全体をやり直すべき.

500 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/28(土) 11:40:06.67
>>499
抜粋つづき

幸運だったこと (II)
この期間,向井茂とよく議論した.
数学の基本的な考え方,研究の進め方について多くを学んだ.

1984年秋 ? 1985年秋
Cremona 群の研究が一段落したとき,次になにを研究しようか考えた.
ストラスブールに滞在した.
(1) 所謂代数幾何学.
(2) 代数幾何学を使って何かをやる.
R. Gerard (Strasbourg) Painleve 全集の編集者 岡本和夫氏
Gerard の研究室にあったPainleve 全集を読み始めた.

Stockholm 講義録 1895年
600ページにせまる大作
が読めないと皆が言っていた.
東大で60年代に代数幾何学のセミナーで読もうとした. 忙しい!!
楕円関数、超幾何関数を超える特殊関数の追求.
関数の生成.最初の問題と類似

最初の印象 でたらめの論文に思えた.
クリスマスが終わる頃には少しづつ分かり始めた
年が明けるとPainleve 自身がよくっ分かっていることが理解できるようになった.

ただ自分の発見を表現する言語を持っていないだけであると.
夏までにPainleve のアイディアを現代代数幾何学の言葉で表現することに成功した.

501 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/28(土) 11:44:56.67
>>500
抜粋つづき

今から思えばあまり相手にされなかったのかもしれい.
一体Kolchin は何をしているのかと思った.
Kolchin の本を開いた瞬間
Painleve のアイディア= Kolchin のガロア理論

微分方程式のガロア理論
1970年 Kolchin に出会った.
1972年 Saavedra Categories tannakiennes
1983年 J.-F. Pommaret Differential
Galois Theory 野心作,名古屋で話を聴く.
よく解らなかった
心の中に種が撒かれた?
R.Herman の本の影響?

微分Galois 理論は人間の情熱を駆り立てる
1995年頃 G. Reeb, Callot 追悼シンポジューム
Alsace Voges の山の中
大きな反響 Lichnerovicz, Koszul, Haefliger,

1998年? 数理研でシンポジューム
そこでGalois 理論のことを話す.
Malgrange が興味を示す.
2000年 Malgrange Foliation のGalois 理論、提唱
1947年のVessiot の論文にアイディアを得る
フランスの若い人で微分Galois 理論をやる人が出てきた.

502 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/28(土) 12:04:41.70
>>501
抜粋つづき

彼らの参加で変わった点 利点
E. Cartan の視点の導入 微分形式の活用
(微分代数には欠けていた. 微分代数ではべクトル場
をもっぱら考える.)
力学系 Poincare, Ehresmann, Reeb

これから?
世の中には面白い
ものが多すぎる.

春の夜は
櫻に明けてしまいけり
芭蕉
(引用おわり)

長々と引用しましたが、「射影極限と帰納極限」は両者とも表題にしか出てこない
なぞかけのような資料

俳句のような論文を書くなと最後の芭蕉が対かも

503 :132人目の素数さん:2012/04/28(土) 12:35:04.90
>>491
いやそうじゃなくて猫が来たのはコンヌがガロアを語っていることに
興味を持ったからだろ。猫は俺が誰かを知らない。

504 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/28(土) 12:36:29.63
>>502
梅村 浩先生、なかなか面白いね
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A2%85%E6%9D%91%E6%B5%A9
梅村 浩(うめむら ひろし 1944年 - )は、日本の数学者。理学博士(名古屋大学)。元名古屋大学大学院多元数理科学研究科教授。名古屋大学名誉教授。愛知県名古屋市出身。
専門は、代数幾何学で、微分方程式のガロア理論を研究。特に、パンルヴェ方程式の代数的構造を解明し、さらに、ガロア体のピカール・ヴェッシオ理論の代数幾何的基礎付けに成功したことで知られる。1998年、日本数学会代数学賞受賞。
(引用おわり)

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E4%BD%93
有限体(ガロア体から転送)

英語の方が圧倒的に詳しい(えーと、上記の”有限体”に入って、左のEnglish をクリックするんだ)
http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_field

Frobenius automorphismsなどコンヌを読むときにも参考になるだろう

505 :132人目の素数さん:2012/04/28(土) 12:40:59.80
何であの一次式が最大限に対称性を壊したものかわかるよな?

