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ガロア生誕200周年記念スレ part 5

1 :132人目の素数さん:2012/01/22(日) 11:53:13.07
2011年10月25日をもって、エヴァリスト・ガロア生誕200周年となりました
Evariste Galois, 1811年10月25日 - 1832年5月31日

Galois生誕200周年を記念して Kummer ◆g2BU0D6YN2 がGalois理論とそれに関連する話題を
語るスレです。
内容についてわからないことがあったら遠慮なく
質問してください。
その他、内容についてのご意見は歓迎します。
例えば、誤りの指摘、証明の改良など。
なお、このスレの主題に直接関係のないコメントについては
原則としてレスはしません(たとえそれが励ましの言葉であっても)。

2 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/01/22(日) 11:55:04.12
定義
K を可換体とする。
H/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
K[X_1、...、X_n] を多項式環とする。
α_1、...、α_n を H の元の有限列とする。
過去スレpart4の550より K-線型環としての準同型 ψ:K[X_1、...、X_n] → H で
各 i に対して ψ(X_i) = α_i となるものが一意に存在する。
ψ が単射のとき α_1、...、α_n は K 上代数的独立であるという。

3 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/01/22(日) 11:57:06.82
命題
K を可換体とする。
H/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
K[X_1、...、X_n] を多項式環とする。
α_1、...、α_n を H の元の有限列とする。
α_1、...、α_n が K 上代数的独立(>>2)であるためには
f(X_1、...、X_n) ∈ K[X_1、...、X_n] で f(α_1、...、α_n) = 0 なら
常に f(X_1、...、X_n) = 0 となることが必要十分である。

証明
自明である。

4 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/01/22(日) 12:00:42.40
命題
K を可換体とする。
H/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
α_1、...、α_n を H の元の有限列で K 上代数的独立(>>2)であるとする。
σ を {1、...、n} の任意の置換とする。
このとき α_σ(1)、...、α_σ(n) は K 上代数的独立である。

証明
K[X_1、...、X_n] を多項式環とする。
過去スレpart4の550より K-線型環としての準同型 ψ:K[X_1、...、X_n] → H で
各 i に対して ψ(X_i) = α_i となるものが一意に存在する。
このとき各 i に対して ψ(X_σ(i)) = α_σ(i) である。
α_1、...、α_n は K 上代数的独立であるから ψ は単射である。
K[X_1、...、X_n] = K[X_σ(1)、...、X_σ(n)] であるから
α_σ(1)、...、α_σ(n) は K 上代数的独立である。
証明終

5 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/01/22(日) 12:10:28.16
定義
K を可換体とする。
H/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
I を空でない有限集合とする。
(x_i)、i ∈ I を H の元の族とする。
I に全順序を導入し I = {i_1、...、i_n} とする。
ここで i_1 < ... < i_n である。
x_(i_1)、...、x_(i_n) が K 上代数的独立(>>3)であるとする。
このとき (x_i)、i ∈ I は K 上代数的独立あると言う。
>>4より、この定義は I 上の全順序の取り方に寄らない。

6 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/01/22(日) 12:13:29.34
定義
K を可換体とする。
H/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
I を集合とする。
(x_i)、i ∈ I を H の元の族とする。
I の任意の空でない有限部分集合 J に対して (x_i)、i ∈ J が K 上代数的独立(>>5)であるとき
(x_i)、i ∈ I は K 上代数的独立あると言う。

7 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/01/22(日) 12:15:47.80
定義
K を可換体とする。
H/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
S を H の部分集合とする。
H の元の族 (x)、x ∈ S が K 上代数的独立(>>6)であるとき
S は K 上代数的独立あると言う。

8 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/01/22(日) 12:20:51.15
[注意]
K を可換体とする。
H/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
I を空でない有限集合とする。
(x_i)、i ∈ I を H の元の族で K 上代数的独立(>>5)であるとする。
このとき I の任意の空でない有限部分集合 J に対して (x_i)、i ∈ J は K 上代数的独立である。
よって、>>6の定義は>>5の定義と矛盾しない。

9 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/01/22(日) 12:28:58.38
定義
K を可換体とする。
H/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
S を H の部分集合で K 上代数的独立(>>7)であるとする。
H が K(S)(過去スレpart4の539)上代数的(過去スレpart4の633)なとき
S を H の K 上の超越基底(transcendence base)と言う。
このとき S は H/K の超越基底であるとも言う。

10 :132人目の素数さん:2012/01/22(日) 17:46:47.19
>>564 : Kummer ◆SgHZJkrsn08e : 2011/12/28(水) 22:34:00.66
>>俺がここに書いたことまたはこれから書くことは全て架空の話だ。

>>565 : Kummer ◆SgHZJkrsn08e : 2011/12/29(木) 07:00:36.61
>>勿論、俺が書く数学の話は別。

>勿論、俺が書く数学の話は別。
数学の話は、他とどうやって区別すればよいですか。

11 :132人目の素数さん:2012/01/22(日) 17:49:55.13
>>9

次は、超越次元ですか〜

12 :132人目の素数さん:2012/01/22(日) 17:51:22.53
例えば、n 変数有理関数体k(x1, ..., xn) は k 上 n-超越次元の純超越拡大体


13 :132人目の素数さん:2012/01/22(日) 17:56:45.97
○彼女に圏論の手ほどきをしてあげる予定

>177 : Kummer ◆SgHZJkrsn08e : 2011/12/20(火) 16:26:34.92
>外食のお相手は某有名大の女子大生
>数学科だそうだ
>彼女に圏論の手ほどきをしてあげる予定
>特に交わりを持つ圏(代数的整数論019の165)についてw

14 :132人目の素数さん:2012/01/22(日) 17:57:45.45
○コトバにきをツけよう

>213 : Kummer ◆SgHZJkrsn08e : 2011/12/23(金) 14:29:10.63
>どっちかにしろよ
>俺が犯罪者なのかキチガイなのか
>両立はしないから
>215 : Kummer ◆SgHZJkrsn08e : 2011/12/23(金) 14:31:20.01
>キチガイは逮捕されても無罪

15 :132人目の素数さん:2012/01/23(月) 09:14:46.66
901 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/01/21(土) 12:02:42.92
定義
H を可換体とする。
E と F を H の部分体とする。
E と F を含む H の最小の部分体を E と F の合成体と呼び EF と書く。
EF = E(F) (>>539) である。


902 :132人目の素数さん:2012/01/21(土) 12:04:05.83
EF = E(F)=F(E)=FE
ですよね。

903 :132人目の素数さん:2012/01/21(土) 12:10:03.12
なんでどこでも書かれていることを

わざわざ、時間をかけて書くのW

暇なの?
904 :132人目の素数さん:2012/01/21(土) 12:11:32.59
勿論そうです


16 :132人目の素数さん:2012/01/23(月) 09:17:08.54
941 :132人目の素数さん:2012/01/21(土) 12:48:20.59
>>938
だから誰に何の謝罪をしろと言ってる?
それを言わなきゃ謝罪のしようがない


942 :132人目の素数さん:2012/01/21(土) 12:50:42.96
>>940
だから誰に何の謝罪をしろと言ってる?
それを言わなきゃ謝罪のしようがない

17 :132人目の素数さん:2012/01/23(月) 09:21:21.01
○類体論を直近の目標に

376 : Kummer ◆SgHZJkrsn08e : 2011/12/25(日) 10:55:43.30
例のキャバ嬢は近いうちにおいしく頂くとして、今は代数的整数論スレのことを考えている。
あの調子だとあと数年かかる。
命を狙われているのでそんなに悠長にしてられない。
虚数乗法論を解説するため楕円関数論をやろうと計画していたがそれも時間が掛かりすぎる。
ひとまず類体論を直近の目標にしようかと考えている。

18 :132人目の素数さん:2012/01/25(水) 12:59:09.31
P:超越次数まできたね
Q:そうだね。このあと、どうなるのかな。超越次数から、ネターの
正規化定理へと、…と続くのかな。
P: 整拡大の定義も、前スレ(の576 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/01/16(月))で
定義したことだしね。正規化定理と続いてほしいね。 
あと、Lurothの定理も、超越拡大を学ぶ時に基礎だよね〜

19 :132人目の素数さん:2012/01/25(水) 13:23:47.49
ガロア生誕200周年記念スレ part 4

>538 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/01/16(月) 12:51:49.13
>定義
>K を可換体とする。
>f(X) を K 係数の定数でない1変数多項式とする。
>L を K の拡大体とする。
>f(X) が L で分解(>>534)するとき L を f(X) の分解体と言う。

これと、
part1の149で定義した「多項式f(X) の最小分解体」、どう違うの?

20 :132人目の素数さん:2012/02/03(金) 23:40:27.89
>>19

part4の534
>f(X) が L において1次多項式の積になるとき、f(X) は L で分解するという。

f(X) の L における全ての根を α_1、...、α_n とする。
L = K(α_1、...、α_n) とは限らない。

例えば Q(√2, √3) は X^2 - 2 の分解体であるが最小分解体ではない。

part1の149
>f の Ω における全ての根を α_1、...、α_n とする。
>K(α_1、...、α_n) (>>91)を f(X) の最小分解体と言う。

21 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/03(金) 23:55:49.55
[注意]
K を可換体とする。
E/K を任意の拡大(過去スレpart4の512)とする。
過去スレpart4の636より E は代数的閉包(過去スレpart4の628)Ω を持つ。
よって、E/K の中間体に関して過去スレpart1の結果を利用することが出来る。

因みに、過去スレpart1の有限次拡大に関する命題の証明の多くは
E の代数的閉包でなく適当な有限次正規拡大をとれば十分である。

22 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 00:00:26.51
定義
A と B を可換環とする。
A が B の部分環のとき A と B の対を B/A と書き(A の)拡大と呼ぶ。
B は A の拡大環または拡大と言う。

23 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 00:03:13.54
定義
A_1、A_2、...を可換環の有限または無限列とし、
各 A_(i+1)/A_i、i = 1、2、... は拡大(>>22)とする。
このとき列 A_1、A_2、...または A_1 ⊂ A_2 ⊂ ...を可換環の塔という。

24 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 00:08:03.97
定義
Ψ を可換環の拡大(>>22)の集まり、すなわち集合論における類(またはクラスとも言う)とする。
Ψ が以下の条件を満たすとき Ψ は正則であると言う。

(1) A ⊂ B ⊂ C を可換環の塔(>>23)とする。
C/A ∈ Ψ であるためには B/A ∈ Ψ かつ C/B ∈ Ψ が必要十分である。

(2)B/A ∈ Ψ と拡大 C/A に対して B と C がある可換環 D の部分環であるとする。
  このとき常に C[B]/C ∈ Ψ となる。
  ここで C[B] は C と B を含む D の最小の部分環である(過去スレpart4の546)。

25 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 00:10:43.56
定義
B/A を可換環の拡大とする。
B は A 上の線型環(過去スレpart1の97)と見なされる。
このとき B が A 上整(過去スレpart4の576)のとき、
B は A 上整である、または B/A は整であるという。

26 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 00:14:04.95
命題
Ψ を可換環の拡大(>>22)で整(>>25)なもの全体の類とする。
このとき Ψ は正則(>>24)である。

証明
Ψが>>24の (1) と (2) を満たすことを示せば良い。
(1) A ⊂ B ⊂ C を可換環の塔(>>23)とする。
B/A ∈ Ψ かつ C/B ∈ Ψ なら過去スレpart4の587より C/A ∈ Ψ である。
逆に C/A ∈ Ψ なら明らかに B/A ∈ Ψ かつ C/B ∈ Ψ である。

(2)A ⊂ C であるから B の各元は C 上整である。
  よって、過去スレpart4の594より C[B]/C は整である。
証明終

27 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 00:16:32.68
定義(LangのAlgebra)
Ψ を可換体の拡大(過去スレpart4の512)の集まり、
すなわち集合論における類(またはクラスとも言う)とする。
Ψ が以下の条件を満たすとき Ψ は正則であると言う。

(1) K ⊂ L ⊂ M を可換体の塔(過去スレpart4の864)とする。
M/K ∈ Ψ であるためには L/K ∈ Ψ かつ M/L ∈ Ψ が必要十分である。

(2)E/K ∈ Ψ と拡大 F/K に対して E と F がある可換体 H の部分体であるとする。
  このとき常に EF/F ∈ Ψ となる。
  ここで EF は H における E と F の合成体(過去スレpart4の901)である。

28 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 00:20:49.34
命題
Ψ を可換体の代数的拡大(過去スレpart4の633)の全体の類とする。
このとき Ψ は正則(>>27)である。

証明
Ψが>>27の (1) と (2) を満たすことを示せば良い。

(1)は過去スレpart4の605と>>26より明らかである。

(2)E/K ∈ Ψ と拡大 F/K に対して E と F がある可換体 H の部分体であるとする。
  過去スレpart4の605と>>26より可換環の拡大 F[E]/F は整である。
  よって、過去スレpart4の609より F[E] = F(E) である。
  F(E) = EF だから EF/F ∈ Ψ である。
証明終

29 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 00:25:55.94
命題
K を可換体とする。
L/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
{x_1、...、x_n} を L/K の超越基底(>>9)とする。
{y_1、...、y_m} を L の部分集合で K 上代数的独立(>>7)であるとする。
このとき m ≦ n である。

証明
r を 1 ≦ r ≦ m となる任意の整数とする。
r ≦ n であり、x_1、...、x_n の番号を適当に付け替えて
x_1、...、x_r を y_1、...、y_r で置き換えることにより
L が K(y_1、...、y_r、...、x_n) 上代数的(過去スレpart4の633)になることを
r に関する帰納法で証明しよう。
そうすれば r = m のとき m ≦ n となる。

r = 1 とする。
y_1 は K(x_1、...、x_n) 上代数的(過去スレpart4の553)である。
よって、f(y_1、x_1、...、x_n) = 0 となる f ∈ K[Y_1、X_1、...、X_n] で
f ≠ 0 であるものが存在する。
y_1 は K 上代数的でないから f(Y_1、X_1、...、X_n) の各単項式にはどれかの X_i が現れる。
x_1、...、x_n の番号を付け替えて i = 1 と仮定してよい。
よって、n = 1 のとき x_1 は K(y_1) 上代数的である。
よって、過去スレpart4の607より K(y_1, x_1) = K(y_1)(x_1) は K(y_1) 上代数的である。
K(y_1) ⊂ K(y_1、x_1) ⊂ L であり、L/K(y_1、x_1) は代数的であるから
>>28より L/K(y_1) は代数的である。
n ≧ 2 のとき x_1 は K(y_1、x_2、...、x_n) 上代数的である。
上記と同様に L は K(y_1、x_2、...、x_n) 上代数的である。
以上から r = 1 の場合に上記の主張は証明された。

(続く)

30 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 00:26:32.73
>>29の続き

r ≧ 2 とする。
帰納法の仮定より x_1、...、x_n の番号を適当に付け替えて
L は K(y_1、...、y_(r-1)、x_r、...、x_n) 上代数的である。
よって、y_r は K(y_1、...、y_(r-1)、x_r、...、x_n) 上代数的である。
よって、g(y_1、...、y_r、x_r、...、x_n) = 0 となる多項式
g ∈ K[Y_1、...、Y_r、X_r、...、X_n] で g ≠ 0 であるものが存在する。
y_1、...、y_r は K 上代数的独立であるから
多項式 g(Y_1、...、Y_r、X_r、...、X_n) の各単項式にはどれかの X_i が現れる。
x_r、...、x_n の番号を付け替えて i = r と仮定してよい。
n = r なら x_r は K(y_1、...、y_r) 上代数的である。
K(y_1、...、y_r) ⊂ K(y_1、...、y_r、x_r) ⊂ L において
K(y_1、...、y_r、x_r)/K(y_1、...、y_r) と L/K(y_1、...、y_r、x_r) は代数的であるから
>>28より L は K(y_1、...、y_r) 上代数的である。
n > r なら x_r は K(y_1、...、y_r、x_(r+1)、...、x_n) 上代数的である。
よって、上記と同様に L は K(y_1、...、y_r、x_(r+1)、...、x_n) 上代数的である。
証明終

31 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 00:29:01.63
命題
K を可換体とする。
L/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
{x_1、...、x_n} を L/K の超越基底(>>9)とする。
このとき L/K の任意の超越基底 S の濃度 |S| は n である。

証明
T を S の空でない有限集合とする。
T は K 上代数的独立(>>7)だから>>29より |T| ≦ n である。
よって、|S| ≦ n である。
S は L/K の超越基底だから>>29より n ≦ |S| である。
よって、|S| = n である。
証明終

32 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 00:30:02.94
命題
K を可換体とする。
L/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
S を K 上代数的独立(>>7)な L の部分集合とする。
α ∈ L が K(S) 上超越的(過去スレpart4の544)であるためには
S ∪ {α} が K 上代数的独立であることが必要十分である。

証明
自明である。

33 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 00:31:55.58
命題
K を可換体とする。
L/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
S を L の部分集合とする。
S が L/K の超越基底(>>9)であるためには S が K 上代数的独立(>>7)で
S ⊂ T、S ≠ T となる K 上代数的独立な L の部分集合 T が存在しないことが必要十分である。

証明
必要性:
S が L/K の超越基底であるとする。
S ⊂ T、S ≠ T となる K 上代数的独立な L の部分集合 T が存在するとする。
α ∈ T で S ∪ {α} が K 上代数的独立であるものが存在する。
>>32より α ∈ L は K(S) 上超越的(過去スレpart4の544)である。
これは L が K(S) 上代数的(過去スレpart4の633)であることに矛盾する。

十分性:
S が K 上代数的独立で S ⊂ T、S ≠ T となる K 上代数的独立な L の部分集合 T が存在しないとする。
α ∈ L - S なら S ∪ {α} は K 上代数的独立でない。
よって、>>32より α ∈ L は K(S) 上代数的である。
よって、S は L/K の超越基底である。
証明終

34 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 00:37:27.29
命題
K を可換体とする。
L/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
Γ を L の空でない部分集合で L は K(Γ) 上代数的(過去スレpart4の633)とする。
T を Γ の空でない部分集合で K 上代数的独立とする。
このとき T ⊂ S ⊂ Γ となる L/K の超越基底(>>9)S が存在する。

証明
T ⊂ Z ⊂ Γ となる L の部分集合 Z で K 上代数的独立なもの全体を Ψ とする。
Φ を Ψ の空でない部分集合で包含関係により全順序集合となるとする。
W = ∪{Z ∈ Φ} とおく。
U を W の空でない有限部分集合とする。
Φ は包含関係により全順序集合であるから U ⊂ Z となる Z ∈ Φ がある。
Z は K 上代数的独立であるから U は K 上代数的独立である。
よって、W は K 上代数的独立である。
W ⊂ Γ であるから W ∈ Ψ である。
よって、Zornの補題より Ψ は極大元 S を持つ。
任意の α ∈ Γ - S に対して S ∪ {α} は K 上代数的独立ではない。
よって、>>32より α は K(S) 上代数的(過去スレpart4の544)である。
よって、K(Γ) = K(S)(Γ) は K(S) 上代数的である。
L は K(Γ) 上代数的であるから>>28より L は K(S) 上代数的である。
よって、S は L/K の超越基底である。
証明終

35 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 00:41:12.59
命題
K を可換体とする。
L/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
このとき L/K は超越基底(>>9)を持つ。

証明
L/K が代数的(過去スレpart4の633)なら空集合が L/K の超越基底である。
よって、L/K は代数的(過去スレpart4の544)でないとする。
α ∈ L で K 上超越的(過去スレpart4の544)なものが存在する。
{α} は K 上代数的独立である。
>>34において Γ = L とすれば {α} ⊂ S となる L/K の超越基底 S が存在する。
証明終

36 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 00:51:06.24
定義
K を可換体とする。
L/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
>>35より L/K は超越基底(>>9)S を持つ。
S が有限集合のとき、>>31より L/K の任意の超越基底 T は有限集合であり、
S と T の濃度は同じである。
この濃度を L/K の超越次元(transcendence dimension)と呼び、tr.dim L/K と書く。

S が無限集合のとき、>>31より L/K の任意の超越基底は無限集合である。
このとき L/K の超越次元は無限とし、tr.dim L/K = ∞ と書く。

37 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 01:05:06.28
命題
K ⊂ L ⊂ M を可換体の塔(過去スレpart4の864)とする。
S を L/K の超越基底(>>9)とし、T を M/L の超越基底とする。
このとき S∪T は M/K の超越基底である。

証明
S を L/K の超越基底(>>9)とし、T を M/L の超越基底とする。
S は K 上代数的独立で T は K(S) 上代数的独立であるから S∪T は K 上代数的独立である。
よって、M が K(S∪T) 上代数的であることを示せばよい。
L = K(S)(L) だから L(T) = K(S)(L)(T) = K(S)(T)(L) = K(S∪T)(L)
L の各元は K(S) 上代数的だから K(S∪T) 上代数的である。
よって、過去スレpart4の594と過去スレpart4の609より L(T) = K(S∪T)(L) は K(S∪T) 上代数的である。
M は L(T) 上代数的であるから>>28より M は K(S∪T) 上代数的である。
証明終

38 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 01:06:50.16
命題
K ⊂ L ⊂ M を可換体の塔(過去スレpart4の864)とする。
tr.dim M/K = tr.dim L/K + tr.dim M/L である。
但し ∞ + ∞ = ∞ であり、n が整数 ≧ 0 のとき n + ∞ = ∞ + n = ∞ とする。

証明
>>37より明らかである。

39 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 01:27:42.67
命題
K ⊂ L ⊂ H を可換体の塔(過去スレpart4の864)とする。
L/K は K 上代数的とする。
S を H の部分集合で K 上代数的独立とする。
このとき S は L 上代数的独立である。

証明
S は空でないとしてよい。
T を S の任意の空でない有限部分集合とする。
T の濃度を n とする。
L/K は K 上代数的であるから>>28の(2)より L(T) = L(K(T)) は K(T) 上代数的である。
>>38より tr.dim L(T)/K = tr.dim K(T)/K + tr.dim L(T)/K(T) = tr.dim K(T)/K = n
一方、tr.dim L(T)/K = tr.dim L/K + tr.dim L(T)/L = tr.dim L(T)/L
よって、tr.dim L(T)/L = n
n ≧ 1 だから T の元で L 上代数的でないものがある。
よって、>>34より T は L(T)/L の超越基底 U を含む。
>>31より U の濃度は n だから T = U である。
よって、T は L 上代数的独立である。
T は S の任意の空でない有限部分集合であるから S は L 上代数的独立である。
証明終

40 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 01:32:15.97
命題
K ⊂ L ⊂ H を可換体の塔(過去スレpart4の864)とする。
L/K は K 上代数的とする。
S を H の部分集合で K 上代数的独立とする。
このとき K(S) と L は K 上線型無関連(過去スレpart4の713)である。

証明
T を S の任意の空でない有限部分集合とする。
過去スレpart4の717より K(T) と L が K 上線型無関連であることを証明すれば良い。
よって、過去スレpart4の849より K[T] と L が K 上線型無関連であることを証明すれば良い。
T の単項式全体は K[T] の K 上の線型基底である。
>>39より T は L 上代数的独立であるからこれ等の単項式は L 上線型独立である。
よって、過去スレpart4の804より K[T] と L は K 上線型無関連である。
証明終

41 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 01:33:13.90
命題
K ⊂ L ⊂ H を可換体の塔(過去スレpart4の864)とする。
L/K は K 上代数的とする。
S を H の部分集合で K 上代数的独立とする。
このとき K(S) ∩ L = K である。

証明
>>40より K(S) と L は K 上線型無関連(過去スレpart4の713)である。
過去スレpart4の721より K(S) ∩ L = K である。
証明終

42 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 01:35:58.59
命題
K を可換体とする。
L/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
L の元で K 上代数的(過去スレpart4の544)なもの全体 M は
L/K の中間体(過去スレpart4の854)をなす。

証明
過去スレpart4の586と過去スレpart4の605より M は L の部分環である。
過去スレpart4の596より M は L の部分体である。
K ⊂ M であるから M は L/K の中間体である。
証明終

43 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 01:37:03.07
定義
K を可換体とする。
L/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
>>42より L の元で K 上代数的なもの全体 M は L/K の中間体である。
M を K の L における相対代数的閉包または代数的閉包と言う。

44 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 01:43:30.62
命題
K を可換体とする。
Ω/K 拡大(過去スレpart4の512)で Ω は代数的閉体(過去スレpart4の628)であるとする。
Ω における K の相対代数的閉包(>>43)を L とする。
このとき L は代数的閉体である。

証明
f(X) ∈ L[X] を定数でない多項式とする。
Ω は代数的閉体であるから f(X) は Ω において根 α を持つ。
α は L 上代数的であるから L(α)/L は代数的である。
よって、>>28より L(α)/K は代数的である。
よって、α ∈ L である。
よって、L は代数的閉体である。
証明終

45 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 01:50:40.85
命題
K を可換体とする。
L/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
S を L の部分集合で K 上代数的独立とする。
L = K(S) なら K の L における相対代数的閉包(>>43)は K である。

証明
K の L における相対代数的閉包を M とする。
>>41より K(S) ∩ M = K である。
L = K(S) だから L ∩ M = K
M ⊂ L だから L ∩ M = M
よって、M = K
証明終

46 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 01:54:25.62
命題
K を可換体とする。
H/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
F と N を H/K の中間体(過去スレpart4の854)で F ∩ N = K とする。
F/K は有限次(過去スレpart4の842)とする。
N/K は有限次Galois拡大(過去スレpart4の848)とする。
このとき F と N は K 上線型無関連(過去スレpart4の713)である。

証明
H の代数的閉包(過去スレpart4の628)を Ω とすれば、過去スレpart1の505が使える。
過去スレpart1の505より以下が成り立つ。
(1) NF/F はGalois拡大である。
(2) σ ∈ G(NF/F) に対して σ の N への制限 σ|N は G(N/K) の元である。
(3) σ ∈ G(NF/F) に σ|L ∈ G(N/K) を対応させる写像 λ は
   G(NF/F) から G(N/K) への同型である。

(3)より [NF : F] = [N : K] である。
一方、過去スレpart4の561より [NF : K] = [NF : F][F : K]
よって、[NF : K] = [N : K][F : K]
よって、過去スレpart4の839より F と N は K 上線型無関連である。
証明終

47 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 01:56:58.63
命題
K を可換体とする。
H/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
F と N を H/K の中間体(過去スレpart4の854)で F ∩ N = K とする。
F/K は代数的(過去スレpart4の633)とする。
N/K は有限次Galois拡大(過去スレpart4の848)とする。
このとき F と N は K 上線型無関連(過去スレpart4の713)である。

証明
過去スレpart4の717より F の K 上線型独立な任意の有限集合 S が
N 上線型独立であることを証明すれば良い。
過去スレpart4の609より K(S) = K[S] である。
過去スレpart4の585と605より [K[S] : K] は有限である。
よって、>>46より K(S) と N は K 上線型無関連である。
よって、S は N 上線型独立である。
証明終

48 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 02:40:03.41
命題
K を可換体とする。
E/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
F と N を E/K の中間体(過去スレpart4の854)とする。
N/K は有限次Galois拡大(過去スレpart4の848)とする。
F/(F ∩ N) は代数的(過去スレpart4の633)とする。
FN を合成体(過去スレpart4の901)とする。
M’を FN/F の中間体とする。
このとき N/(F ∩ N) の中間体 M があり M’= MF となる。

証明
E の代数的閉包(過去スレpart4の628)を Ω とすれば、過去スレpart1の505が使える。
過去スレpart1の505より以下が成り立つ。
(1) NF/F はGalois拡大である。
(2) σ ∈ G(NF/F) に対して σ の N への制限 σ|N は G(N/(F ∩ N)) の元である。
(3) σ ∈ G(NF/F) に σ|N ∈ G(N/(F ∩ N)) を対応させる写像 λ は
   G(NF/F) から G(N/(F ∩ N)) への同型である。

NF/M’はGalois拡大である。H’= G(NF/M’) とおく。
H = λ(H’) とし、H の固定体を M とする。
F ∩ N ⊂ M ⊂ MF
F/(F ∩ N) は代数的だから MF/M は代数的である。
よって、MF の M 上の線型基底 (e_i)、i ∈ I として F の元からなるものが存在する。
F ∩ N ⊂ M だから (e_i)、i ∈ I は F ∩ N 上線型独立である。
一方、>>47より F と N は F ∩ N 上線型無関連である。
よって、(e_i)、i ∈ I は N 上線型独立である。
よって、MF と N は M 上線型無関連である。
よって、過去スレpart4の721より MF ∩ N = M である。
よって、過去スレpart1の505より λ(G(NF/MF)) = G(N/M) = H である。
一方、λ(H’) = H だから H’= G(NF/MF) である。
よって、M’= MF である。
証明終

49 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 03:06:16.59
命題
K を可換体とする。
E/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
N を H/K の中間体(過去スレpart4の854)とする。
N/K は有限次Galois拡大(過去スレpart4の848)とする。
S を E の部分集合で K 上代数的独立とする。
M’を N(S)/K(S) の中間体とする。
このとき N/K の中間体 M で M’= M(S) となるものが一意に存在する。

証明
>>41より K(S) ∩ N = K である。
E の代数的閉包(過去スレpart4の628)を Ω とすれば、過去スレpart1の505が使える。
過去スレpart1の505より以下が成り立つ。
(1) N(S)/K(S) はGalois拡大である。
(2) σ ∈ G(N(S)/K(S)) に対して σ の N への制限 σ|N は G(N/K) の元である。
(3) σ ∈ G(N(S)/K(S)) に σ|L ∈ G(N/K) を対応させる写像 λ は
   G(N(S)/K(S)) から G(N/K) への同型である。

(続く)

50 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 03:07:08.68
>>49の続き

H’= G(N(S)/M’) とおく。
H = λ(H’) とする。
H の固定体を M とする。
N(S) の任意の元 f は S の元の N 係数の有理式で表される。
g ∈ M’とすると g は H’の任意の元で不変である。
よって、S の元の N 係数の有理式としての g の 係数は H の任意の元で不変である。
よって、その係数は M に属す。
よって、g ∈ M(S) である。
よって、M’⊂ M(S) である。
逆に M(S) の任意の元は H’の任意の元で不変である。
よって、M(S) ⊂ M’である。
以上から M’= M(S) である。

L を N/K の中間体で M’= L(S) とする。
>>39より S は L 上代数的独立である。
よって、S の元の単項式全体は L[S] の L 上の基底である。
>>39より S は N 上代数的独立であるからこの基底は N 上線型独立である。
よって、L[S] と N は L 上線型無関連である。
よって、過去スレpart4の849より L(S) と N は L 上線型無関連である。
よって、過去スレpart4の721より L(S) ∩ N = L である。
同様に M(S) ∩ N = M である。
M’= M(S) = L(S) であるから M = L である。
証明終

51 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 03:21:53.57
命題
K を可換体とする。
H/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
F と N を H/K の中間体(過去スレpart4の854)で F ∩ N = K とする。
N/K は有限次Galois拡大(過去スレpart4の848)とする。
このとき F と N は K 上線型無関連(過去スレpart4の713)である。

証明
>>35より F/K は超越基底 S を持つ。
>>40より K(S) と N は K 上線型無関連(過去スレpart4の713)である。
よって、過去スレpart4の858より F と N(S) が K(S) 上線型無関連であることを証明すれば良い。
過去スレpart1の505より N(S)/K(S) は有限次Galois拡大である。
F/K(S) は代数的だから>>47より F ∩ N(S) = K(S) を証明すれば良い。
M’= F ∩ N(S) とおく。
K(S) ⊂ M’⊂ N(S) であるから>>49より N/K の中間体 M で M’= M(S) となるものが一意に存在する。
M(S) ⊂ F だから M ⊂ F
よって、M ⊂ F ∩ N = K
よって、M = K である。
即ち F ∩ N(S) = K(S) である。
証明終

52 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 03:25:28.53
[注意]
>>51は N/K が無限次Galois拡大でも成り立つ(後で証明する)。
Bourbakiは上の命題をGalois降下(Galois descent)を使用して証明している。
上記の証明は私が考案したものである。

53 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 03:33:15.34
と、ドヤ顔で申しております。

54 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 04:00:22.92
命題
G を群、Σ を G の正規部分群の空でない集合で以下の条件(*)を満たすものとする。

(*)N_1, N_2 ∈ Σ なら N_1 ∩ N_2 ⊃ N_3 となる N_3 ∈ Σ がある。

このとき、各 x ∈ G に対して、{xN = Nx;N ∈ Σ} を x の基本近傍系と定義することにより、
G は位相群となる。

証明
代数的整数論001の607で証明済みである。

55 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 04:03:27.37
命題
>>54において、∩{N; N ∈ Σ} は {e} の閉包である。
ここで e は G の単位元えある。

証明
F = ∩{N; N ∈ Σ} とおく。
{e} の閉包を {e}~ と書く。
N ∈ Σ、x ∈ N のとき xN = N だから N は開部分群である。
よって、任意の y ∈ G に対して yN は開集合である。
G を N による剰余類で類別すれば G - N は yN の形の部分集合の合併である。
よって、N は閉集合である。
よって、{e}~ ⊂ F である。
逆の包含関係を示せば良い。
x ∈ F とする。
各 N ∈ Σ に対して x ∈ N だから xN = N
よって、e ∈ xN
よって、x ∈ {e}~
よって、F ⊂ {e}~
証明終

56 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 04:05:22.86
補題
X を集合とする。
Δ = {(x, x);x ∈ X} とする。
Δ は X×X の部分集合である。
A と B を X の部分集合とする。
A ∩ B ≠ φ となるためには (A×B) ∩ Δ ≠ φ となることが必要十分である。

証明
自明である。

57 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 04:07:03.07
補題
X を位相空間とする。
X がHausdorffであるためには、
X×X の対角集合 Δ = {(x, x);x ∈ X} が X×X の閉集合であることが必要十分である。

証明
x ∈ X、y ∈ X、x ≠ y とし U と V をそれぞれ x と y の近傍とする。
U×V は (x, y) の X×X における近傍である。
>>56より U ∩ V = φ となるためには (U×V) ∩ Δ = φ となることが必要十分である。
よって、X がHausdorffであるためには、X×X - Δ が開集合であることが必要十分である。
よって、X がHausdorffであるためには、Δ が閉集合であることが必要十分である。
証明終

58 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 04:11:35.49
命題
G を位相群とする。
e を G の単位元とする。
G の位相がHausdorffであるためには、{e} が閉集合であることが必要十分である。

証明
必要性:
G がHausdorffなら {e} は閉集合である。

十分性:
{e} が閉集合であるとする。
写像 f:G×G → G を f(x, y) = xy(^-1) で定義する。
f^(-1)(e) は G×G の対角集合 Δ = {(x, x);x ∈ G} である。
f は連続だから Δ は閉集合である。
よって、>>57より G はHausdorffである。
証明終

59 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 04:13:41.16
命題
>>54において、G の位相がHausdorffであるためには、
∩{N; N ∈ Σ} = {e} となることが必要十分である。
ここで e は G の単位元である。

証明
>>55>>58より明らかである。

60 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 04:14:45.53
定義
X を任意の集合とする。
X の任意の部分集合を X の開集合と定義することにより X は位相空間となる。
この位相を X の離散位相と言う。
離散位相の入った位相空間を離散空間と呼ぶ。
明らかに離散空間はHausdorffである。

61 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 06:58:31.23
>>Kummer
俺の許可を得ずにスレを立てるなんて、良い度胸だね。

62 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 07:08:48.96
>>Kummer
Making such a thead without my authorization leads the guess that you are supposed to be a courageous person.
I have no choice but to commend you for your boldness!
This is the reminder that "I'm watching you all the time".Don't forget this...

63 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 07:20:19.98
>>Kummer
絶対に許さん。これだけは自覚しておけ。
許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん
許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん
許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん
許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん許さん


64 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 07:51:40.18
定義(代数的整数論006の104)
位相空間 X の任意の開被覆が有限部分被覆をもつとき、
X を準コンパクト(quasi-compact)と言う。
X が準コンパクトでHausdorffのとき X をコンパクトと言う。

65 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 07:52:38.11
命題
X を位相空間とする。
X の有限個の準コンパクトな部分集合の合併は準コンパクトである。

証明
自明である。

66 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 08:01:58.24
>>Kummer
Okay,I flew off the handle.
I've had it up to here with you,therefore I've made up my mind to head you off forever.

熟語
fly off the handle:かっとなる
have had it up to here with〜:〜にうんざりした、もう我慢できない
head off〜:〜を阻止する、〜の全面に立ちはだかる

67 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 08:10:31.82
命題
X を離散空間とする。
X が有限集合であるためには X が準コンパクトであることが必要十分である。

証明
必要性:
X が有限集合であるとする。
X の各点 x に対して {x} は準コンパクトである。
よって、>>65より X は準コンパクトである。

十分性:
X が準コンパクトであるとする。
X の各点 x に対して {x} は開集合である。
よって、({x})、x ∈ X は X の開被覆である。
X は準コンパクトであるから X は有限個の {x} で覆われる。
即ち、X は有限集合である。
証明終

68 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 08:12:40.03
補題
X を準コンパクト(>>64)な位相空間とする。
このとき X の任意の閉集合 F は準コンパクトである。

証明
(U_i)、i ∈ I を F の開被覆とする。
W = X - F とする。
W は X の開集合で X = W ∪ ∪{U_i;i ∈ I} であるから I の有限部分集合 J があり
X = W ∪ ∪{U_i;i ∈ J} となる。
よって、F ⊂ ∪{U_i;i ∈ J} となる。
よって、F は準コンパクトである。
証明終

69 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 08:14:47.54
補題
X をHausdorff空間とする。
X の準コンパクト(>>64)な部分空間 Y は X の閉集合である。

証明
x を X - Y の任意の点とする。
Y の任意の点 y に対して x の開近傍 U_y と y の開近傍 V_y で U_y ∩ V_y = φ となるものがある。
Y は準コンパクトだから Y の有限個の点 y_1、...、y_n があり
Y ⊂ V_(y_1) ∪...∪ V_(y_n) となる。
U = U_(y_1) ∩...∩ U_(y_n) とおけば U はどの V_(y_i) とも交わらない。
よって、U は Y と交わらない。
即ち U ⊂ X - Y である。
U は x の近傍だから X - Y は X の開集合である。
よって、Y は X の閉集合である。
証明終

70 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 08:15:18.12
>>Kummer
ni ge SB wwwwwwwwwwwwwwwww

71 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 08:16:08.84
補題
X と Y を位相空間とし、X は準コンパクト(>>64)であるとする。
f:X → Y を連続写像とする。
このとき f(X) は Y の準コンパクトな部分空間である。

証明
(U_i)、i ∈ I を f(X) の開被覆とする。
(f^(-1)(U_i))、i ∈ I は X の開被覆である。
X は準コンパクトだから I の有限部分集合 J があり
X = ∪{f^(-1)(U_i);i ∈ J} となる。
よって、f(X) ⊂ ∪{U_i;i ∈ J} となる。
よって、f(X) は準コンパクトである。
証明終

72 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 08:17:14.95
定義
X と Y を位相空間とし、f:X → Y を写像とする。
X の任意の閉集合 F に対して f(F) が Y の閉集合であるとき f を閉写像と言う。

73 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 08:19:35.03
補題
X と Y を位相空間とし、X は準コンパクト(>>64)で Y はHausdorffであるとする。
f:X → Y を連続写像とする。
このとき f は閉写像(>>72)である。

証明
F を X の任意の閉集合とする。
>>68より F は準コンパクトである。
よって、>>71より f(F) は準コンパクトである。
Y はHausdorffだから>>69より f(F) は Y の閉集合である。
証明終

74 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 08:20:59.85
補題
X を準コンパクト(>>64)な位相空間とし、Y をHausdorff空間とする。
f:X → Y を連続な全単射写像とする。
このとき f は位相同型である。

証明
>>73より f は閉写像(>>72)である。
よって、f の逆写像は連続である。
よって、f は位相同型である。
証明終

75 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 08:38:01.81
定義
G を群とする。
G は G の各元を射とすることにより一個の対象 G を持つ圏と見なされる。
C を圏とする。
関手 F:G → C を G の C における表現と言う。
X = F(G) のとき X は表現 F の表現対象と呼ぶ。
三つ組 (G, F, X) を表現とも言う。

各 σ ∈ G に対して F(σ)F(σ^(-1)) = F(σ^(-1))F(σ) = F(1) = 1 であるから
F(σ) は X の自己同型である。
σ に F(σ) を対応させることにより準同型 G → Aut(X) が得られる。
逆に準同型 f:G → Aut(X) があるとき関手 F:G → C で F(X) = X となり
各 σ ∈ G に対して F(σ) = f(σ) となるものが一意に存在する。
よって、G の C における表現とは
群 G と X ∈ C と準同型 f:G → Aut(X) の三つ組 (G, f, X) と見なせる。
G の C におけるある表現 (G, f, X) があるとき X を C における G-対象とも言う。
このとき f を G-対象 X の標準射と呼ぶ。

このとき、各 σ ∈ G に対して射 f(σ):X → X が定まる。
f(σ) を σ と略記することがある。
即ち σ:X → X は C の射である。

76 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 08:41:19.93
定義
G を群とする。
C を圏とする。
C における G-対象(>>75)全体 Func(G, C)(代数的整数論017の372)は
自然変換を射とすることにより圏となる。
この圏を C^G とも書いた(代数的整数論017の372)。
X と Y を C における G-対象とする。
C における射 g:X → Y が G-対象の射であるとは
任意の σ ∈ G に対して次の図式が可換となることである。
即ち>>75の略記法で σg = gσ となることである。

X → Y
↓  ↓
X → Y

G-対象の射 X → Y を G-射と言う。

77 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 08:47:55.77
定義
G を群とする。
Set を小さい集合(代数的整数論017の321)全体の圏とする。
G の Set における表現 (G, f, X)(>>75)を G の置換表現とも言う。
G の Set における G-対象(>>75)を G-集合とも言う。
X を G-集合とし、f:G → Aut(X) を標準射とする。
σ ∈ G と x ∈ X に対して f(σ)(x) を σx と略記する。

X と Y を G-集合とする。
G-集合の射 g:X → Y とは Set における G-対象としての射(>>76)である。

78 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 11:31:57.26
なんでガロア理論をやらんのw? アホめ

79 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 11:34:36.98
Kummer、低能のくせして猫を攻撃したから、猫が守ってくれなくなったねww

自業自得www

80 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 11:37:13.37
無職の低脳クマ君、勤労は国民の義務です。

81 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 11:45:35.66
>>Kummer
YOU ARE MY TARGET.