506 :132人目の素数さん:2012/04/28(土) 12:46:17.04
あんたはあの一次式をガロア分解式と呼んでるようだが
じゃあそれの最小多項式はなんと言う?
倉田令二郎はそれをガロア分解式と呼んでいる。

507 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/28(土) 12:46:36.70
>>503
>いやそうじゃなくて猫が来たのはコンヌがガロアを語っていることに
>興味を持ったからだろ。猫は俺が誰かを知らない。

ああ、そうなん

余談だがコンヌの文献サイト
(再録)>>251
http://www.alainconnes.org/fr/downloads.php
Alain Connes -- Documents

は確かに面白いね
例えば、下記Renormalisationは量子力学のくりこみ理論だろ。コンヌは物理にも強いんだ
Cours au College de France
? Renormalisation (2005 - 2006)

508 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/28(土) 13:03:58.71
>>506
>あんたはあの一次式をガロア分解式と呼んでるようだが
>じゃあそれの最小多項式はなんと言う?
>倉田令二郎はそれをガロア分解式と呼んでいる。

Galois resolventで検索をかけると下記ヒット。このサイトにどれだけの権威があるか不明だが、手っ取り早い根拠として挙げておく
http://fermatslasttheorem.blogspot.jp/2009/09/galois-memoir-lemma-2-galois-resolvent.html

Definition 1: Galois Resolvent Function
For any equation f(x) with distinct roots, the Galois Resolvent Function is a function g(x1, ..., xn) of the roots that no matter how the roots are permuted on the function, no two of the values are equal.

Definition 2: Galois Resolvent
The Galois Resolvent is a value of the Galois Resolvent Function where the roots of the equation f(x) are passed in as parameters.

Lemma 2: Galois Resolvent Function Exists
Given any equation f(x) with distinct roots a,b,c,... one can always form a function V of the roots such that no two of the values one obtains by permuting the roots in this function are equal.

For example, one can take:
V = Aa + Bb + Cc + ...
A, B, C, ... being suitably chosen whole numbers.

509 :132人目の素数さん:2012/04/28(土) 13:12:06.49
京都の事故

44 名前:名無しさん@12周年[] 投稿日:2012/04/12(木) 20:06:17.25 ID:LKXz/REk0
かつてはてんかん患者の自動車免許取得は法的に制限されていたが、
2002年6月の道路交通法改正によって、発作が起きても意識障害を伴わない又は、
発作が就寝中に限るなどの患者は、公安委員会の検査や、医師の診断書を提出するなどの条件付で取得に道が開かれた。
日本てんかん協会の運動で、てんかんでも免許取得が可能になった。
その結果、案の定、2002年以降、てんかん患者のひきおこした重大な事故が急増

2011/04 栃木・鹿沼   6人死亡 (持病を隠蔽、過去に事故2件)
2011/04 島根・松江   1人死亡 (持病を隠蔽、薬飲まず)
2011/05 広島・福山   4人重軽傷 (過去に事故2件)
2011/07 愛知・岩倉   2人死亡 (通院歴なしで不起訴)
2011/10 鹿児島・姶良 1人死亡4人重軽傷 (過去に物損事故、薬飲まず)
2012/02 栃木・宇都宮 6人重軽傷 (昨年7月に事故、運転しないと誓約書)

すると2002年の法改正で可能になった、てんかん患者の自動車免許取得を既得権益とする
共産党が支援している日本てんかん協会は
「てんかん患者の権利を守れ」と法務大臣に要望書を提出
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/newsplus/1334225953/

その三日後にまたしても死亡事故発生
2012/04 京都・東山区 7人死亡9人重軽傷     (数日前に発作、姉と相談)

日本てんかん協会 (共産党の支援団体)
住所 東京都新宿区西早稲田2-2-8

>>権利を守れ
>>西早稲田2-2-8    差別利権で食ってる団体だな

510 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/28(土) 13:20:01.92
>>508
つづき

倉田>>4のここの記述はかなり混同している
1)P107では、式gをガロア分解式だと
2)P110の中頃では、g(x)=0をガロア方程式と
3)P110の最後では、g=0を「ガロア分解式」と
4)P111の最初では、ガロア分解方程式と
5)そして、13節の題名が”ガロア分解式”