82 :猫は口先だけ ◆MuKUnGPXAY :2012/02/04(土) 11:47:29.25
>>79
いいや、私はKummer氏の数学は守ります。誤解の無い様に願います。私の
敵はあくまでもアンタ等みたいな馬鹿と低脳なのでね。




83 :猫は口先だけ ◆MuKUnGPXAY :2012/02/04(土) 11:49:23.25
>>81
To Vakas,

ALL OF YOU STUPIDS ARE MY VERY SERIOUS AND ETERNAL TARGET.

--neko--


84 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 11:56:12.29
>>Kummer
働け!

85 :猫は口先だけ ◆MuKUnGPXAY :2012/02/04(土) 12:00:42.07
>>Vaka-domo,
くたばれ。




86 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 12:04:02.30
>>Kummer
踊れ。

87 :猫は口先だけ ◆MuKUnGPXAY :2012/02/04(土) 12:05:52.71
>>Vaka-domo,
踊らなくて良いので、サッサと消滅シロ。邪魔や。




88 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 12:07:05.82
>>Kummer
Making such a thead without my authorization leads the guess that you are supposed to be a courageous person.
I have no choice but to commend you for your boldness!
This is the reminder that "I'M WATCHING YOU ALL THE TIME".
Do you understand?

89 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 12:31:12.02
>>Kummer
We expect you to dance here.

90 :猫は口先だけ ◆MuKUnGPXAY :2012/02/04(土) 13:02:23.56
>>88
>>89
オマエ等みたいな低脳は必要ナシ。




91 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 13:05:38.75
命題
G を群とする。
X を G-集合(>>77)とする。
このとき、任意の σ、τ ∈ G と任意の x ∈ X に対して以下が成り立つ。

(1)1x = x
(2)σ(τx) = (στ)x

逆に任意の σ ∈ G と任意の x ∈ X に対して σx ∈ X が定義され
上の (1)と (2) が成り立つなら
σ ∈ G のとき x ∈ X に σx ∈ X を対応させる写像を f(σ):X → X とすれば
f(σ) ∈ Aut(X) であり f:G → Aut(X) は準同型である。
よって、X は G-集合である。

証明
自明である。

92 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 13:08:09.07
定義
G を群とする。
X を G-集合(>>77)とする。
x、y ∈ X に対して y = σx となる σ ∈ G があるとき x 〜 y と書く。
これは明らかに同値関係である。
商集合 X/〜 を G-集合 X の軌道空間(orbit space)と呼び、X/G と書く。
X/G の各類を軌道(orbit)と言う。
x ∈ X が属す軌道を x の軌道と言い、Gx と書く。

93 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 13:10:38.56
定義
G を群とする。
X を G-集合(>>77)とする。
x ∈ X のとき H = {σ;σx = x} は G の部分群である。
H を x の安定化部分群(stabilizer subgroup of x)または固定化部分群と言い St(x) と書く。

94 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 13:13:52.11
定義
G を群とする。
X を G-集合(>>77)とする。
Y を X の部分集合とする。
任意の σ ∈ G と任意の y ∈ Y に対して σy ∈ Y とする。
このとき Y を X の G-部分集合(G-subset)と言う。
このとき Y は G-集合であり、包含写像 ι:Y → X は G-射である。

95 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 13:16:11.37
命題
G を群とする。
X を G-集合(>>77)とする。
Y を X の G-部分集合(>>94)とする。
このとき X - Y は X の G-部分集合である。

証明
σ ∈ G、x ∈ X - Y のとき σx ∈ Y なら x = σ^(-1)(σx) ∈ Y となって仮定に反する。
よって、σx ∈ X - Y
よって、X - Y は X の G-部分集合である。
証明終

96 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 13:46:18.22
なんでそんな自明なことを書くん?
おまえには自明にみえないん?

97 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 13:50:56.41
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1321860460/711
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1321860460/716
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1321860460/718
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1321860460/720
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/308
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/309
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/311
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/312
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/324
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/327
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/445
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/449
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/452

http://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1321860460/711
http://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1321860460/716
http://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1321860460/718
http://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1321860460/720
http://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1323751124/308
http://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1323751124/309
http://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1323751124/311
http://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1323751124/312
http://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1323751124/324
http://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1323751124/327
http://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1323751124/445
http://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1323751124/449
http://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1323751124/452


管理人様 クマをアク禁にしてくださいませ

98 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 13:52:11.18
20 名前:Kummer ◆SgHZJkrsn08e[] 投稿日:06/10/18 15:20:25 ID:pWJR67RN
俺はケツ感じるまで2年かかりました
最初はこんなんありえへんってくらい激痛だったけど
今じゃモロ感じまくってます。なので
痛いのを我慢して>>1さんも、回数こなしてみて下さい

その日の体調、相手が自分のタイプか
タチのチンポの形、大きさ、テク、ローションの種類
などでも左右されると思いますが頑張って下さい


22 名前:薔薇と百合の名無しさん[] 投稿日:06/10/18 15:26:29 ID:pWJR67RN
>>20
間違えた。。。名前とトリップは忘れてください


747 名前:132人目の素数さん :2012/01/19(木) 08:49:37.65
クマの前のトリップだね
この件でクマはトリップをかえたんだよねw



99 :猫は口先だけ ◆MuKUnGPXAY :2012/02/04(土) 13:53:11.54
>>96
何が自明で何が自明ではないかはその人に依存する。なのでオマエには
そういう事は無関係や。




100 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 13:59:25.03
クマはホモ

101 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 14:01:10.37
ケツで感じるまでに2年かかったクマw

102 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 14:07:27.66
コテハンスレ、閉鎖的なスレは如何なる場合も禁止です。


103 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 14:13:09.64
445 名前:Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/01/21(土) 13:54:28.61
お願いします
因みに今後の予定:
Galois理論の補足 → 無限次Galois理論 → Neukirchの抽象類体論 → 局所類体論 → 大域類体論

〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜
こいつ何年も経って、いまだにどこやw?
群の作用なんて代数のテキストの最初じゃんw

104 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 14:14:22.97
ケツで感じるまでに2年かかったクマw

だから遅いんじゃねw?

105 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 14:17:38.23
>>98
そんなもんいくらでも加工できるじゃん

20 名前:偽Kummer ◆SgHZJkrsn08e[] 投稿日:06/10/18 15:20:25 ID:pWJR67RN
俺はケツ感じるまで2年かかりました
最初はこんなんありえへんってくらい激痛だったけど

106 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 14:21:07.91
>>103
>群の作用なんて代数のテキストの最初じゃんw

その調子でいつまでついて来れるかw

107 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 14:31:55.71
定義
G を群とする。
X を G-集合(>>77)とする。
軌道空間 X/G(>>92)が一個の類からなるとき X を推移的な G-集合と言う。
即ち、任意の x、y ∈ X に対して y = σx となる σ ∈ G があるとき
X を推移的な G-集合と言う。

108 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 14:40:30.09
命題
G を群とする。
H を G の部分群とする。
G の H による左剰余類全体の集合 G/H とする。
σ ∈ G、τH ∈ G/H のとき σ(τH) = (στ)H により G/H は推移的(>>107)な G-集合となる。

証明
G/H が上記の G の作用で G-集合となることは明らかである。
任意の τ、ρ ∈ G に対して σ = ρτ^(-1) とおく。
σ(τH) = (στ)H = (ρτ^(-1)τ)H = ρH
よって、G/H は推移的である。
証明終

109 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 14:51:42.10
具体的な例をつけてくれるとわかりやすいのですが

110 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 14:54:28.92
Kummerさんは、これは、今なにをやっているところなの?

111 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 14:57:49.12
>>109
例えばどこが分かりにくいですか?

112 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 14:58:55.55
>>82
>私はKummer氏の数学
????????

113 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 15:00:13.01
>>110
GrothendieckのGalois理論の0次元の場合への準備

114 :猫は口先だけ ◆MuKUnGPXAY :2012/02/04(土) 15:00:52.47
Kummer氏は数学の命題をカキコ。でも馬鹿のカキコは中身ナシ。そやし
アホはカナシ。




115 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 15:08:09.43
>>105

悔しいのおw ケツを掘られてw

>>106

いつまで経っても何もはじまらんねえw
バカは知っていることを何度も書くしかねえんだねw

116 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 15:10:33.75
クマはいつまでも「準備」を続けるの?w

117 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 15:12:23.86
そりゃそうだよw
所詮、大学2年の数学を繰り返し書き続けるしか脳がないわけでw

118 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 15:13:28.85
>>116

クンマーは2ちゃん 数学板の壊れたレコードプレイヤーやw
おんなじところをグルグルしておるwW

119 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 15:15:40.99
ケツで感じるまでに2年かかったクマw




120 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 15:16:29.58
命題
G を群とする。
X と Y を G-集合(>>77)とする。
f:X → Y を G-射(>>76)とする。
f が集合間の写像として全単射であれば f は G-射として同型である。

証明
g:Y → X を f の逆写像とする。
σ ∈ G、y ∈ Y とする。
x = g(y) とする。
f(x) = y であるから f(σx) = σf(x) = σy
よって、σx = g(σy)
よって、g(σy) = σx = σg(y)
よって、g:Y → X は G-射である。
fg = 1、gf = 1 であるから f は G-射として同型である。
証明終

121 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 15:18:15.92
命題
G を群とする。
X を推移的(>>107)な G-集合(>>77)とする。
x_0 を X の任意の元とする。
H = St(x_0)(>>93)とする。
このとき σH ∈ G/H に σx_0 を対応させる写像 f:G/H → X は G-集合の同型である。

証明
σ、τ ∈ G、σH = τH とする。
σ = τη となる η ∈ H がある。
η(x_0) = x_0 だから σx_0 = (τη)(x_0) = τ(η_0) = τx_0
よって、写像 f:G/H → X は矛盾なく定義出来る。
σ、τ ∈ G のとき
f(σ(τH)) = f(στH) = (στ)x_0
一方、σf(τH) = σ(τx_0)
よって、f(σ(τH)) = σf(τH)
よって、f は G-射(>>76)である。

>>120より f が全単射であることを証明すれば良い。
f(σH) = f(τH) とする。
σx_0 = τx_0 であるから τ^(-1)σ ∈ H である。
よって、σ ∈ τH である。
よって、σH = τH である。
よって、f は単射である。

G は推移的であるから任意の y ∈ X に対して σx_0 = y となる σ ∈ G がある。
よって、f(σH) = y である。
よって、f は全射である。
証明終

122 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 15:23:44.03
命題
G を群とする。
X を推移的(>>107)な G-集合(>>77)とする。
x_0 を X の任意の元とする。
H = St(x_0)(>>93)とする。
このとき X の濃度 は [G : H](過去スレpart1の492)に等しい。

証明
>>121より明らかである。

123 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 15:32:38.23
命題
G を群とする。
X を G-集合(>>77)とする。
x、y ∈ X、σ ∈ G とし、y = σx とする。
H = St(x)(>>93)とする。
このとき St(y) = σHσ^(-1) である。

証明
τ ∈ St(y) ⇔ τy = y ⇔ τσx = σx ⇔ (σ^(-1)τσ)x = x ⇔ σ^(-1)τσ ∈ H ⇔ τ ∈ σHσ^(-1)
よって、St(y) = σHσ^(-1) である。
証明終

124 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 16:01:20.81
命題
G を群とする。
G-集合の圏 Set^G は積を持つ(代数的整数論018の910)。

証明
I を小さい集合とし、(X_i)、i ∈ I を G-集合の族とする。
X を (X_i)、i ∈ I の直積集合とする。
σ ∈ G、x = (x_i) ∈ X のとき σx = (σx_i) と定義することにより X は G-集合となる。
X が Set^G における (X_i)、i ∈ I の積であることは容易に確かめられる。
証明終

125 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 16:11:43.62
命題
G を群とする。
Set を小さい集合(代数的整数論017の321)全体の圏とする。
G-集合の圏 Set^G(>>76)は差核を持つ(代数的整数論019の161)。

証明
f:X → Y と g:X → Y を Set^G における射とする。
Z = {x ∈ X;f(x) = g(x)} とおく。
σ ∈ G、x ∈ Z のとき σf(x) = σg(x)
よって、f(σx) = g(σx)
よって、σx ∈ Z
よって、Z は G-集合である。
Z が Set^G における f と g の差核(代数的整数論017の772)であることは容易に分かる。
証明終

126 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 16:16:02.15
命題
G を群とする。
Set を小さい集合(代数的整数論017の321)全体の圏とする。
G-集合の圏 Set^G(>>76)は完備(代数的整数論017の828)である。

証明
>>124>>125より Set^G は積と差核を持つ。
よって、代数的整数論019の183より Set^G は完備である。
証明終

127 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 16:24:26.90
定義
G を群とする。
Set を小さい集合(代数的整数論017の321)全体の圏とする。
Set^G(>>76)を G-集合(>>77)の圏とする。
X ∈ Set^G に集合 X ∈ Set を対応させ
Set^G の射 f:X → Y に Set における射、即ち集合間の写像 f:X → Y を対応させることにより
関手 F:Set^G → Set が得られる。
F を Set^G 上の忘却関手と言う。

128 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 16:36:43.00
命題
G を群とする。
Set を小さい集合(代数的整数論017の321)全体の圏とする。
Set^G(>>76)を G-集合(>>77)の圏とする。
忘却関手(>>127)F:Set^G → Set は小さい極限を保存する(代数的整数論019の259)。

証明
>>124より F は積を保存(代数的整数論019の258)する。
>>125より F は差核を保存(代数的整数論019の257)する。
よって、代数的整数論019の275より F は小さい極限を保存するする。
証明終

129 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 16:41:05.54
命題
G を群とする。
G-集合の圏 Set^G は余積を持つ(代数的整数論019の50)。

証明
I を小さい集合とし、(X_i)、i ∈ I を G-集合の族とする。
X を (X_i)、i ∈ I の直和集合とする。
各 X_i は X の部分集合と見なせる。
σ ∈ G、x ∈ X のとき x ∈ X_i となる i ∈ I が一意に存在する。
X における σx を X_i における σx と定義することにより X は G-集合となる。
X が Set^G における (X_i)、i ∈ I の余積であることは容易に確かめられる。
証明終

130 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 16:49:08.90
命題
G を群とする。
X を G-集合(>>77)とする。
X は推移的(>>107)な G-集合の余積(代数的整数論017の837)である。

証明
軌道空間 X/G(>>92)の各類は推移的な G-集合であることと
>>129からから明らかである。

131 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 16:56:11.29
>>75
>G の C におけるある表現 (G, f, X) があるとき X を C における G-対象とも言う。
>このとき f を G-対象 X の標準射と呼ぶ。

f を G-対象 X の構造射とも呼ぶ。

132 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 16:58:41.19
命題
G を群とする。
C を圏とする。
X を C における G-対象(>>75)とする。
f:G → Aut(C) を X の構造射(>>131)とする。
Y を C の任意の対象とする。
σ ∈ G と g ∈ Hom(Y, X) に対して σg = f(σ)g ∈ Hom(Y, X) と定義することにより
Hom(Y, X) は G-集合(>>77)となる。
h:Y → Y’を C における射とする。
このとき写像 Hom(h、X):Hom(Y’, X) → Hom(Y, X) は G-集合の射である。
ここで Hom(h、X) は g ∈ Hom(Y’, X) に gh ∈ Hom(Y, X) を対応させる写像である。

証明
Hom(Y, X) が G-集合となることは自明である。

ψ = Hom(h、X) とおく。
σ ∈ G、g ∈ Hom(Y’, X) に対して
ψ(σg) = (σg)h = (f(σ)g)h = f(σ)(gh) = f(σ)ψ(g) = σψ(g)
よって、ψ は G-集合の射である。
証明終

133 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 17:07:23.78
>>132のある意味の逆が成り立つ。

命題
G を群とする。
C を圏とする。
X ∈ C とする。
Hom(X, X) は G-集合(>>77)であるとする。
f:X → X を C の任意の射としたとき
Hom(f, X):Hom(X, X) → Hom(X, X) は G-射(>>76)であるとする。
このとき各 σ ∈ G に対して σ(1_X) ∈ Aut(X) であり
σ に σ(1_X) を対応させることにより準同型 G → Aut(X) が得られる。
即ち X は G-対象となる。

証明
σ ∈ G、f、g ∈ Hom(X, X) とする。
ψ = Hom(f, X) とおく。
ψ:Hom(X, X) → Hom(X, X) は G-射であるから
ψ(σg) = σψ(g)
即ち (σg)f = σ(gf) である。

σ ∈ G のとき σ(1_X) ∈ Hom(X, X) を F(σ) と書く。
F(1) = 1_X である。
σ、τ ∈ G とする。
g = 1_X、f = τ(1_X) とおく。
上記より (σg)f = σ(gf)
即ち σ(1_X)τ(1_X) = σ((1_X)τ(1_X))
一方、この右辺 = σ(τ(1_X)) = (στ)1_X
よって、σ(1_X)τ(1_X) = (στ)1_X
即ち F(σ)F(τ) = F(στ)

よって、準同型 F: G → Aut(X) が得られる。
証明終

134 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 17:11:22.57
定義
G を位相群とする。
X を位相空間とする。
G を単なる群、X を集合と見て X は G-集合(>>77)であるとする。
(σ, x) ∈ G×X に σx ∈ X を対応させる写像が連続であるとする。
このとき G は X に連続に作用すると言う。
X を G-空間と呼ぶ。

135 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 17:41:44.95
命題
G を位相群とする。
G は位相空間 X に連続に作用するとする(>>134)。
このとき、任意の σ ∈ G に対して x ∈ X に σx ∈ X を対応させる写像 h_σ:X → X は
位相同型である。

証明
(σ, x) ∈ G×X に σx ∈ X を対応させる写像を f:G×X → X とする。
x ∈ X に (σ, x) ∈ G×X を対応させる写像を g_σ:X → G×X とする。
h_σ = fg_σ である。
f と g_σ は連続であるから h_σ は連続である。
h_σ^(-1) は h_σ の逆写像であり連続である。
よって、h_σ は位相同型である。
証明終

136 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 17:59:08.61
定義
X と Y を位相空間とし、f:X → Y を写像とする。
X の任意の開集合 U に対して f(U) が Y の開集合であるとき f を開写像と言う。

137 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 18:00:10.98
定義
X を位相空間とする。
R を X における同値関係とする。
X/R を R による商空間とする。
π:X → X/R を標準写像とする。
π が開写像(>>136)のとき R を開同値関係と言う。

138 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 18:01:51.63
定義
G を位相群とする。
G は位相空間 X に連続に作用するとする(>>134)。
R を X における同値関係とする。
任意の σ ∈ G に対して x ≡ y (mod R) のとき常に σx ≡ σy (mod R) となるとき
R は G の作用と両立するという。

139 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 19:21:28.16
補題
X と Y を位相空間とし、f:X → Y を写像とする。
Σ を X の開集合の基底とする。
即ち Σ は X の開集合からなる集合で X の任意の開集合は Σ に属す開集合の和集合となるとする。
任意の W ∈ Σ に対して f(W) は Y の開集合であるとする。
このとき f は開写像(>>136)である。

証明
U を X の任意の開集合とする。
f(U) が Y の開集合であることを示せば良い。
y ∈ f(U) とする。
y = f(x) となる x ∈ U がある。
よって、x ∈ W ⊂ U となる W ∈ Σ がある。
y = f(x) ∈ f(W) ⊂ f(U) である。
仮定より f(W) は Y の開集合である。
よって、f(U) は Y の開集合である。
証明終

140 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 19:34:41.82
>>Kummer
謝罪しろ

141 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 19:35:09.38
補題
X_i、i = 1、2
Y_i、i = 1、2
を位相空間とする。
f_i:X_i → Y_i、i = 1、2 を開写像とする。
このとき (x_1, x_2) ∈ (X_1)×(X_2) に (f_1(x_1), f_2(x_2)) ∈ (Y_1)×(Y_2) を対応させる写像
(f_1)×(f_2):(X_1)×(X_2) → (Y_1)×(Y_2) は開写像である。

証明
f = (f_1)×(f_2) とおく。
U_i を X_i (i = 1、2)の開集合としたとき、
(U_1)×(U_2) の形の集合全体は (X_1)×(X_2) の開集合の基底である。
仮定より f_i(U_i) は Y_i (i = 1、2)の開集合である。
よって、f((U_1)×(U_2)) = f_1(U_1)×f_2(U_2) は (Y_1)×(Y_2) の開集合である。
よって、>>139より f は開写像である。
証明終

142 :猫は口先だけ ◆MuKUnGPXAY :2012/02/04(土) 19:46:10.39
>>140
オマエ、叩くゾ。




143 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 20:03:08.91
>>Kummer
なぜ謝罪しない、なぜ賠償しない、なぜ舞踏しない

144 :猫は口先だけ ◆MuKUnGPXAY :2012/02/04(土) 20:05:49.66
>>143
ソレは必要が無いからや。悪いのはオマエ等やさかいや。文句があったら
ワシがオマエ等を相手に徹底的に戦うさかいナ。




145 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 20:10:22.07
>>Kummer
今後も徹底監視や。

146 :猫は口先だけ ◆MuKUnGPXAY :2012/02/04(土) 20:11:40.46
>>145
アホが幾ら監視しても無駄や。この低能め。




147 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 20:12:14.23
>>Kummer
オラァ、監視中や!

148 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 20:37:03.21
命題
G を位相群とする。
G は位相空間 X に連続に作用するとする(>>134)。
R を X における同値関係で G の作用と両立する(>>138)とする。
π:X → X/R を標準写像とする。
このとき σ ∈ G、x ∈ X のとき σπ(x) = π(σx) と定義することにより G は X/R に作用する。
R が開同値関係(>>137)ならこの作用は連続である。

証明
f:G×X → X を f(σ, x) = σx で定義される写像とする。
G は X に連続に作用するから f は連続である。
g:G×(X/R) → X/R を g(σ, π(x)) = π(σx) で定義される写像とする。
g が連続であることを証明すれば良い。

h:G×X → G×(X/R) を h(σ, x) = (σ, π(x)) で定義される写像とする。
(σ, x) ∈ G×X のとき
πf(σ, x) = π(σx)
gh(σ, x) = π(σx)
よって、πf = gh である。
即ち次の図式は可換である。

G×X   → X
 ↓     ↓
G×(X/R) → X/R

U を X/R の任意の開集合とする。
πf は連続だから (πf)^(-1)(U) = f^(-1)(π^(-1)(U)) は G×X の開集合である。
πf = gh だから V = h^(-1)(g^(-1)(U)) は G×X の開集合である。
>>141より h は開写像であるから h(V) は G×(X/R) の開集合である。
h は全射だから h(V) = g^(-1)(U) である。
よって、g は連続である。
証明終

149 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 20:38:59.12
>>Kummer
へぇ〜

150 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 20:46:10.64
命題
G を位相群とする。
G は位相空間 X に連続に作用するとする(>>134)。
このとき標準写像 π:X → X/G(>>92)は開写像である。

証明
U を X の開集合とする。
π^(-1)(π(U)) = ∪{σU;σ ∈ U} である。
>>135より、各 σU は開集合だから π^(-1)(π(U)) は開集合である。
よって、π(U) は開集合である。
証明終

151 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 20:48:52.66
>>Kummer
hmm,FUCK YOU

152 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 20:53:51.09
命題
G を位相群とする。
H を G の部分群とする。
G の H による左剰余類全体の集合 G/H とする。
このとき標準写像 π:G → G/Hは開写像である。

証明
H は位相群として G に右から連続に作用する。
このとき G/H は H-集合 G の軌道空間(>>92)である。
よって、>>150より π:G → G/Hは開写像である。
証明終

153 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/04(土) 20:57:32.84
命題
G を位相群とする。
H を G の部分群とする。
G の H による左剰余類全体の集合 G/H とする。
このとき G は G/H に連続に作用する(>>134)。

証明
>>152より標準写像 π:G → G/Hは開写像である。
よって、>>148より G は G/H に連続に作用する。
証明終

154 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 20:58:25.40
>>Kummer
俺、自信があるんだ。






君だけは許さない自信をね。

155 :猫は口先だけ ◆MuKUnGPXAY :2012/02/04(土) 21:25:17.93
>>154
ワシかて自信がアルのや。馬鹿だけは許さへんっちゅう自信なんやナ。




156 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 21:28:42.53
クマーはいつまでも準備ばかりやな
もっと先が出来ないの?
というか、コピペする本をもっとまともな本にしたらどう?

157 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 21:31:00.75
バカは知っていることを何度も書くしかねえんだねw


158 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 21:40:12.31
すごい

159 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 22:53:48.55
>>Kummer
この野郎!

160 :ワシの食事は猫飯 ◆MuKUnGPXAY :2012/02/04(土) 22:55:21.89
>>159
馬鹿が騒いでも無駄や。アホは静かにせえやナ。




161 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 23:02:12.97
ちょっと尋ねたいけど、馬鹿=アホ?

162 :猫の活け造り ◆MuKUnGPXAY :2012/02/04(土) 23:19:06.20
>>161
必ずしも同じではない。だが、どちらも激しい蔑みの言葉。Kummerを叩く
者はワシが許さへんのや。




163 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 23:21:54.14
言っておくが、俺はKummerの数学は叩いていない。Kummer自身を叩いているんだ。
誤解なきよう。

164 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 23:23:34.92
なるほど、
よくある関西流の馬鹿<<(セーフの壁)<<アホ、というニュアンスはないことね、了解

165 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 23:28:34.54
>>Kummer
おいおい、今日はもうシマいかいな。それでエエのかァ!

166 :猫の活け造り ◆MuKUnGPXAY :2012/02/04(土) 23:45:43.81
>>163
ワシは『「Kummerを叩く者」を叩く』という主張や。つまり「オマエは
Kummerを叩く者」やから、従って『ワシがオマエを叩く』っちゅう結論
が得られるのや。




167 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 23:49:38.84
俺は[『kummerを叩く者』を叩く]者を叩くから、俺はお前の敵のようだな。

したがって、ここにジハードを宣告する。以後、注意深く書き込みをするように。

168 :あんでぃ ◆AfX9iez2fA :2012/02/04(土) 23:49:44.56
あんでぃ

169 :猫は増量中也 ◆MuKUnfKUP6 :2012/02/04(土) 23:50:57.89
>>Kummer
オラァ、とっととクズみたいな数学を披露しろやナ。ワシが読んだるがな。




170 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 23:54:45.35
おお!すげえ!
ハッとしたぜ

171 :猫の活け造り ◆MuKUnGPXAY :2012/02/05(日) 00:08:45.27
確かに結構凄いですナ。




172 :猫の活け造り ◆MuKUnfKUP6 :2012/02/05(日) 00:13:33.37
>>Kummer
アンタ、謝罪と賠償がまだ済んでへんのやろ。
さっさと済ましたほうが互いのタメになるやろうが。ちゃうかァ!




173 :猫は自由 ◆MuKUnGPXAY :2012/02/05(日) 00:47:02.53
そのうち対策を考えないとアキマセンな。流石ですナ。




174 :132人目の素数さん:2012/02/05(日) 00:50:54.77
GPXAYがかこいいから、対策を練るまでもないでしょう。

175 :132人目の素数さん:2012/02/05(日) 00:52:34.97
にせもの?

176 :132人目の素数さん:2012/02/05(日) 00:54:08.72
贋作を見抜くのも修行のうち

177 :132人目の素数さん:2012/02/05(日) 00:54:12.55
おいクマー

猫にまでばかにされておるぞw

178 :猫は自由 ◆MuKUnfKUP6 :2012/02/05(日) 00:56:00.82
>>175
偽物であるかそうではないかの解釈は貴方に任せます。
私にとって『発言の連続性があれば、それは他人であっても構わない』と
考えていますので、したがって貴方の解釈に依存することになります。

179 :猫は訂正 ◆MuKUnfKUP6 :2012/02/05(日) 00:56:36.92
>>175
偽物であるかそうではないかの解釈は貴方に任せます。
私にとって『発言の連続性があれば、それは他人であっても構わない』と
考えていますので、したがって貴方の解釈に依存することになります。




180 :132人目の素数さん:2012/02/05(日) 00:56:40.03
それじゃあ、トリップの明らかにしろよ
おれが猫になってやるさかい

181 :132人目の素数さん:2012/02/05(日) 00:58:51.42
酉変えれば?
判りかりづらくて庄内

182 :猫は自由 ◆MuKUnfKUP6 :2012/02/05(日) 00:58:55.12
何を言っても無駄や。ワシはオマエ等みたいな馬鹿を徹底して打ち据える
事にしか関心がアラヘンさかいナ。今後も幾らでも痛め付けたるさかいナ。




183 :132人目の素数さん:2012/02/05(日) 01:05:54.07
>>Kummer
唯一の友達の猫にも叩かれてるやんw

惨めやのうw

184 :猫は自由 ◆MuKUnfKUP6 :2012/02/05(日) 01:09:45.97
どうしても法的に有効な証拠にしたければ2ちゃんの運営とISPの両者
が司法判断の下に情報開示を求められんとアカンやろ。そやけどや、そ
ういう状況にナルには何らかの事件性が無いとどうにもナラヘンやろ。
そやから「事実上はアアや、コウや」と言うても無駄やね。

まあ頑張ってミロや。ワシは見たるさかいナ。




185 :猫は自由 ◆MuKUnGPXAY :2012/02/05(日) 01:41:04.23
>>175
何が本物で何が偽者かは重要ではない。人間の目に見えるモノなんて所詮
は幻想でしかないので。




186 :132人目の素数さん:2012/02/05(日) 02:05:15.70
MuKUnQvcZQ : #_XE7~」H|


一つだけやる。好きに使ってええで

187 : ◆MuKUnQvcZQ :2012/02/05(日) 02:07:16.27
てすと

188 :? **論研究報告:2012/02/05(日) 02:37:00.12
我路輪はわしに似てると学友が言った。そうだろう。わしはもう
高校の一年の時からすでに宇宙の万有方程式を導いた。
小学校の5〜6年の時振り子の等時性と落下は重さによらないことを
思考実験で証明した。また光と光のの衝突について考察した。中学の時は
質量に引力がある事に気が付いた。ピタゴラスの定理知らないでその公式
導いた。(実際は計算間違いしたがその導き方は正しかった。比例で解いた)
高校では数学的帰納法を考え付いた。

さてわしのような輝かしい実績を持つ者は周りと合わず迫害される。
チミたちの実績は東京大学合格かな。だがな英語の入試問題、本場
アメリカ人も解けないというよ。わしも同じさ。本場学問のわたくし
には難しすぎま〜す。
そんな難しい入試突破しても実用にはならんとか。ちょっと考えたら
どうなんだよ。左脳さん。

ガロアはわしと同じ天才さ。20歳で殺されたんだな。綺麗なね〜ちゃん
の美人局に。ガロアがわし位生きていたら、今の数学は多分何百年も先を行っていただろう。
そうなっていたら、それがどんなに人類の発展に寄与したか。
たかがつまらん奴らにはめられて人類はとんでもない損失を被ったのだ。
そして今同じことがこのわしに・・・・・・・・。




189 :132人目の素数さん:2012/02/05(日) 02:43:55.64
クマのエログロの方がいいな

190 :? **論研究報告:2012/02/05(日) 03:08:08.76
さすが数学科よく分かってる。



523 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 07:11:35.01
研究所の検証者と研究所の研究者は越えられない壁があり
前者をもって研究といっている勘違いな君が新しい概念を発見するのではなく
他人が発見した何かを応用するための根底を検証し「残りカス」、すなわち
こぼれた残飯をあさっているだけのクズである。

その検証をするには高いIQ的な処理能力が必要であるが、未知の研究を
するにはこの世の論理を否定するほどの直感が必要があるわけ。
新しい概念想像でもっとも重要なのは観じること才能である。
戦術的な論理勝負で勝ち負けを決めているお前らにそんなものはない。




191 :132人目の素数さん:2012/02/05(日) 03:58:18.53
ふ〜〜ん

192 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/05(日) 05:51:25.43
定義
R を集合 X 上の同値関係とする。
X×X の部分集合 G = {(x, y) ∈ X×X; x ≡ y (mod R)} を R のグラフと言う。

193 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/05(日) 06:04:38.09
補題
X を位相空間とする。
R を X 上の同値関係とする。
G = {(x, y) ∈ X×X; x ≡ y (mod R)} を R のグラフ(>>192)とする。
π:X → X/R を標準写像とする。
G が X×X の閉集合であり π が開写像(>>136)であるとする。
このとき X/R はHausdorffである。

証明
x、y ∈ X、π(x) ≠ π(y) とする。
(x, y) ∈ X×X - G であり G は X×X の閉集合であるから
x ∈ U、y ∈ V、U×V ⊂ X×X - G となる X の開集合 U、V がある。
π(x) ∈ π(U)、π(y) ∈ π(U)
π(U) ∩ π(V) = φ である。
π は開写像であるから π(U) と π(V) は X/R の開集合である。
よって、X/R はHausdorffである。
証明終

194 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/05(日) 06:17:39.12
命題
G を位相群とする。
H を G の閉部分群とする。
G の H による左剰余類全体の集合 G/H とする。
このとき G/H はHausdorffである。

証明
π:G → G/H を標準写像とする。
>>152より π は開写像である。
よって、>>193より G 上の関係 x ≡ y (mod H) のグラフ(>>192)Γ が
G×G の閉集合であることを示せばよい。
(x, y) ∈ G×G に y^(-1)x ∈ G を対応させる写像を f:G×G → G とする。
x ≡ y (mod H) ⇔ xH = yH ⇔ y^(-1)x ∈ H ⇔ f(x, y) ∈ H
よって、Γ = f^(-1)(H) である。
f は連続であるから Γ は G×G の閉集合である。
証明終

195 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/05(日) 07:32:02.74
定義
G を位相群とする。
X を空でない位相空間とし、G は位相空間 X に連続に作用するとする(>>134)。
さらに G の作用は推移的(>>107)であるとする。
x を G の任意の点とする。
H_x = St(x)(>>93)とする。
σH ∈ G/H_x に σx ∈ X を対応させることにより全単射 g_x:G/H_x → X が得られる。
X の各点 x で g_x が位相同型であるとき X を G 上の等質空間(homogeneous space)と言う。

196 :猫は要求 ◆MuKUnfKUP6 :2012/02/05(日) 07:38:18.31
>>Kummer
ワシはアンタだけは許さへんのや。そやし徹底して焼き払うのや。




197 :猫はしつこい ◆MuKUnfKUP6 :2012/02/05(日) 07:46:07.44
>>Kummer
コラァ、でてこい!ナメとったらエラいことになることぐらい
いくら低能のドアホにも分かるわなァ。




198 :猫はロンゲの池麺 ◆MuKUnGPXAY :2012/02/05(日) 08:00:30.24
猫はナメても大丈夫や。そやし安心せい。

ケケケ猫


199 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/05(日) 08:45:59.64
命題
G を位相群とする。
X を空でない位相空間とし、G は位相空間 X に連続に作用する(>>134)とする。
さらに G の作用は推移的(>>107)であるとする。
このとき、X が G 上の等質空間(>>195)であるためには X の任意の点 x に対して
σ ∈ G に σx を対応させる写像 f_x:G → X が開写像(>>136)であることが必要十分である。

証明
x を G の任意の点とする。
H_x = St(x)(>>93)とする。
σH ∈ G/H_x に σx ∈ X を対応させる写像を g_x:G/H_x → X とする。
G は X に推移的に作用するから g_x は全単射である。
π_x:G → G/H_x を標準写像とする。
f_x = g_xπ_x である。
f_x は連続であるから g_x は連続である。
よって、g_x が位相同型であるためには g_x が開写像であることが必要十分である。

>>152より π_x は開写像であるから g_x が開写像なら f_x も開写像である。

逆に f_x が開写像であるとする。
U を G/H_x の開集合とする。
V = (π_x)^(-1)(U) とする。
π_x は全射だから π_x(V) = U である。
よって、f_x(V) = g_xπ_x(V) = g_x(U) は X の開集合である。
よって、g_x は開写像である。
証明終

200 :132人目の素数さん:2012/02/05(日) 08:54:03.53
俺を長年w叩いている奴、俺にとって叩かれる利点があることに気づいてるか?
それは俺に対して何を批判しても説得力がなくなるということ
稀に正等かつ辛らつな批判があってもなw

201 :132人目の素数さん:2012/02/05(日) 08:55:22.07
正当

202 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/05(日) 09:19:45.32
命題
G を位相群とする。
X を空でない位相空間とし、G は位相空間 X に連続に作用する(>>134)とする。
さらに G の作用は推移的(>>107)であるとする。
このとき、X が G 上の等質空間(>>195)であるためには X のある点 x_0 に対して
σ ∈ G に σx_0 を対応させる写像 f_0:G → X が開写像(>>136)であることが必要十分である。

証明
必要性:>>199で証明されている。

十分性:
X のある点 x_0 に対して f_0:G → X が開写像であるとする。
>>199より X の任意の点 x に対して
σ ∈ G に σx を対応させる写像 f_x:G → X が開写像(>>136)であることを示せば良い。
G の作用は推移的であるから σx_0 = x となる σ ∈ G がある。
G の任意の開集合 U に対して Uσ は G の開集合である。
よって、f_0(Uσ) は X の開集合である。
一方、f_x(U) = Ux = U(σx_0) = (Uσ)x_0 = f_0(Uσ)
よって、f_x は開写像である。
証明終

203 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/05(日) 09:40:07.74
命題
G を位相群とする。
X を空でない位相空間とし、G は位相空間 X に連続に作用する(>>134)とする。
さらに G の作用は推移的(>>107)であるとする。
このとき、X が G 上の等質空間(>>195)であるためには X のある点 x_0 があり、
G の単位元 e の任意の開近傍 V に対して Vx_0 が X の開集合であることが必要十分である。

証明
必要性:>>199で証明されている。

十分性:
>>202より G の任意の開集合 U に対して Ux_0 が X の開集合であることを証明すれば良い。
σ ∈ U なら σ^(-1)U は e を含む開集合である。
仮定から σ^(-1)Ux_0 は X の開集合である。
よって、>>135より σ(σ^(-1)Ux_0) = Ux_0 は X の開集合である。
証明終

204 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/05(日) 09:55:18.58
命題
G を位相群とする。
H を G の閉部分群とする。
G の H による左剰余類全体の集合 G/H とする。
このとき G/H は G 上の等質空間(>>195)である。

証明
G は G/H に推移的(>>107)に作用する。
>>153より G は G/H に連続に作用する(>>134)。
π:G → G/H を標準写像とする。
>>152より標準写像 π:G → G/H は開写像である。
よって、e を G の単位元とすると、
G の任意の開集合 U に対して Uπ(e) = π(U) は開集合である。
よって、>>202より G/H は G 上の等質空間である。
証明終

205 :132人目の素数さん:2012/02/05(日) 09:55:24.67
間違いがおおいね
訂正しろよ

206 :132人目の素数さん:2012/02/05(日) 09:58:13.61
>>200

207 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/05(日) 10:22:30.62
命題
G を位相群とする。
N を G の正規部分群とする。
このとき G/N は商位相に関して位相群となる。