ここで、式g、g(x)=0、g=0の3つを、日本語でガロア分解式、ガロア方程式、「ガロア分解式」、ガロア分解方程式と繰り返し命名している
気持ちは分かるが、実に日本的

511 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/28(土) 13:32:01.65
>>510
つづき

ラグランジュの分解式(下記根の一次式)は知っているだろ? そこに争いはないでしょ
で、ラグランジュの分解式との命名の対称性から、おいらは>>508の英語のGalois Resolventの定義を支持する
それから、日本語でVをガロア分解式と呼ぶことが導かれる
倉田は勘違いしていると思うよ

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%94%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
五次方程式
(「限定的な代数的解法」にラグランジュの分解式の表示あり)

512 :132人目の素数さん:2012/04/28(土) 13:34:45.68
>>508
それでその一次式の最小多項式にはとくに名前はないのか?

513 :132人目の素数さん:2012/04/28(土) 13:41:12.72
>>511
>>16でガロア分解式については
倉田を参照せよと書いてる。

514 :132人目の素数さん:2012/04/28(土) 13:47:30.11
>>510
他人を批判する前にあんた自分でもガロア分解式を
はっきり定義してないし、詳しくは倉田を参照せよと
言ったりしてる。

515 :132人目の素数さん:2012/04/28(土) 13:50:50.76
ここは、>>1がスレ荒らしというスレなんだな

516 :132人目の素数さん:2012/04/28(土) 14:37:43.70
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
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     |   |  | / / レ',二、レ′ ,ィイ|゙/   私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.     |   \ ∠イ  ,イイ|    ,`-' |      頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
    |      / `‐-、::::::::::`‐-、::::\   /,ニニ、\            それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
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517 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/28(土) 16:10:51.98
>>508
補足

このサイト”Jean-Pierre Tignol's Galois' Theory of Algebraic Equations.”を引用しているね
http://fermatslasttheorem.blogspot.jp/2009/09/galois-memoir-lemma-2-galois-resolvent.html
Galois' Memoir: Lemma 2 (Galois Resolvent)
The following is taken from the translation of Galois' Memoir by Harold M. Edwards found in his book Galois Theory. The proof itself is taken from Jean-Pierre Tignol's Galois' Theory of Algebraic Equations.

で、Tignol>>34を見ると、14.2 方程式のガロア群 P243でVをガロア分解式( Galois resolvent )としている
まあ、コンヌがガロア分解式( Galois resolvent )について、倉田の勘違い>>511に付き合うはずもなく、国際標準通り(Vをガロア分解式)だろう

518 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/28(土) 16:11:55.60
>>515
うむ
荒しかどうかは、スレ主たる>>1のおいらが定義する

519 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/28(土) 16:26:47.88
>>512
>それでその一次式の最小多項式にはとくに名前はないのか?

自分では名前は付けていないが
>>18では”ガロア方程式F(x)=(x-V)(x-V')(x-V'')・・・・(x-V''*)”としている

>>513
>>>16でガロア分解式については
>倉田を参照せよと書いてる。

うむ、数学的な内容は倉田を読めば良いと

>>514
>他人を批判する前にあんた自分でもガロア分解式を
>はっきり定義してないし、詳しくは倉田を参照せよと
>言ったりしてる。

なんか勘違いしてない? 「他人を批判する前に」って、あんたが梅村の「隠れた対称性」>>40の意味が分からんと、突っかかってきたんだろ?
その過程で、こっちとしてはどうでも良い話だが、ガロア分解式Vの解説をして、コンヌは文中でVを使っているから、そこはガロア分解式との整合性から、Brisure de symetrieは分解が良いだろうと。日本語の語感として

定義みたく書いていないが>>15で"1.ガロア分解式(リゾルベント)  V=Aa+Bb+Cc+・・・  a,b,c・・・は、(重根を持たない)で問題の方程式の根、A,B,C・・・は根の置換で異なる値をとる" (ように定めるだな・・)と書いているよ
”詳しくは倉田”は数学的内容で、何をガロア分解式と呼ぶかは教養の問題だから、(数学的理解の)後でも良いし、瑣末なことよ。君が、コンヌを勘違いさえしなければ・・