証明
g:(G/N)×(G/N) → (G/N) を g(π(x), π(y)) = π(x)π(y)^(-1) で定義する。
g が連続なことを証明すれば良い。
π:G → G/N を標準写像とする。
写像 f:G×G → G を f(x, y) = xy^(-1) で定義する。
写像 h:G×G → (G/N)×(G/N) を h(x, y) = (π(x), π(y)) で定義する。
πf(x, y) = π(xy^(-1)) = π(x)π(y)^(-1) = g(π(x), π(y)) = gh(x, y)
よって、πf = gh
よって、次の可換図式が得られる。

 G×G   →  G
 ↓       ↓
(G/N)×(G/N) → (G/N)

>>152より π は開写像である。
よって、>>141より h は開写像である。
U を G/N の任意の開集合とする。
πf = gh より
(πf)^(-1)(U) = = (gh)^(-1)(U) = h^(-1)(g^(-1)(U))
f と π は連続だから πf は連続である。
よって、h^(-1)(g^(-1)(U)) は G×G の開集合である。
V = g^(-1)(U) とする。
V が (G/N)×(G/N) の開集合であることを示せば良い。
h^(-1)(V) は G×G の開集合である。
h は全射だから V = h(h^(-1)(V)) である。
一方、h は開写像だから V は開集合である。
証明終

208 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/05(日) 11:32:26.50
命題
G と H を位相群とする。
f:G → H を群としての準同型とする。
f が連続なためには f が G の単位元 e で連続なことがことが必要十分である。

証明
必要なことは明らかである。

f が G の単位元 e で連続であるとする。
x を G の任意の元とする。
f が x で連続であることを示せばよい。
U を f(x) の任意の近傍とする。
f(x)^(-1)U は H の単位元の近傍である。
よって e の近傍 V があり f(V) ⊂ f(x)^(-1)U となる。
このとき f(xV) = f(x)f(V) ⊂ U
xV は x の近傍であるから f は x で連続である。
証明終

209 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/05(日) 11:34:52.86
命題
G と H を位相群とする。
f:G → H を連続な準同型とする。
N を f の核とする。
f は群としての準同型 g:G/N → H を引き起こす。
このとき g は連続である。

証明
π:G → G/N を標準写像とする。
f = gπ である。
U を H の開集合とする。
f は連続であるから f^(-1)(U) = π^(-1)(g^(-1)(U)) は G の開集合である。
よって、g^(-1)(U)は G/N の開集合である。
よって、g は連続である。
証明終

210 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/05(日) 11:46:07.31
命題
G と H を位相群とする。
G は準コンパクト(>>64)で H はHausdorffであるとする。
f:G → H を連続な全射準同型とする。
N を f の核とする。
f は群としての同型 g:G/N → H を引き起こす。
このとき g は位相群の同型である。

証明
>>71より G/N は準コンパクトである。
>>209より g は連続である。
g は全単射であるから>>74より g は位相同型である。
証明終

211 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/05(日) 11:56:30.03
命題
G を位相群とする。
e を G の単位元とする。
G の位相が離散(>>60)であるためには {e} が G の開集合であることが必要十分である。

証明
必要性:
自明である。

十分性:
{e} が G の開集合であるとする。
G の任意の元 x に対して {x} が開集合であることを示せば良い。
>>135より y ∈ G に xy ∈ G を対応させる写像 h_x:G → G は位相同型である。
{x} = h_x({e}) であるから {x} は開集合である。
証明終

212 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/05(日) 12:16:51.52
命題
G を位相群とする。
H を G の部分群とする。
G/H = {σH; σ ∈ G} を H を法とする左剰余類の集合とする。
G/H の位相が離散であるためには H が G の開集合であることが必要十分である。

証明
必要性:
G/H の位相が離散であるとする。
e を G の単位元とする。
π:G → G/H を標準写像とする。
{π(e)} は G/H の開集合である。
π は連続だから H = π^(-1)(π(e)) は G の開集合である。

十分性:
H が G の開集合であるとする。
任意の x ∈ G に対して {π(x)} が G の開集合であることを示せばよい。
>>152より π は開写像であるから π(H) = {π(e)} は G の開集合である。
>>153より G は G/H に連続に作用する。
よって、>>135より yH ∈ G/H に xyH ∈ G/H を対応させる写像 h_x は位相同型である。
h_x(π(e)) = xπ(e) = π(x) であるから {π(x)} は G の開集合である。
証明終

213 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/05(日) 12:25:05.51
命題
G を準コンパクト(>>64)な位相群とする。
H を G の開部分群とする。
このとき [G : H] (過去スレpart1の492) は有限である。

証明
>>71より G/H は準コンパクトである。
>>212より G/H は離散である。
よって、>>67より G/H は有限集合である。
証明終

214 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/05(日) 12:30:29.31
命題
G を位相群とする。
H を G の閉部分群とする。
[G : H] (過去スレpart1の492) が有限なら H は G の開部分群である。

証明
G - H は有限個の σH、σ ∈ G の形の部分集合の合併である。
>>135より x ∈ G に σx ∈ G を対応させる写像 h_σ:G → G は位相同型である。
H は G の閉部分群だから各 h_σ(H) = σH は閉集合である。
よって、G - H は閉集合である。
よって、H は G の開部分群である。
証明終

215 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/05(日) 12:35:22.92
定義
K を可換体とする。
L/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
L の有限部分集合 S があり L = K(S)(過去スレpart4の539)となるとき L は K 上有限生成である、
または L/K は有限生成であると言う。

216 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/05(日) 12:39:45.10
定義
K を可換体とする。
L/K を任意の拡大(過去スレpart4の512)とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
L から L への集合としての写像全体からなる集合を L^L と書く。
L^L は L を添字集合とする直積集合とみなせる。
L に離散位相(>>60)を入れ、L^L に直積位相を入れる。
G に L^L の部分空間としての位相を入れる。
この位相を G の標準位相と呼ぶ。

x_1、...、x_n を L の元とする。G の元 σ に対して
U(σ;x_1、...、x_n) = {τ ∈ G;σ(x_1) = τ(x_1)、...、σ(x_n) = τ(x_n)} とおく。
容易にわかるように U(σ; x_1, ... , x_n) は σ の開近傍であり、
x_1、...、x_n を変化させると σ の基本開近傍系が得られる。

L/K の中間体(過去スレpart4の854)E で E/K が有限生成(>>215)となるもの全体を Λ とする。
G の元 σ と E ∈ Λ と に対して U(σ;E) = {τ ∈ G;τ|E = σ|E} とおく。
E = K(x_1、...、x_n) のとき U(σ;E) = U(σ; x_1, ... , x_n) である。
よって、(U(σ;E))、E ∈ Λ は σ の基本開近傍系である。
H = Aut(L/E) とすると容易にわかるように U(σ;E) = σH である。

217 :あんでぃはショートの小田和正 ◆AfX9iez2fA :2012/02/05(日) 13:04:55.98
あんでぃ

218 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/05(日) 13:44:41.85
定義(代数的整数論006の77)
X を集合とする。
X の部分集合からなる集合 Ψ が以下の条件を満たすとき
Ψ を X のフィルター基底と言う。

1) Ψ は空ではない。
2) Ψ には空集合は含まれない。
3) A ∈ Ψ, B ∈ Ψ なら C ⊂ A ∩ B となる C ∈ Ψ がある。

219 :132人目の素数さん:2012/02/05(日) 15:39:29.31
やさしいことを、記号をふんだんに定義して
むつかしく見せるアホw

220 :132人目の素数さん:2012/02/05(日) 15:40:58.97
あれ? 連続群論からのコピペは何年も前にやったんじゃないの?

221 :132人目の素数さん:2012/02/05(日) 16:10:49.93
誰の連続群論?
ポントリャーギンのだったら参考にしたのはほんの僅か

222 :132人目の素数さん:2012/02/05(日) 16:12:44.70
>>219
>むつかしく見せるアホw

別に難しくないだろw

223 :132人目の素数さん:2012/02/05(日) 16:16:49.24
数学における命題の証明とはその命題が自明な事柄の積み重ねから得られることを示すことである。
塵も積もれば山となる。
だから俺はその塵を積み重ねているわけ。

224 :132人目の素数さん:2012/02/05(日) 16:27:12.69
だから俺のスレを理解するには初歩的な知識と
簡単なことをおろそかにしない根気だけあればよい。
この根気が一番大事

225 :132人目の素数さん:2012/02/05(日) 17:15:38.67
おまえのスレを理解する必要はないw 無力の低脳クン

数学者に対するコンプレックスが強いねえw おまえw

226 :132人目の素数さん:2012/02/05(日) 17:16:21.94
無力は無職ねw 

227 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/05(日) 22:07:52.00
命題
X を集合とする。
X の各点 x に対して X の部分集合からなる集合 Ψ(x) があり以下の条件を満たすとする。

(1)Ψ(x) はフィルター基底(>>218)である。
(2)U ∈ Ψ(x) のとき x ∈ U
(3)U ∈ Ψ(x) のとき任意の y ∈ U に対して V ⊂ U となる V ∈ Ψ(y) がある。

このとき X の位相で X の各点 x に対して Ψ(x) が基本開近傍系となるようなものが一意に存在する。

証明
X の部分集合の集合 Σ を次の条件(*)で定める。
(*)U ∈ Σ ⇔ 各 x ∈ U に対して V ⊂ U となる V ∈ Ψ(x) がある。

Σ が位相を定めることは(1)を使って容易に分かる。

X の各点 x に対して Ψ(x) の各元 V は(2)と(3)より x の開近傍である。
逆に x ∈ U となる開集合 U があるとき(*)より V ⊂ U となる V ∈ Ψ(x) があるから
Ψ(x) は x の基本開近傍系である。

X の各点 x に対して Ψ(x) が基本開近傍系となるような位相の一意性は条件(*)から明らかである。
証明終

228 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/05(日) 22:11:42.59
補題
G を群とする。
Ψ を G の部分集合から集合で以下の条件を満たすとする。

(1)Ψ は G のフィルター基底(>>218)である。
(2)任意の U ∈ Ψ に対して VV ⊂ U となる V ∈ Ψ がある。
(3)任意の U ∈ Ψ に対して V^(-1) ⊂ U となる V ∈ Ψ がある。

このとき、任意の U ∈ Ψ に対して WW^(-1) ⊂ U となる W ∈ Ψ がある。

証明
(2)より任意の U ∈ Ψ に対して VV ⊂ U となる V ∈ Ψ がある。
(3)より T^(-1) ⊂ V となる T ∈ Ψ がある。
このとき T ⊂ V^(-1) である。
Ψ は G のフィルター基底であるから W ⊂ V ∩ T となる W ∈ Ψ がある。
W ⊂ V ∩ T ⊂ V ∩ V^(-1)
よって、W^(-1) ⊂ V
よって、WW^(-1) ⊂ VV ⊂ U
証明終

229 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/05(日) 22:30:05.79
命題
G を群とする。
Ψ を G の部分集合から集合で以下の条件を満たすとする。

(1)Ψ は G のフィルター基底(>>218)である。
(2)各 U ∈ Ψ に対して VV ⊂ U となる V ∈ Ψ がある。
(3)各 U ∈ Ψ に対して V^(-1) ⊂ U となる V ∈ Ψ がある。
(4)各 U ∈ Ψ と任意の x ∈ G に対して xVx^(-1) ⊂ U となる V ∈ Ψ がある。
(5)各 U ∈ Ψ と任意の x ∈ U に対して xV ⊂ U となる V ∈ Ψ がある。

このとき G を位相群にする G の位相で Ψ が G の単位元 e の基本開近傍系となるものが一意に存在する。

証明
>>228より、任意の U ∈ Ψ に対して WW^(-1) ⊂ U となる W ∈ Ψ がある。
W は空でないから x ∈ W となる x がある。
よって、e = xx^(-1) ∈ U

G の各点 x に対して Ψ(x) = {xU;U ∈ Ψ} とおく。
U ∈ Ψ なら e ∈ U だから Ψ(x) が>>227の(1)と (2) を満たすことは明らかである。
U ∈ Ψ、y ∈ xU とする。
y = xz となる z ∈ U がある。
(5)より zV ⊂ U となる V ∈ Ψ がある。
このとき xzV ⊂ xU
よって、yV ⊂ xU
よって、Ψ(x) は>>227の(3)を満たす。
よって、>>227より
X の位相で X の各点 x に対して Ψ(x) が基本開近傍系となるようなものが一意に存在する。

(続く)

230 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/05(日) 22:30:40.02
>>229の続き

この位相で G が位相群になることを示そう。
(x, y) ∈ G×G に xy ∈ G を対応させる写像を f:G×G → G とする。
(x, y) ∈ G×G とする。
任意の U ∈ Ψ に対して WW ⊂ U となる W ∈ Ψ がある。
V ⊂ yWy^(-1) ∩ W となる V ∈ Ψ がある。
y^(-1)Vy ⊂ W だから
xVyV = xyy^(-1)VyV ⊂ xyWW ⊂ xyU
よって、f(xV, yV) ⊂ f(x, y)U
よって、f:G×G → G は連続である。

x ∈ G に x^(-1) ∈ G を対応させる写像を g:G → G とする。
x ∈ G とする。
任意の U ∈ Ψ に対して xVx^(-1) ⊂ U となる V ∈ Ψ がある。
W^(-1) ⊂ V となる W ∈ Ψ がある。
(xW)^(-1) = W^(-1)x^(-1) ⊂ Vx^(-1) ⊂ x^(-1)U
g(xW) ⊂ g(x)U
よって、g:G → G は連続である。

以上から G は上記の位相で位相群となる。

G を位相群にする G の位相で Ψ が G の単位元 e の基本開近傍系となるものがあれば
その位相は G の各点 x で Ψ(x) = {xU;U ∈ Ψ} を x の基本開近傍系とする。
よって、その位相は Ψ で一意に決まる。
証明終

231 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/05(日) 23:14:48.36
命題
K を可換体とする。
L/K を任意の拡大(過去スレpart4の512)とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
このとき G は標準位相で位相群となる。

証明
L/K の中間体(過去スレpart4の854)E で E/K が有限生成(>>215)となるもの全体を Λ とする。
Ψ = {Aut(L/E); E ∈ Λ} が>>229の条件を満たすことを示せば良い。

(1)E、F ∈ Λ のとき E と F の合成体 EF は Λ に属す。
このとき、Aut(L/EF) ⊂ Aut(L/E) ∩ Aut(L/F)

(2),(3),(5)は Ψ の元が G の部分群であることから明らかである。

(4)E ∈ Λ と σ ∈ G に対して σ(E) ∈ Λ
part1の477より Aut(L/σ(E)) = σAut(L/E)σ^(-1) である。
証明終

232 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/05(日) 23:17:25.06
>>231
>このとき G は標準位相で位相群となる。

このとき G は標準位相(>>216)で位相群となる。

233 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/05(日) 23:35:33.92
命題
K を可換体とする。
L/K を任意の拡大(過去スレpart4の512)とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
このとき G は標準位相でHausdorff位相群となる。

証明
>>231より G は標準位相で位相群となる。
よって、G が標準位相でHausdorffであることを証明すればよい。
L/K の中間体(過去スレpart4の854)E で E/K が有限生成(>>215)となるもの全体を Λ とする。
Ψ = {Aut(L/E); E ∈ Λ} とおく。
>>231より Ψ は G の単位元 e の基本開近傍系である。
よって、>>59より ∩{Aut(L/E); E ∈ Λ} = {e} を示せば良い。
L の任意の元 x に対して K(x) ∈ Λ
よって、σ ∈ ∩{Aut(L/E); E ∈ Λ} なら L の任意の元 x に対して σ ∈ Aut(L/K(x))
よって、σ(x) = x
よって、σ = e
よって、∩{Aut(L/E); E ∈ Λ} = {e}
証明終

234 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/05(日) 23:48:52.72
>>233の証明で>>59を使っているがこれは間違いである。
修正は後で行う。

235 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 01:24:06.71
命題
G を位相群とする。
Ψ を G の単位元 e の基本近傍系とする。
{e}~ を {e} の閉包とする。
このとき、∩{U;U ∈ Ψ} = {e}~ である。

証明
x ∈ {e}~ とする。
任意の U ∈ Ψ に対して V ⊂ U^(-1) となる V ∈ Ψ がある。
e ∈ xV だから x^(-1) ∈ V
よって、x ∈ V^(-1) ⊂ U
よって、x ∈ ∩{U;U ∈ Ψ}

逆に x ∈ ∩{U;U ∈ Ψ} とする。
任意の U ∈ Ψ に対して V ⊂ U^(-1) となる V ∈ Ψ がある。
x ∈ V だから x^(-1) ∈ V^(-1) ⊂ U
よって、e = xx^(-1) ∈ xU
よって、x ∈ {e}~

以上から ∩{U;U ∈ Ψ} = {e}~ である。
証明終

236 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 01:32:10.77
命題
G を位相群とする。
Ψ を G の単位元 e の基本近傍系とする。
G がHausdorffであるためには ∩{U;U ∈ Ψ} = {e} となることが必要十分である。

証明
>>58より G がHausdorffであるためには {e} が閉集合であることが必要十分である。
>>235より {e} が閉集合であるためには ∩{U;U ∈ Ψ} = {e} となることが必要十分である。
証明終

237 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 01:33:57.52
>>233の修正

命題
K を可換体とする。
L/K を任意の拡大(過去スレpart4の512)とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
このとき G は標準位相(>>216)でHausdorff位相群となる。

証明
>>231より G は標準位相で位相群となる。
よって、G が標準位相でHausdorffであることを証明すればよい。
L/K の中間体(過去スレpart4の854)E で E/K が有限生成(>>215)となるもの全体を Λ とする。
Ψ = {Aut(L/E); E ∈ Λ} とおく。
>>231より Ψ は G の単位元 e の基本開近傍系である。
よって、>>236より ∩{Aut(L/E); E ∈ Λ} = {e} を示せば良い。
L の任意の元 x に対して K(x) ∈ Λ
よって、σ ∈ ∩{Aut(L/E); E ∈ Λ} なら L の任意の元 x に対して σ ∈ Aut(L/K(x))
よって、σ(x) = x
よって、σ = e
よって、∩{Aut(L/E); E ∈ Λ} = {e}
証明終

238 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 01:42:33.14
>>237の別証

命題
K を可換体とする。
L/K を任意の拡大(過去スレpart4の512)とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
このとき G は標準位相(>>216)でHausdorff位相群となる。

証明
>>231より G は標準位相で位相群となる。
よって、G が標準位相でHausdorffであることを証明すればよい。
L に離散位相をいれたとき L^L は直積位相でHausdorffである
G は L^L の部分空間であるから G もHausdorffである。
証明終

239 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 01:50:22.55
命題
K を可換体とする。
L/K を代数的拡大(過去スレpart4の633)とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
G は標準位相(>>216)でコンパクト(>>64)である。

証明
>>238より G はHausdorffである。
よって、G が準コンパクト(>>64)であることを証明すれば良い。
各 x ∈ L に対して π_x:L^L → L を射影とする。
即ち f ∈ L^L のとき π_x(f) = f(x) である。
x の K 上の最小多項式を f(X) とする。
f(X) の L における根全体の集合を S_x とする。
任意の σ ∈ G に対して σ(x) ∈ S_x である。
よって、π_x(G) ⊂ S_x
よって、G ⊂ Π[x ∈ L] S_x ⊂ L^L
各 S_x は有限集合だから>>67より離散位相で準コンパクトである。
よって、Tychonoffの定理(代数的整数論009の432)より
Π[x ∈ L] S_x は L^L の準コンパクトな部分空間である。
よって、>>68より G が L^L の閉集合であることを証明すれば良い。
G の L^L における閉包を G~ とする。
f ∈ G~ のとき f ∈ G を証明すれば良い。
任意の x、y ∈ L に対して σ ∈ G があり
f(x) = σ(x)、f(y) = σ(y)、f(x + y) = σ(x + y)、f(xy) = σ(xy) となる。
よって、f(x + y) = f(x) + f(y)、f(xy) = f(x)f(y) である。
x ∈ K なら f(x) = σ(x) = x である。
よって、f:L → L は K-埋め込み(過去スレpart4の514)である。
L/K は代数的であるから過去スレpart4の865より f(L) = L である。
よって、f ∈ G である。
証明終

240 :132人目の素数さん:2012/02/06(月) 02:01:27.63
http://www.youtube.com/user/yesyakisaba?feature=mhee

241 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 02:01:49.65
命題
K を可換体とする。
L/K を任意の拡大(過去スレpart4の512)とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
M を L/K の中間体(過去スレpart4の854)とする。
Aut(L/M) ⊂ Aut(L/K) である。
このとき Aut(L/M) の標準位相(>>216)は Aut(L/K) の標準位相の部分位相である。

証明
標準位相の定義(>>216)から明らかである。

242 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 02:07:09.34
命題
K を可換体とする。
L/K を任意の拡大(過去スレpart4の512)とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
M を L/K の中間体(過去スレpart4の854)で M/K は正規拡大(過去スレpart4の844)とする。
過去スレpart4の876より σ ∈ G のとき σ(M) = M である。
よって、G の各元を M に制限することにより写像 ρ:G → Aut(M/K) が得られる。
このとき ρ は標準位相(>>??)で連続である。

証明
H = Aut(M/K) とおく。
σ ∈ G とする。
x_1、...、x_n を M の元とする。
V(ρ(σ);x_1、...、x_n) = {τ ∈ H;σ(x_1) = τ(x_1)、...、σ(x_n) = τ(x_n)} とおく。
x_1、...、x_n を変化させると V(ρ(σ);x_1、...、x_n) は
ρ(σ) の H における基本開近傍系になる。
このとき、ρ^(-1)(V(ρ(σ);x_1、...、x_n)) = U(σ;x_1、...、x_n) である。
よって、ρ:G → H は連続である。
証明終

243 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 02:18:13.78
命題
K を可換体とする。
L/K を正規拡大(過去スレpart4の844)とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
>>231より G は標準位相で位相群となる。
M を L/K の中間体(過去スレpart4の854)で M/K は正規拡大とする。
>>231より Aut(M/K) は標準位相で位相群となる。
過去スレpart4の876より σ ∈ G のとき σ(M) = M である。
よって、G の各元を M に制限することにより写像 ρ:G → Aut(M/K) が得られる。
ρ の核を N とする。
ρ は群の準同型であるから ρ は群の準同型 ρ~:G/N → Aut(M/K) を引き起こす。
このとき ρ~ は位相群の同型である。

証明
過去スレpart4の887より ρ は全射である。
>>239より G は準コンパクト(>>64)である。
>>238より Aut(M/K) はHausdorffである。
>>242より ρ は連続であるから>>210より ρ~ は位相群の同型である。
証明終

244 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 02:23:18.78
記法
G を群とする。
X を G-集合(>>77)とする。
Y を X の部分集合とする。
G(Y) = {σ ∈ G;全ての y ∈ Y に対して σy = y} と書く。
G(Y) は G の部分群である。
Y が空集合のとき G^Y = G である。
H を G の部分群とする。
X^H = {x ∈ X;全ての σ ∈ H に対して σx = x} と書く。

245 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 03:09:37.54
命題(G-集合に関するGalois対応)
G を群とする。
X を G-集合(>>77)とする。
X の部分集合全体を P(X) とする。
G の部分群全体の集合を Sub(G) とする。
Y ∈ P(X) に G(Y) ∈ Sub(G) を対応させることにより
写像 g:P(X) → Sub(G) が得られる。
H ∈ Sub(G) に対して X^H を対応させることにより
写像 k:Sub(G) → P(X) が得られる。
P(X) と Sub(G) はそれぞれ包含関係により順序集合となる。
Sub(G)^o を Sub(G) の双対順序集合(代数的整数論021の168)とする。
このとき、(P(X), g, k, Sub(G)^o) はGalois対応(代数的整数論021の642)である。
従って、以下が成り立つ。

(1) 任意の Y ∈ P(X) と任意の H ∈ Sub(G) に対して g(Y) ⊃ H ⇔ Y ⊂ k(H)
(2) Y_1、Y_2 ∈ P(X) で Y_1 ⊂ Y_2 のとき g(Y_1) ⊃ g(Y_2)
(3) H_1、H_2 ∈ Sub(G) で H_1 ⊃ H_2 のとき k(H_1) ⊂ k(H_2)
(4) 任意の Y ∈ P(X) に対して Y ⊂ kg(Y)
(5) 任意の H ∈ Sub(G) に対して H ⊂ gk(H)
(6) 任意の Y ∈ P(X) に対して gkg(Y) = g(Y)
(7) 任意の H ∈ Sub(G) に対して kgk(H) = k(H)
(8)
  g の像を Sub(G)^* とおく。
  k の像を P(X)^* とおく。
  Sub(G)^* = {H ∈ Sub(G); gk(H) = H} である。
  P(X)^* = {Y ∈ P(X); kg(Y) = Y} である。
  g の P(X)^* への制限を g^* とし、k の Sub(G)^* への制限を k^*、すると
  g^* と k^* は互いに逆写像である。

(続く)

246 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 03:10:34.67
>>245の続き

証明
(1)は自明であるから (P(X), g, k, Sub(G)^o) はGalois対応である。
よって、代数的整数論021の644より (4),(5)が成り立つ。
代数的整数論021の645より (2),(3)が成り立つ。
代数的整数論021の656より (6),(7)が成り立つ。
代数的整数論021の832より (8) が成り立つ。
証明終

247 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 03:16:27.67
記法
K を可換体とする。
L/K を任意の拡大(過去スレpart4の512)とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
G の部分群全体の集合を Sub(G) と書く。
G に標準位相(>>216)を入れたとき G の閉部分群全体の集合を CSub(G) とと書く。
L/K の中間体(過去スレpart4の854)全体の集合を Φ(L/K) と書く。
H ∈ Sub(G) に対して L^H(過去スレpart4の863)を k(H) と書く。
k(H) ∈ Φ(L/K) である。
M ∈ Φ(L/K) に対して Aut(L/M) を g(M) と書く。
g(M) ∈ Sub(G) である。

248 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 03:23:05.04
命題(任意の拡大体に関するGalois対応)
K を可換体とする。
L/K を任意の拡大(過去スレpart4の512)とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
M ∈ Φ(L/K)(>>247) に g(M) ∈ Sub(G)(>>247)を対応させることにより
写像 g:Φ(L/K) → Sub(G) が得られる。
H ∈ Sub(G) に k(H)(>>247)を対応させることにより、
写像 k:Sub(G) → Φ(L/K) が得られる。
Φ(L/K) と Sub(G) はそれぞれ包含関係により順序集合となる。
Sub(G)^o を Sub(G) の双対順序集合(代数的整数論021の168)とする。
このとき、(Φ(L/K), g, k, Sub(G)^o) はGalois対応(代数的整数論021の642)である。
従って、以下が成り立つ。

(1) 任意の M ∈ Φ(L/K)と任意の H ∈ Sub(G) に対して g(M) ⊃ H ⇔ M ⊂ k(H)
(2) M_1、M_2 ∈ Φ(L/K) で M_1 ⊂ M_2 のとき g(M_1) ⊃ g(M_2)
(3) H_1、H_2 ∈ Sub(G) で H_1 ⊃ H_2 のとき k(H_1) ⊂ k(H_2)
(4) 任意の M ∈ Φ(L/K) に対して M ⊂ kg(M)
(5) 任意の H ∈ Sub(G) に対して H ⊂ gk(H)
(6) 任意の M ∈ Φ(L/K) に対して gkg(M) = g(M)
(7) 任意の H ∈ Sub(G) に対して kgk(H) = k(H)
(8)
  g の像を Sub(G)^* とおく。
  k の像を Φ(L/K)^* とおく。
  Sub(G)^* = {H ∈ Sub(G); gk(H) = H} である。
  Φ(L/K)^* = {M ∈ Φ(L/K); kg(M) = M} である。
  g の Φ(L/K)^* への制限を g^* とし、k の Sub(G)^* への制限を k^* とすると
  g^* と k^* は互いに逆写像である。

証明
>>245の証明と同様である。

249 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 03:34:09.95
命題
G を位相群とする。
H を G の開部分群とする。
このとき H は G の閉部分群である。

証明
G の H による左剰余類全体の集合 G/H とする。
G = ∪{σH;σH ∈ G/H} は G の直和分割である。
>>135より、 任意の σ ∈ G に対して x ∈ X に σx ∈ X を対応させる写像 h_σ:X → X は
位相同型である。
よって、σH は G の開集合である。
よって、G - H は開集合である。
よって、H は閉部分群である。
証明終

250 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 04:00:22.80
命題
K を可換体とする。
L/K を代数的拡大(過去スレpart4の633)とする。
L/K が有限生成(>>215)であるためには L/K が有限次拡大(過去スレpart4の842)であることが
必要十分である。

証明
必要性:
L/K が有限生成であるとする。
L の有限部分集合 S があり L = K(S)(過去スレpart4の539)となる。
過去スレpart4の607より L = K[S](過去スレpart4の539)である。
S の各元は K 上代数的であるから過去スレpart4の585より L/K は有限次拡大である。

十分性:
自明である。
証明終

251 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 04:04:45.05
命題
K を可換体とする。
L/K を代数的拡大(過去スレpart4の633)とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
G には標準位相(>>216)を入れておく。
L/K の中間体(過去スレpart4の854)E で
E/K が有限次拡大(過去スレpart4の842)となるもの全体を Λ とする。
このとき {Aut(L/E);E ∈ Λ} は G の単位元の基本開近傍系である。

証明
>>216>>250より明らかである。

252 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 04:15:22.01
命題(代数的整数論001の627を再録)
K を可換体とする。
L/K を代数的拡大(過去スレpart4の633)とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
G に標準位相(>>216)を入れる。
E を L/K の中間体とする。
このとき Aut(L/E)(過去スレpart4の847)は G の閉部分群である。

証明
E/K が有限次のときは、>>251より Aut(L/E) は G の開部分群であるから
>>249より G の閉部分群である。

E/K が有限次でないとする。
>>250より任意の x ∈ E に対して K(x)/K は有限次拡大である。
よって、E は有限次拡大の族 (M_i/K)、i ∈ I の合併集合となる。
Aut(L/M) = ∩Aut(L/M_i) で、各 Aut(L/M_i) は閉集合だから Aut(L/M) も閉集合である。
証明終

253 :132人目の素数さん:2012/02/06(月) 07:23:02.55
平日の真夜中で2ちゃんねる三昧のクンマーって

職業はなに?

254 :132人目の素数さん:2012/02/06(月) 07:30:57.72
彫刻家

255 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 08:52:15.73
定義
A を可換環とする。
E と F を A 上の線型環(過去スレpart1の97)とする。
E から F への A-線型環としての準同型全体の集合を
Homalg_A(E, F) または Homalg(E, F) と書く。

256 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 08:56:59.62
K を可換体とする。
E/K と F/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
E と F は K 上の線型環(過去スレpart1の97)と見なされる
このとき Homalg(E, F)(>>255)は
E から F への K-埋め込み(過去スレpart4の514)全体の集合である。

257 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 09:16:28.69
命題
K を可換体とする。
L/K を正規拡大(過去スレpart4の844)とする。
E を L/K の中間体(過去スレpart4の854)とする。
E/K が有限次拡大(過去スレpart4の842)なら |Homalg(E, L)| ≦ [E : K] である。

証明
>>256より Homalg(E, L) は E から L への K-埋め込み(過去スレpart4の514)全体の集合である。
過去スレpart4の636より L は代数的閉包(過去スレpart4の628)Ω を持つ。
Homalg(E, L) ⊂ Homalg(E, Ω) と見なされる。
過去スレpart1の265より |Homalg(E, Ω)| ≦ [E : K] である。
よって、|Homalg(E, L)| ≦ [E : K] である。
証明終

258 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 09:24:21.86
定義
K を可換体とする。
L/K を正規拡大(過去スレpart4の844)とする。
M を L/K の中間体(過去スレpart4の854)とする。
M ⊂ E となる L/K の中間体 E で E/K が正規拡大となるようなもの全体の集合を Ψ とする。
L ∈ Ψ だから Ψ は空でない。
N = ∩{E; E ∈ Ψ} は L/K の中間体であり、N/K は正規拡大である。
N を L における M の正規閉包という。

259 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 10:03:57.79
命題
K を可換体とする。
L/K を正規拡大(過去スレpart4の844)とする。
M を L/K の中間体(過去スレpart4の854)で M/K は有限次拡大(過去スレpart4の842)とする。
M = K(α_1、...、α_n)(過去スレpart4の539)とする。
各 α_i の K 上の最小多項式(過去スレpart4の554)を f_i(X) とする。
f(X) = Πf_i(X) とおく。
f(X) の L における全ての根の集合を S とする。
このとき K(S)(過去スレpart4の539)は L における M の正規閉包(>>258)である。

証明
N を L における M の正規閉包とする。
N/K は正規拡大であり M ⊂ N であるから各 f_i(X) は N で分解する(過去スレpart4の534)。
よって、K(S) ⊂ N である。
よって、逆の包含関係を示せば良い。

各 f_i(X) は L で分解するから f(X) も L で分解する。
よって、K(S) は f(X) の最小分解体(過去スレpart4の542)である。
よって、過去スレpart4の876より K(S)/K は正規拡大である。
よって、N ⊂ K(S) である。
証明

260 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 10:21:12.41
命題
K を可換体とする。
L/K を正規拡大(過去スレpart4の844)とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
G には標準位相(>>216)を入れておく。
L/K の中間体(過去スレpart4の854)N で
N/K が有限次(過去スレpart4の842)の正規拡大(過去スレpart4の844)となるもの全体を Σ とする。
このとき {Aut(L/N);N ∈ Σ} は G の単位元の基本開近傍系である。

証明
L/K の中間体 E で E/K が有限次拡大となるもの全体を Λ とする。
>>251より、{Aut(L/E);E ∈ Λ} は G の単位元の基本開近傍系である。
Σ ⊂ Λ であるから {Aut(L/N);N ∈ Σ} ⊂ {Aut(L/E);E ∈ Λ} である。
よって、任意の E ∈ Λ に対して Aut(L/N) ⊂ Aut(L/E) となる N ∈ Σ があることを示せばよい。

任意の E ∈ Λ に対して L における E の正規閉包(>>258)を N とする。
>>259より N/K は有限生成(>>215)である。
よって、>>250より N/K は有限次拡大である。
よって、N ∈ Σ である。
E ⊂ N であるから Aut(L/N) ⊂ Aut(L/E) である。
証明終

261 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 11:03:24.54
命題
K を可換体とする。
L/K を正規拡大(過去スレpart4の844)とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
M を L/K の中間体(過去スレpart4の854)とする。
このとき、M/K が正規拡大なら Aut(L/M) は G の正規部分群である。

証明
過去スレpart4の876より σ ∈ G のとき σ(M) = M である。
よって、σ の M への制限 σ|M は Aut(M/K) の元である。
よって、σ ∈ G に σ|M ∈ Aut(M/K) を対応させることにより
群の準同型 G → Aut(M/K) が得られる。
この核は Aut(L/M) である。
よって、Aut(L/M) は正規部分群である。
証明終

262 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 12:38:26.35
命題
K を可換体とする。
L/K を任意の拡大(過去スレpart4の512)とする。
N を L/K の中間体(過去スレpart4の854)で N/K は正規拡大(過去スレpart4の844)とする。
E を L/K の任意の中間体とする。
EN を合成体(過去スレpart4の901)とする。
このとき EN/E は正規拡大である。

証明
過去スレpart4の876より、K[X] の次数1以上の元からなる空でない族 (f_i)、i ∈ I があり、
N は (f_i)、i ∈ I の最小分解体(過去スレpart4の542)である。
各 f_i の N における全ての根の集合を S_i とする。
S = ∪{S_i;i ∈ I} とおく。
N = K(S)(過去スレpart4の539)である。
K ⊂ E であるから EN = E(N) = E(K(S)) = E(S) である。
各 f_i は E[X] の元でもあるから EF は (f_i)、i ∈ I の F 上の最小分解体である。
よって、過去スレpart4の876より EN/E は正規拡大である。
証明終

263 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 12:59:51.77
次の命題は無限次Galois理論の鍵である。

264 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 13:00:45.04
命題(代数的整数論001の631を少し修正して再録)
K を可換体とする。
L/K を正規拡大(過去スレpart4の844)とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
G に標準位相(>>216)を入れる。
H を G の部分群とする。
M = L^H (過去スレpart4の863)とする。
このとき Aut(L/M) (過去スレpart4の847)は H の閉包である。

証明
H の閉包を H~ とする。
H ⊂ Aut(L/M) は明らかである。
>>252より Aut(L/M) は G の閉部分群であるから H~ ⊂ Aut(L/M) である。
よって、σ ∈ Aut(L/M) の任意の近傍が H の元を含むことを示せばよい。
E/K を K の中間体で有限次(過去スレpart4の842)の正規拡大であるとする。
>>260より Aut(E/K) は G の基本開近傍である。
よって、σAut(E/K) = U(σ;E)(>>216)が H の元を含むことを示せばよい。
ME を M と E の合成体(過去スレpart4の901)とする。
>>261より ME/M は正規拡大である。
ME/M は有限生成(>>215)だから>>250より ME/M は有限次拡大(過去スレpart4の842)である。
過去スレpart4の876より σ ∈ H のとき σ(ME) = ME である。
よって、σ の ME への制限 σ|ME は Aut(ME/M) の元である。
よって、σ ∈ H に σ|ME を対応させることにより準同型 φ: H → Aut(ME/M) が得られる。
φ(H) で固定される ME の部分体は M である。
ME/M は有限次拡大であるから、Artinの定理(過去スレpart1の438)または過去スレpart1の452より、
φ(H) = Aut(ME/M) である。
つまり、φ は全射である。
σ ∈ Aut(L/M) のとき σ|ME ∈ Aut(ME/M) であるから、
σ|ME = φ(η) となる η ∈ H がある。
E ⊂ ME であるから、σ|E = η|E となる。
これは、η ∈ U(σ;E) (>>216)を意味する。
証明終

265 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 13:15:26.37
記法
K を可換体とする。
L/K を任意の拡大(過去スレpart4の512)とする。
L/K の中間体(過去スレpart4の854)M に対して
L/K の中間体 M~ を次のように定義する。
K の標数(過去スレpart4の667)が p > 0 のとき
M~ を L における M の相対純非分離閉包(過去スレpart4の895)とする。
K の標数が 0 のとき M~ = M とする。

266 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 13:24:35.17
命題
L/K を代数的拡大(過去スレpart4の633)とする。
H を Aut(L/K)(過去スレpart4の847)の部分群とする。
このとき K = L^H(過去スレpart4の863)なら L/K はGalois拡大(過去スレpart4の848)である。

証明(過去スレpart1の438を参照)
任意の α ∈ L に対して f(X) を α の K 上の最小多項式(過去スレpart4の554)とする。
S = {α_1、...、α_m} を f(X) の L における根の集合とする。
ここで、α_1、...、α_m は互いに異なるとする。
L[X] の多項式 g(X) = (X - α_1)...(X - α_m) を考える。
任意の σ ∈ H は S の置換を引き起こすから g(X) の係数は σ で不変である。
よって、g(X) ∈ K[X]
g(α) = 0 だから f(X) は g(X) の既約因子である。
よって、L は f(X) の分解体(過去スレpart4の538)である。
よって、L/K は正規拡大(過去スレpart4の844)である。
g(X) は分離的(過去スレpart4の694)だから f(X) も分離的である。
よって、α は K 上分離的(過去スレpart4の841)である。
よって、L/K はGalois拡大(過去スレpart4の848)である。
証明終

267 :132人目の素数さん:2012/02/06(月) 13:29:17.59
アニメエヴァリストンゲリオンでイン☆パルス応答でも計測するんか

268 :132人目の素数さん:2012/02/06(月) 13:31:03.08
例えば
                 __,,,,、 .,、
            /'゙´,_/'″  . `\
          : ./   i./ ,,..、    ヽ
         . /    /. l, ,!     `,
           .|  .,..‐.、│          .|
           (´゛ ,/ llヽ            |
            ヽ -./ ., lliヽ       .|
             /'",i" ゙;、 l'ii,''く     .ヽ
         / ...│  ゙l,  l゙゙t, ''ii_    :.!
        : /.._ /    ヽ \\.`゙~''''''"./
        .|-゙ノ/   : ゝ .、 ` .`''←┬゛
          l゙ /.r   ゛ .゙ヒ, .ヽ,   ゙̄|
とかの定理について、αが複素数の時の適用可能性ってどう証明すれば良いんですか?

269 :132人目の素数さん:2012/02/06(月) 14:15:58.58
ぐるぐる回るクンマーw
いつまでたっても類体論にならんw

270 :132人目の素数さん:2012/02/06(月) 14:32:12.77
αヌスが複素数の時の適用可能性ってどう証明すれば良いんですか?