520 :132人目の素数さん:2012/04/28(土) 16:37:35.67
>>517
コンヌはガロア分解式なんて言葉は使ってない。


521 :132人目の素数さん:2012/04/28(土) 16:45:48.29
>>519
倉田はガロア分解式を別の意味に使ってる。
>>16を読んだこのスレの読者はガロア分解式を
倉田の意味にとる。

522 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/28(土) 20:15:25.33
新スレ立てた・・、その4にするつもりだったのが4抜けたorz・・・

現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1335598642/

523 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/28(土) 20:20:12.18
>>520
ああ、コンヌはガロア分解式なんて言葉は使ってないけど、Galois Resolvent :V=Aa+Bb+Cc+・・・ >>508で良いだろ
そして、>>15でそう書いたおれ個人の感性で分解が適当ということなんだけど

じゃ、続きは新スレで

524 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/28(土) 20:26:42.93
>>521
>倉田はガロア分解式を別の意味に使ってる。
>>>16を読んだこのスレの読者はガロア分解式を
>倉田の意味にとる。

ああ、そうだね。君みたいに勘違いが出るかもな
下記396,397は君なんだね。悪かったね。意味取れなかったが、倉田の本を読んで同じ。勘違いしていたんだね。だが、コンヌの文を論じるときは、>>508>>517に従うべき(じゃ、続きは新スレで)

396 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2012/04/25(水) 21:03:53.86
誰が訳したかしらないがレゾルベントを分解式なんて訳すから
へんな誤解する人間が出てくる。
resolventはresolveから来てる。
resolveとは今の場合だと方程式を解くといこと。
与えられた方程式を解くための補助的な方程式を
レゾルベントと言う。

397 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2012/04/25(水) 21:17:22.75
>>392
その一次式をガロアレゾルベントというのか?
じゃあそれの最小多項式は何という?

525 :132人目の素数さん:2012/04/28(土) 23:10:39.27
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     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
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526 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 02:40:13.75
>>518
塀の中でいくら叫んでもあんたの自由だよw


527 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/29(日) 06:16:15.02
>>70
補足

(再録)
ある事象Aについて、見る視点によって、見え方が違うという場合がある
というか、多少複雑な事象については、視点を変えてみる必要がある場合が多い

例えば、Aが四角形の形に配列された煙突だとすると、視点によっては3本に見えたりする
上空から見れば、配列は一目瞭然としても、上空に上がれない場合にはその配列を周囲から調べるしか配列を知る方法はない

528 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む:2012/04/29(日) 06:17:06.41
>>527
誤爆スマソ

529 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 08:12:36.83
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
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530 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 12:45:38.88
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     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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531 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 15:15:29.97
1 名無しさんにズームイン! [] Date:2012/03/28(水) 08:28:15.02 ?ID:NWYs/2ZP Be:
 やらなけゃいけない
 電○の各局への圧力が半端ないんです
 昨日、一昨日前田AKB卒業ネタやった情報番組全てが前田AKB卒業ネタ中の毎分で視聴率がダダ下がりしました。
 各局本音では毎分視聴率ダダ下がりするこのネタははやりたくなかったけど原子力村以上に電○からの圧力が凄いんです

ブーム捏造、枕営業、自社買い、サクラの動員そして
AKBの捏造ブームのために税金が大量に使われている証拠がこちら

やっと気付いた「AKBに電通が絡んでる」ではなく「AKBの正体が電通」な件 その127
http://hayabusa3.2ch.net/test/read.cgi/mor●ningcoffee/1335468718/

AKBの宣伝に税金を使い、その税金が民主党に流れている
テレビの捏造に騙されるな

532 :132人目の素数さん:2012/05/11(金) 21:38:17.77
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     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
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533 :132人目の素数さん:2012/05/19(土) 11:11:54.54
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534 :132人目の素数さん:2012/05/19(土) 22:47:59.92
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535 :132人目の素数さん:2012/05/23(水) 08:14:29.67
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536 :132人目の素数さん:2012/05/27(日) 07:34:52.36
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537 :132人目の素数さん:2012/05/29(火) 04:31:30.11
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538 :132人目の素数さん:2012/06/03(日) 20:28:50.91
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539 :132人目の素数さん:2012/06/08(金) 07:06:04.02
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