271 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 14:43:20.69
命題
K を可換体とする。
K の標数(過去スレpart4の667)を 0 とする。
L を K の任意の代数的拡大(過去スレpart4の633)とする。
このとき L/K は分離的(過去スレpart4の843)である。

証明
L の任意の元 α に対して α の K 上の最小多項式(過去スレpart4の557)を f(X) とする。
過去スレpart1の225より K は完全体(過去スレpart1の222)であるから
f(X) は分離的(過去スレpart4の694)である。
よって、α は K 上分離的(過去スレpart1の841)である。
よって、L/K は分離的である。
証明終

272 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 14:49:45.49
命題
K を可換体とする。
L/K を正規拡大(過去スレpart4の844)とする。
このとき L^G(過去スレpart4の863)は
L における K の相対純非分離閉包(過去スレpart4の895)K~ である。

証明
K の標数(過去スレpart4の667)が 0 なら>>271より L/K は分離的である。
よって、L/K はGalois拡大(過去スレpart4の848)である。
よって、過去スレpart1の312または314より K = L^G である。
よって、この場合は本命題は成り立つ。

K の標数(過去スレpart4の667)が p > 0 とする。
過去スレpart4の888より L^G は K 上純非分離(過去スレpart4の861)である。
即ち L^G ⊂ K~ である。

逆に α ∈ K~ なら α^(p^e) ∈ K となる整数 e ≧ 0 がある。
任意の σ ∈ G に対して σ(α^(p^e)) = σ(α)^(p^e) = α^(p^e)
よって、σ(α) = α
よって、α ∈ L^G である。
証明終

273 :132人目の素数さん:2012/02/06(月) 14:55:42.20
クンニはどうなの?>クンマー

274 :132人目の素数さん:2012/02/06(月) 14:56:42.17
相変わらず間違いだらけだなw

275 :132人目の素数さん:2012/02/06(月) 14:56:59.17
>>269
無限次Galois理論はこのスレではまだやっていない
それをやろうとしてる

276 :132人目の素数さん:2012/02/06(月) 14:58:28.69
>>274
言うだけで指摘出来ない
悔しいのうw

277 :132人目の素数さん:2012/02/06(月) 14:58:59.03
間違いは自分で気づいて訂正したまえw

278 :132人目の素数さん:2012/02/06(月) 15:00:40.56
煽っても無駄w
間違いに気がつかないおまえ脳みそを恨めよw
ハゲの低脳で無職のクンマーw>276

279 :132人目の素数さん:2012/02/06(月) 15:01:28.09
他人に推敲を依存するなんて、論文を書いたことのないおばかさんだな

280 :132人目の素数さん:2012/02/06(月) 15:02:24.84
いや、クマは論文なんて書いたことないからw

単なる失業者だぜw>>279

281 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 15:06:56.88
>>272の修正

命題
K を可換体とする。
L/K を正規拡大(過去スレpart4の844)とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
このとき L^G(過去スレpart4の863)= K~(>>265)である。

証明
K の標数(過去スレpart4の667)が 0 なら>>271より L/K は分離的である。
よって、L/K はGalois拡大(過去スレpart4の848)である。
よって、過去スレpart1の312または314より K = L^G である。
よって、この場合は本命題は成り立つ。

K の標数(過去スレpart4の667)が p > 0 とする。
過去スレpart4の888より L^G は K 上純非分離(過去スレpart4の861)である。
即ち L^G ⊂ K~ である。

逆に α ∈ K~ なら α^(p^e) ∈ K となる整数 e ≧ 0 がある。
任意の σ ∈ G に対して σ(α^(p^e)) = σ(α)^(p^e) = α^(p^e)
よって、σ(α) = α
よって、α ∈ L^G である。
証明終

282 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 15:13:30.26
命題(正規拡大に関するGalois理論の基本定理)
K を可換体とする。
L/K を正規拡大(過去スレpart4の844)とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
G に標準位相(>>216)を入れる。
以下>>247の記法を使う。
H ∈ Sub(G)>>247)のとき H~ を H の閉包とする。
このとき、
任意の M ∈ Φ(L/K) に対して kg(M) = M~(>>265)である。
任意の H ∈ Sub(G) に対して gk(H) = H~ である。

Φ~(L/K) = {M ∈ Φ(L/K); M = M~} とおく。
このとき、
g(Φ(L/K)) = CSub(G)
k(Sub(G)) = Φ~(L/K)
である。

g の定義域を Φ~(L/K) に制限した写像を g~:Φ~(L/K) → CSub(G) とおく。
k の定義域を CSub(G) に制限した写像を k~:CSub(G) → Φ~(L/K) とおく。
このとき g~ は全単射であり、k~ は g~ の逆写像である。

証明
>>281より 任意の M ∈ Φ(L/K) に対して kg(M) = M~ である。
>>264より 任意の H ∈ Sub(G) に対して gk(H) = H~ である。
よって、本命題の残りの主張は>>248から得られる。
証明終

283 :132人目の素数さん:2012/02/06(月) 15:20:07.74
>>278
数学コンプのお前に間違いの指摘を期待するわけないだろ
悔しくて悔しくて何年も俺に粘着
恥ずかしいのうw

284 :132人目の素数さん:2012/02/06(月) 15:21:27.92
まあ粘着されるほど恨まれてるわけでまんざら悪い気はしないがw

285 :132人目の素数さん:2012/02/06(月) 15:23:49.96
>>Kummer
え、本気で間違いに気づかない?

286 :猫は撲滅 ◆MuKUnP3RU. :2012/02/06(月) 15:26:26.41
>>Kummer
虚偽院生以下の屑。自らの間違いを素直に認めず、他人を罵倒する者は
数学には向かない。オマエだけは絶対に許さん。そやし覚悟せえやナ。




287 :猫ブタ ◆MuKUnGPXAY :2012/02/06(月) 15:28:24.86
>>Kummer
私は貴方の味方です。




288 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 16:02:29.71
命題(Galois理論の基本定理)
K を可換体とする。
L/K をGalois拡大(過去スレpart4の844)とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
G に標準位相(>>216)を入れる。
以下>>247の記法を使う。
H ∈ Sub(G) のとき H~ を H の閉包とする。

このとき
任意の M ∈ Φ(L/K) に対して kg(M) = M である。
任意の H ∈ Sub(G) に対して gk(H) = H~ である。

g(Φ(L/K)) = CSub(G)
k(Sub(G)) = Φ(L/K)
である。

g の値域を CSub(G) に制限した写像を g~:Φ(L/K) → CSub(G) とおく。
k の定義域を CSub(G) に制限した写像を k~:CSub(G) → Φ(L/K) とおく。
このとき、g~ は全単射であり、k~ は g~ の逆写像である。

証明
L/K は分離的だから任意の M ∈ Φ(L/K) に対して L/M は分離的である。
よって、過去スレpart2の535より M~ = M である。
よって、>>282より本命題が直ちに得られる。
証明終

289 :132人目の素数さん:2012/02/06(月) 16:17:10.69
>>Kummer
出てきたはいいが…不謹慎やろが!
よく考えてから出てこい。エエな。

290 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 16:57:16.94
命題
K を可換体とする。
L/K を有限次(過去スレpart4の842)の正規拡大(過去スレpart4の844)とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
このとき G の標準位相(>>216)は離散(>>60)である。
よって、G の任意の部分群は標準位相で閉である。

証明
L/K は有限次だから G の任意の元 σ に対して {σ} = U(σ;L)(>>216)である。
よって、G の標準位相は離散である。
証明終

291 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 17:03:41.80
命題(有限次正規拡大に関するGalois理論の基本定理)
K を可換体とする。
L/K を有限次(過去スレpart4の842)の正規拡大(過去スレpart4の844)とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
以下>>247の記法を使う。
このとき
任意の M ∈ Φ(L/K) に対して kg(M) = M~(>>265)である。
任意の H ∈ Sub(G) に対して gk(H) = H である。

Φ~(L/K) = {M ∈ Φ(L/K); M = M~} とおく。
このとき
k(Sub(G)) = Φ~(L/K)
g(Φ(L/K)) = Sub(G)
である。

g の定義域を Φ~(L/K) に制限した写像を g~:Φ~(L/K) → Sub(G) とおく。
k の値域を Φ~(L/K) に制限した写像を k~:Sub(G) → Φ~(L/K) とおく。
このとき g~ は全単射であり、k~ は g~ の逆写像である。

証明
>>290より G の標準位相は離散である。
よって、本命題は正規拡大に関するGaloisの基本定理(>>282)より直ちに得られる。
証明終

292 :猫ブタ ◆MuKUnGPXAY :2012/02/06(月) 17:28:35.09
>>289
不謹慎はオマエや。




293 :132人目の素数さん:2012/02/06(月) 17:54:34.77
クンマー

間違いを訂正しろよw
悔しいのおw
自分でコピペしても間違いが分からんなんてw

294 :猫ブタ ◆MuKUnGPXAY :2012/02/06(月) 18:02:01.00
>>293
お馬鹿が幾ら騒いでも無駄。




295 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 18:28:25.27
命題
K を可換体とする。
L/K を正規拡大(過去スレpart4の844)とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
以下>>247の記法を使う。
Φ~(L/K) = {M ∈ Φ(L/K); M = M~(>>265)} とおく。
M、M’∈ Φ~(L/K) のとき M ⊂ M’⇔ g(M) ⊃ g(M’)
H、H’∈ CSub(G) のとき H ⊂ H’⇔ k(H) ⊃ k(H’)

証明
任意の拡大体に関するGalois対応(>>248)と正規拡大に関するGalois理論の基本定理(>>282)より
g~:Φ~(L/K) → CSub(G)^o と k~:CSub(G)^o → Φ~(L/K) は順序同型であり
互いに逆写像であることから明らかである。
証明終

296 :132人目の素数さん:2012/02/06(月) 18:32:53.18
>>Kummer
確かに間違えることはある。人間なんてそんなもんだ。


だけどお前の間違いは致命的だ。量も多い。根本から修正しないといけないんだよ。

297 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 18:37:53.22
命題
K を可換体とする。
L/K をGalois拡大(過去スレpart4の848)とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
以下>>247の記法を使う。
M、M’∈ Φ(L/K) のとき M ⊂ M’⇔ g(M) ⊃ g(M’)
H、H’∈ CSub(G) のとき H ⊂ H’⇔ k(H) ⊃ k(H’)

証明
L/K は分離的だから任意の M ∈ Φ(L/K) に対して L/M は分離的である。
よって、過去スレpart2の535より M~(>>265)= M である。
よって、Φ~(L/K) = Φ(L/K) である。
L/K は正規拡大(過去スレpart4の844)であるから>>295より本命題が得られる。
証明終

298 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 19:08:37.17
定義
L を可換体とする。
(E_i)、i ∈ I を L の部分体の族とする。
各 E_i を含む L の最小の部分体を (E_i)、i ∈ I の合成体と言う。

299 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 19:27:55.31
命題
K を可換体とする。
L/K を任意の拡大(過去スレpart4の512)とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
以下>>247の記法を使う。

(E_i)、i ∈ I を Φ(L/K) の元の族とする。
E を (E_i)、i ∈ I の合成体(>>298)とする。
このとき g(E) = ∩g(E_i) である。

(H_j)、j ∈ J を Sub(G) の元の族とする。
H を各 H_j を含む G の最小の部分群とする。
このとき k(H) = ∩k(H_j) である。

証明
直接にも容易に証明出来るが次のようにGalois対応の応用としても証明出来る。
>>248より(Φ(L/K), g, k, Sub(G)^o) はGalois対応である。
よって、代数的整数論021の705より本命題が得られる。
証明終

300 :あのこうちやんは始皇帝だった:2012/02/06(月) 19:39:48.54

 ニート・無職の、ゴミ・クズ・カスの、クソガキは、死ねや!!!!!!!!!


301 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 19:54:43.55
命題
K を可換体とする。
L/K を正規拡大(過去スレpart4の844)とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
以下>>247>>282の記法を使う。
(E_i)、i ∈ I を Φ~(L/K) の元の族とする。
E = ∩{E_i;i ∈ I} とおく。
このとき g(E) は各 g(E_i) を含む G の最小の閉部分群である。

証明
>>282より g~:Φ~(L/K) → CSub(G)^o は順序同型である。
よって、本命題が従う。
証明

302 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 20:02:34.25
命題
K を可換体とする。
L/K をGalois拡大(過去スレpart4の848)とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
以下>>247の記法を使う。
(E_i)、i ∈ I を Φ(L/K) の元の族とする。
E = ∩{E_i;i ∈ I} とおく。
このとき g(E) は各 g(E_i) を含む G の最小の閉部分群である。

証明
>>288より g~:Φ(L/K) → CSub(G)^o は順序同型である。
よって、本命題が従う。
証明

303 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 20:07:44.37
>>297の証明は次のようにしたほうがよかった。

命題
K を可換体とする。
L/K をGalois拡大(過去スレpart4の848)とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
以下>>247の記法を使う。
M、M’∈ Φ(L/K) のとき M ⊂ M’⇔ g(M) ⊃ g(M’)
H、H’∈ CSub(G) のとき H ⊂ H’⇔ k(H) ⊃ k(H’)

証明
任意の拡大体に関するGalois対応(>>248)とGalois理論の基本定理(>>288)より
g~:Φ(L/K) → CSub(G)^o と k~:CSub(G)^o → Φ(L/K) は順序同型であり
互いに逆写像であることから明らかである。
証明終

304 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 21:21:43.05
命題
K を可換体とする。
L/K を任意の拡大とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
H を G の部分群とする。
M = L^H(過去スレpart4の863)とする。
このとき、任意の σ ∈ G に対して L^(σHσ^(-1)) = σ(M) である。

証明
x ∈ L^(σHσ^(-1)) ⇔ 各 h ∈ H に対して σhσ^(-1)(x) = x
⇔ 各 h ∈ H に対して hσ^(-1)(x) = σ^(-1)(x)
⇔ σ^(-1)(x) ∈ M ⇔ x ∈ σ(M)
証明終

305 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 21:32:09.95
命題
K を可換体とする。
L/K を正規拡大(過去スレpart4の844)とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
以下>>247>>282の記法を使う。
E_1、E_2 を L/K の中間体(過去スレpart4の854)とする。
H_1 = g(E_1)、H_2 = g(E_2) とする。
σ ∈ G のとき E_2 = σ(E_1) なら H_2 = σH_1σ^(-1) である。
逆に H_2 = σH_1σ^(-1) なら (E_2)~ = σ((E_1)~) である。

証明
E_2 = σ(E_1) とする。
過去スレpart1の477より g(σ(E_1)) = σH_1σ^(-1) である。
よって、H_2 = σH_1σ^(-1) である。

逆に H_2 = σH_1σ^(-1) とする。
>>304より k(H_2) = σ(k(H_1))
一方、>>282より k(H_1) = (E_1)~、k(H_2) = (E_2)~
よって、(E_2)~ = σ((E_1)~) である。
証明終

306 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 21:37:20.36
命題
K を可換体とする。
L/K をGalois拡大(過去スレpart4の844)とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
以下>>247の記法を使う。
E_1、E_2 を L/K の中間体(過去スレpart4の854)とする。
H_1 = g(E_1)、H_2 = g(E_2) とする。
σ ∈ G のとき E_2 = σ(E_1) なら H_2 = σH_1σ^(-1) である。
逆に H_2 = σH_1σ^(-1) なら E_2 = σ(E_1) である。

証明
L/K は分離的だから任意の M ∈ Φ(L/K) に対して L/M は分離的である。
よって、過去スレpart2の535より M~ = M である。
よって、>>305より本命題が直ちに得られる。
証明終

307 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 21:47:16.59
命題
K を可換体とする。
L/K を正規拡大(過去スレpart4の844)とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
以下>>282の記法を使う。
M を L/K の中間体(過去スレpart4の854)とする。
H = Aut(L/M) とする。
このとき、H が G の正規部分群なら M~/K は正規拡大である。

証明
>>305より 任意の σ ∈ G に対して σ(M~) = M~ である。
よって、過去スレpart1の468より M~/K は正規拡大である。
証明終

308 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 21:54:42.36
命題
K を可換体とする。
L/K をGalois拡大(過去スレpart4の844)とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
M を L/K の中間体(過去スレpart4の854)とする。
H = Aut(L/M) とする。
このとき、M/K がGalois拡大であるためには H が G の正規部分群であることが必要十分である。

証明
必要性:
>>261で証明済み。

十分性:
H が G の正規部分群であるとする。
>>306より 任意の σ ∈ G に対して σ(M) = M である。
よって、過去スレpart1の468より M/K は正規拡大である。
M/K は分離的だからGalois拡大である。
証明終

309 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 22:05:53.89
命題
K を可換体とする。
L/K を正規拡大(過去スレpart4の844)とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
G には標準位相(>>216)を入れる。
M を L/K の中間体(過去スレpart4の854)で、M/K は正規拡大であるとする。
>>261より H = Aut(L/M) は G の正規部分群である。
このとき G/H は位相群として Aut(M/K) に同型である。

証明
>>243より明らかである。

310 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/06(月) 22:32:26.07
定義
K を可換体とする。
L/K を代数的拡大(過去スレpart4の633)とする。
Ω を代数的閉体(過去スレpart4の628)とする。
σ:K → Ω を埋め込み(過去スレpart4の513)とする。
埋め込み L → Ω で σ の拡張となっているもの全体の集合を E(σ、L/K、Ω) と書く。

311 :132人目の素数さん:2012/02/07(火) 00:11:16.73
やっぱりクマが一人で書き散らしてるだけだw
猫すらも読んでない。

312 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/07(火) 05:09:29.61
命題
K を可換体とする。
L/K を代数的拡大(過去スレpart4の633)とする。
Ω と Ω’を代数的閉体(過去スレpart4の628)であるとする。
σ:K → Ω と τ:K → Ω’を埋め込み(過去スレpart4の513)とする。
このとき、|E(σ、L/K、Ω)| = |E(τ、L/K、Ω’)| である。

証明
Ω における σ(K) の相対代数的閉包(>>43)を E とする。
Ω は代数的閉体であるから>>44より E は σ(K) の代数的閉包である。
Ω’における τ(K) の相対代数的閉包を E’とする。
Ω’は代数的閉体であるから>>44より E’は τ(K) の代数的閉包である。

τσ^(-1):σ(K) → τ(K) は同型であるから過去スレpart4の648より同型 f:E → E’で
τσ^(-1) の拡張となっているものが存在する。
σ’:L → Ω を σ の拡張とする。
σ’(L) ⊂ E である。
よって、埋め込み fσ’:L → E’が定義される。
x ∈ K のとき fσ’(x) = fσ(x) = τσ^(-1)σ(x) = τ(x)
よって、fσ’∈ E(τ、L/K、Ω’) である。
σ’∈ E(σ、L/K、Ω) に fσ’∈ E(τ、L/K、Ω’) を対応させる写像を
ψ:E(σ、L/K、Ω) → E(τ、L/K、Ω’) とする。

τ’:L → Ω’を τ の拡張とする。
τ’(L) ⊂ E’である。
よって、埋め込み f^(-1)τ’:L → E が定義される。
x ∈ K のとき f^(-1)τ’(x) = f^(-1)τ(x) = στ^(-1)τ(x) = σ(x)
よって、f^(-1)τ’∈ E(σ、L/K、Ω) である。
τ’∈ E(τ、L/K、Ω’) に f^(-1)τ’∈ E(σ、Ω) を対応させる写像を
φ:E(τ、L/K、Ω’) → E(σ、L/K、Ω) とする。
ψ と φ は互いに逆写像である。
証明終

313 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/07(火) 06:10:01.16
定義
K を可換体とする。
L/K を代数的拡大とする。
Ω を代数的閉体であるとする。
σ:K → Ω を埋め込みとする。
>>312より |E(σ、L/K、Ω)| は Ω と σ の取り方によらない。
|E(σ、L/K、Ω)| を L/K の分離次数と呼び [L : K]_s と書く。

314 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/07(火) 06:34:17.41
命題
K を可換体とする。
L/K を代数的拡大(過去スレpart4の633)とする。
Ω を代数的閉体(過去スレpart4の628)とする。
σ:K → Ω を埋め込み(過去スレpart4の513)とする。
このとき埋め込み τ:L → Ω で σ の拡張となっているものが存在する。

証明
過去スレpart4の636より L は代数的閉包(過去スレpart4の628)L~ を持つ。
>>28より L~/K は代数的であるから L~ は K の代数的閉包でもある。
Ω における σ(K) の相対代数的閉包(>>43)を E とする。
Ω は代数的閉体であるから>>44より E は σ(K) の代数的閉包である。
過去スレpart4の648より同型 f:L~ → E で σ の拡張となっているものが存在する。
f の L への制限を τ:L → E ⊂ Ω とすればよい。
証明終

315 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/07(火) 06:38:49.58
定義
K を可換体とする。
L/K を代数的拡大(過去スレpart4の633)とする。
Ω を代数的閉体(過去スレpart4の628)とする。
σ:K → Ω を埋め込み(過去スレpart4の513)とする。
埋め込み L → Ω で σ の拡張となっているものを σ-埋め込みと言う。

316 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/07(火) 06:44:14.48
命題
K ⊂ L ⊂ E を可換体の塔(過去スレpart4の864)とする。
E/K は代数的であるとする。
このとき、[E : K]_s = [E : L]_s[L : K]_s である。

証明
Ω を代数的閉体(過去スレpart4の628)で μ:K → Ω を埋め込みとする。
>>314より μ-埋め込み(>>315)σ:L → Ω が存在する。
この μ-埋め込み σ:L → Ω を固定する。

>>312より任意の μ-埋め込み ρ:L → Ω に対して
全単射 ψ(σ, ρ):E(σ、E/L、Ω) → E(ρ、E/L、Ω) が存在する。
τ ∈ E(μ、E/K、Ω) のとき ρ を τ の L への制限とする。
τ ∈ E(ρ、E/L、Ω) である。
τ ∈ E(μ、E/K、Ω) に (ρ、ψ(σ, ρ)^(-1)(τ)) ∈ E(μ、L/K、Ω)×E(σ、E/L、Ω) を
対応させることにより写像 ψ:E(μ、E/K、Ω) → E(μ、L/K、Ω)×E(σ、E/L、Ω) が得られる。

逆に (ρ, σ’) ∈ E(μ、L/K、Ω)×E(σ、E/L、Ω)
に ψ(σ, ρ)(σ’) ∈ E(ρ、E/L、Ω) ⊂ E(μ、E/K、Ω) を対応させることにより
写像 φ:E(μ、L/K、Ω)×E(σ、E/L、Ω) → E(μ、E/K、Ω) が得られる。

ψ と φ は互いに逆写像である。
よって、|E(μ、E/K、Ω)| = |E(μ、L/K、Ω)|×|E(σ、E/L、Ω)|
よって、[E : K]_s = [L : K]_s[E : L]_s
証明終

317 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/07(火) 06:54:38.85
命題
K を可換体とする。
L/K を代数的拡大(過去スレpart4の633)とする。
L/K が有限次(過去スレpart4の842)でないなら
L/K の中間体の列 (K_n)、n = 0、1、2、...で以下の条件を満たすものが存在する。
K_0 = K
n ≦ m なら K_n ⊂ K_m
n < m なら K_n ≠ K_m
各 [K_(n+1) : K_n] は有限

証明
L/K は有限次でないから L ≠ K である。
よって、L の元 α_1 で K に含まれないものがある。
K_1 = K(α_1) とおく。
K_1/K は有限次であるから過去スレpart4の561より L/K_1 は有限次でない。
よって、L ≠ K_1 である。
よって、L の元 α_2 で K_1 に含まれないものがある。
K_2 = K_1(α_1) とおく。
以下同様
証明終

318 :132人目の素数さん:2012/02/07(火) 07:01:17.67
どの本をうつしているの?

319 :132人目の素数さん:2012/02/07(火) 07:06:15.80
>>317
証明するまでもないことなんだけどw

320 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/07(火) 07:14:28.39
命題
K を可換体とする。
L/K を分離代数的拡大(過去スレpart4の633)とする。
L/K が有限次(過去スレpart4の842)でないなら [L : K]_s(>>313)は有限でない。

証明
>>317より L/K の中間体の列 (K_n)、n = 0、1、2、...で以下の条件を満たすものが存在する。
K_0 = K
n ≦ m なら K_n ⊂ K_m
n < m なら K_n ≠ K_m
各 [K_(n+1) : K_n] は有限

よって、各 n に対して [K_(n+1) : K_n] > 1 である。
一方、過去スレpart4の561より [K_(n+1) : K] = [K_(n+1) : K_n][K_n : K]
よって、[K_(n+1) : K] > [K_n : K]
よって、n → ∞ のとき lim [K_n : K] = ∞ である。

>>316より [L : K]_s = [L : K_n]_s[K_n : K]_s
一方、過去スレpart1の269より [K_n : K] = [K_n : K]_s
よって、[L : K]_s が有限なら [L : K]_s ≧ [K_n : K] となって
数列 ([K_n : K])、n = 0、1、2、...は有界である。
しかし、n → ∞ のとき lim [K_n : K] = ∞ だからこれは矛盾である。
よって、[L : K]_s は有限でない。
証明終

321 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/07(火) 07:25:21.66
命題
K を可換体とする。
K の標数(過去スレpart4の667)を p > 0 とする。
L/K を代数的拡大(過去スレpart4の633)とする。
L/K が純非分離(過去スレpart4の861)であるためには [L : K]_s = 1 が必要十分である。

証明
過去スレpart2の502による。

322 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/07(火) 07:30:11.03
命題
K を可換体とする。
L/K を代数的拡大(過去スレpart4の633)とする。
L_s を K の L における相対分離的閉包(過去スレpart4の890)とする。
このとき [L : K]_s = [L_s : K]_s である。

証明
K の標数(過去スレpart4の667)が 0 なら>>271より L/K は分離的である。
よって、L = L_s であるから [L : K]_s = [L_s : K]_s である。
よって、K の標数(過去スレpart4の667)を p > 0 とする。
>>316より [L : K]_s = [L : L_s]_s[L_s : K]_s である。
過去スレpart2の485より L/L_s は純非分離(過去スレpart2の484)である。
よって、>>321より [L : L_s]_s = 1 である。
よって、[L : K]_s = [L_s : K]_s である。
証明終

323 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/07(火) 07:38:24.56
命題
K を可換体とする。
L/K を代数的拡大(過去スレpart4の633)とする。
L_s を K の L における相対分離的閉包(過去スレpart4の890)とする。
[L : K]_s < ∞ であるためには [L_s : K] < ∞ が必要十分である。
このとき [L : K]_s = [L_s : K] である。

証明
[L : K]_s < ∞ とする。
>>322より [L_s : K]_s < ∞
過去スレpart1の269より [L_s : K] = [L_s : K]_s < ∞

逆に [L_s : K] < ∞ とする。
一方、過去スレpart1の269より [L_s : K] = [L_s : K]_s
>>322より [L : K]_s = [L_s : K]_s
よって、[L : K]_s = [L_s : K]
よって、[L : K]_s < ∞ である。
証明終

324 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/07(火) 07:45:51.56
命題
K を可換体とする。
L/K を正規拡大(過去スレpart4の844)とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
M を L/K の中間体(過去スレpart4の854)とする。
M_s を M における K の相対分離的閉包(過去スレpart4の890)とする。
H = Aut(L/M) とする。
このとき [G : H] = [M_s : K]_s である。

証明
過去スレpart1の493または494より
[G : H] = |E(M/K)| である。
[M : K]_s の定義(>>313)より |E(M/K)| = [M : K]_s
>>322より [M : K]_s = [M_s : K]_s
よって、[G : H] = [M_s : K]_s
証明終

325 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/07(火) 08:09:38.85
命題
K を可換体とする。
L/K を正規拡大(過去スレpart4の844)とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
>>231より G は標準位相で位相群となる。
M を L/K の中間体(過去スレpart4の854)とする。
M_s を M における K の相対分離的閉包(過去スレpart4の890)とする。
H = Aut(L/M) とする。
このとき M_s/K が有限であるためには H が G の開部分であることが必要十分である。
このとき [G : H] = [M_s : K] である。

証明
必要性:
M_s/K が有限であるとする。
過去スレpart1の269より [M_s : K]_s = [M_s : K] である。
>>324より [G : H] = [M_s : K]_s である。
よって、[G : H] = [M_s : K] となり [G : H] は有限である。
>>252より H は G の閉部分群である。
よって、>>214より H は G の開部分である。

十分性:
H が G の開部分であるとする。
>>239より G は準コンパクト(>>64)である。
よって、>>213より [G : H] は有限である。
よって、>>324より [M_s : K]_s は有限である。
過去スレpart1の269より [M_s : K]_s = [M_s : K] である。
よって、M_s/K は有限である。
証明終

326 :132人目の素数さん:2012/02/07(火) 08:57:04.55
どの本をうつしているの?

327 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/07(火) 09:21:38.31
命題
K を可換体とする。
L/K を任意の拡大(過去スレpart4の512)とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
M を L/K の中間体(過去スレpart4の854)とする。
Aut(L/M) ⊂ Aut(L/K) である。
このとき Aut(L/M) の標準位相(>>216)は Aut(L/K) の標準位相の部分位相である。

証明
Aut(L/M) と Aut(L/K) の標準位相はそれぞれ L^L の部分空間であることから明らかである。

328 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/07(火) 09:24:35.05
補題
X と Y を位相空間とする。
Z を Y の部分空間とし、ι:Z → Y を包含写像とする。
g:X → Z を写像とする。
f = ιg とおく。
f:X → Y が連続なら g も連続である。

証明
V を Z の任意の開集合とする。
Y の開集合 U があり V = Z ∩ U となる。
f^(-1)(U) = g^(-1)(ι^(-1)(U)) = g^(-1)(V)
f は連続だから f^(-1)(U) = g^(-1)(V) は開集合である。
よって、g は連続である。
証明終

329 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/07(火) 09:29:48.08
補題
K を可換体とする。
H/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
L と F を H/K の中間体とする。
L/K を正規拡大(過去スレpart4の844)とする。
>>262より、LF/F は正規拡大である。
K ⊂ L∩F ⊂ L であるから過去スレpart1の172より L/L∩F は正規拡大である。
過去スレpart4の876より、任意の σ ∈ Aut(LF/F) に対して σ(L) = L である。
よって、σ の L への制限 σ|L は Aut(L/(L∩F)) の元である。
このとき σ ∈ Aut(LF/F) に σ|L ∈ Aut(L/(L∩F)) を対応させる写像
ρ:Aut(LF/F) → Aut(L/(L∩F)) は連続である。

証明
Aut(L/(L∩F)) ⊂ Aut(L/F) である。
>>327より Aut(L/(L∩F)) は Aut(L/F) の部分空間である。
ι:Aut(L/(L∩F)) → Aut(L/F) を包含写像とする。
π = ιρ とおく。
>>242より π:Aut(LF/F) → Aut(L/F) は連続である。
よって、>>328より ρ:Aut(LF/F) → Aut(L/(L∩F)) は連続である。
証明終

330 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/07(火) 10:12:36.67
補題
K を可換体とする。
L/K を正規拡大(過去スレpart4の844)とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
>>231より G は標準位相(>>216)で位相群となる。
以下>>247>>282の記法を使う。
M を L/K の中間体とする。
H を G の閉部分群とする。
このとき k(H) = M~ なら H = g(M) である。

証明
正規拡大に関するGaloisの基本定理(>>282)より kg(M) = M~ である。
よって、kg(M) = k(H)
>>282より g(M) は G の閉部分群である。
よって、>>282より H = g(M) である。
証明終

331 :132人目の素数さん:2012/02/07(火) 10:16:41.67
>>326
無限次の(Galois拡大とは限らない)正規拡大のこのあたりを扱ってる本は見たことない

332 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/07(火) 21:13:49.59
定義
K を可換体とする。
K の特性指数(characteristic exponent) q を以下のように定義する。

(1)K の標数(過去スレpart4の667)が 0 のとき: q = 1

(2)K の標数が p > 0 のとき: q = p

333 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/07(火) 21:23:44.11
次の定義は K の標数(過去スレpart4の667)が p > 0 のとき過去スレpart4の859の定義と一致する。

定義
K を可換体とする。
K の特性指数(>>332)を q とする。
L/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
α を L の元とする。
α^(q^r) ∈ K となる整数 r ≧ 0 が存在するとき
α は K 上純非分離(purely inseparable over K)であると言う。
このような r の最小値を α の K 上の指数と呼ぶ。

334 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/07(火) 21:36:01.24
次の定義は K の標数(過去スレpart4の667)が p > 0 のとき過去スレpart4の895の定義と一致する。

定義
K を可換体とする。
K の特性指数(>>332)を q とする。
L/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
L の元で K 上純非分離(>>333)なもの全体を M とする。
q = 1 のときは M = K である。
q ≠ 1 のときは過去スレpart4の893より M は L/K の中間体(過去スレpart4の854)となる。
M を L における K の相対純非分離閉包または純非分離閉包と言う。

335 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/07(火) 23:17:09.35
命題(過去スレpart1の505の拡張)
K を可換体とする。
E/K を拡大とする。
L と F を E/K の中間体(過去スレpart4の854)とする。
L/K を正規拡大(過去スレpart4の844)とする。
>>262より、LF/F は正規拡大である。
K ⊂ L∩F ⊂ L であるから過去スレpart1の172より L/L∩F は正規拡大である。
過去スレpart4の876より、任意の σ ∈ Aut(LF/F) に対して σ(L) = L である。
よって、σ の L への制限 σ|L は Aut(L/(L∩F)) の元である。
このとき σ ∈ Aut(LF/F) に σ|L ∈ Aut(L/(L∩F)) を対応させる写像 ρ は
Aut(LF/F) から Aut(L/(L∩F)) への位相群としての同型である。

証明
>>329より、ρ:Aut(LF/F) → Aut(L/(L∩F)) は連続である。
ρ が準同型であることは明らかである。
σ が ρ の核の元なら σ は L の各元を固定する。
一方、σ は F の各元を固定するから σ = 1 である。
よって、ρ は単射である。
>>239より Aut(LF/F) は準コンパクトであり、>>238より Aut(L/(L∩F)) はHausdorffである。
よって、>>210より ρ が全射であることを証明すればよい。
ρ の像を H とする。
H = Aut(L/(L∩F)) を示せばよい。
Aut(LF/F) は準コンパクトでありρ は連続であるから
>>71より H は Aut(L/(L∩F)) の準コンパクトな部分群である。
Aut(L/(L∩F)) はHausdorffだから>>69より H は Aut(L/(L∩F)) の閉部分群である。
よって、>>330より (L∩F)~ = L^H を示せばよい。
ここで、(L∩F)~ は L における L∩F の相対純非分離閉包(>>334)である。

(続く)

336 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/07(火) 23:17:49.00
>>335の続き

H ⊂ Aut(L/(L∩F)) だから L∩F ⊂ L^H である。
>>282より (L^H)~ = L^H だから (L∩F)~ ⊂ (L^H)~ = L^H である。

逆に α ∈ L^H とする。
任意の σ ∈ Aut(LF/F) に対して σ|L ∈ H であるから σ(α) = α である。
よって、>>282より、α ∈ F~ である。
ここで、F~ は LF における F の相対純非分離閉包(>>334)である。
よって、α ∈ L∩F~ である。

K の特性指数(>>332)を q とすると α^(q^e) ∈ F となる整数 e ≧ 0 がある。
α ∈ L だから α^(q^e) ∈ L
よって、α^(q^e) ⊂ L∩F である。
よって、α ∈ (L∩F)~ である。
よって、L^H ⊂ (L∩F)~ である。
証明終

337 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/07(火) 23:39:21.16
命題
K を可換体とする。
E/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
L_1、...、L_n を E/K の中間体(過去スレpart4の854)で
各 L_i/K は正規拡大(過去スレpart4の844)とする。
L を L_1、...、L_n の合成体(>>298)とする。
このとき L/K は正規拡大である。

証明
過去スレpart1の173と同様である。

338 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/07(火) 23:46:43.34
命題
K を可換体とする。
E/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
L_1、...、L_n を E/K の中間体(過去スレpart4の854)で
各 L_i/K は正規拡大(過去スレpart4の844)とする。
L を L_1、...、L_n の合成体(>>298)とする。
>>337より L/K は正規拡大である。
G_i = Aut(L_i/K)、i = 1、...、n とおく。
G = Aut(L/K) とおく。
過去スレpart4の876より、任意の σ ∈ G に対して σ|L_i ∈ G_i、i = 1、...、n となる。
ここで σ|L_i は σ の定義域を L_i に制限した写像である。
σ ∈ G に (σ|L_1、...、σ|L_n) ∈ (G_1)×...×(G_n) を
対応させることにより写像 λ:G → (G_1)×...×(G_n) が定義される。
このとき、λ は連続な単射準同型である。

証明
λ が準同型であることは明らかである。
>>242より各 i に対して σ ∈ G に σ|L_i ∈ G_i を対応させる写像は連続である。
よって、λ は連続である。
σ ∈ G が各 L_i の全ての元を固定すれば、σ は L の全ての元を固定する。
よって、σ = 1 である。
よって、λ は単射である。
証明終

339 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/08(水) 00:00:53.72
命題
K を可換体とする。
E/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
L_1、L_2 を E/K の中間体(過去スレpart4の854)で各 L_i/K は正規拡大とする。
L を L_1、L_2 の合成体(>>298)とする。
>>337より L/K は正規拡大である。
G_i = Aut(L_i/K)、i = 1、2 とおく。
G = Aut(L/K) とおく。
このとき、L_1 ∩ L_2 = K であれば、>>338の λ:G → (G_1)×(G_2) は位相群の同型である。

証明
>>338より、λ は連続な単射準同型である。
>>239より G は準コンパクトで>>238より (G_1)×(G_2) はHausdorffだから
>>74より λ が全射であることを証明すればよい。
>>335より、任意の τ_1 ∈ G_1 に対して σ_1 ∈ Aut(L/L_2) で σ_1|L_1 = τ_1 となるものがある。
σ_1|L_2 = 1 だから λ(σ_1) = (τ_1、1) である。
同様に、任意の τ_2 ∈ G_2 に対して σ_2 ∈ G(L/L_1) で σ_2|L_2 = τ_2 となるものがある。
σ_2|L_1 = 1 だから λ(σ_2) = (1、τ_2) である。
このとき、λ(σ_1σ_2) =λ(σ_1)λ(σ_2) = (τ_1、1)(1、τ_2) = (τ_1、τ_2)
よって、λ は全射である。
証明終

340 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/08(水) 07:11:54.37
命題
Ψ を可換体の拡大(過去スレpart4の512)からなる正則(>>27)な類とする。
K を可換体とする。
H/K を拡大とする。
E と F を H/K の中間体(過去スレpart4の854)で E/K ∈ Ψ、F/K ∈ Ψ とする。
EF を H における E と F の合成体(過去スレpart4の901)とする。
このとき EF/K ∈ Ψ である。

証明
E/K ∈ Ψ であるから>>27の(2)より EF/F ∈ Ψ である。
F/K ∈ Ψ であるから>>27の(1)より EF/K ∈ Ψ である。
証明終

341 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/08(水) 07:20:52.94
命題
Ψ を可換体の拡大(過去スレpart4の512)からなる正則(>>27)な類とする。
K を可換体とする。
E/K を拡大とする。
L_1、...、L_n を E/K の中間体(過去スレpart4の854)で
各 L_i/K は Ψ に属すとする。
L を E における L_1、...、L_n の合成体(>>298)とする。
このとき L/K ∈ Ψ である。

証明
n に関する帰納法による。
n = 1 のときは自明である。
n ≧ 2 とする。
M を L_1、...、L_(n-1) の合成体とする。
帰納法の仮定より M/K ∈ Ψ である。
L は M と L_n の合成体である。
よって、>>340より L/K ∈ Ψ である。
証明終

342 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/08(水) 07:22:22.75
命題
Ψ を可換体の分離代数的拡大(過去スレpart4の843)の全体の類とする。
このとき Ψ は正則(>>27)である。

証明
過去スレpart1の284と同様である。

343 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/08(水) 07:38:07.26
命題
K を可換体とする。
E/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
L_1、...、L_n を E/K の中間体(過去スレpart4の854)で
各 L_i/K はGalois拡大(過去スレpart4の848)とする。
L を E における L_1、...、L_n の合成体(>>298)とする。
このとき L/K はGalois拡大である。

証明
>>337より L/K は正規拡大である。
>>342>>341より L/K は分離代数的拡大である。
よって、L/K はGalois拡大である。
証明終

344 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/08(水) 09:01:36.09
補題
K を可換体とする。
L/K を正規拡大(過去スレpart4の844)とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
K の L における相対純非分離閉包(>>334)を K~ とする。
このとき G = Aut(L/K~) である。

証明
以下>>247の記法を使う。
G = g(K~) を証明すれば良い。
G = g(K) だから>>282より k(G) = k(g(K)) = K~
>>282より gk(G) = G~ = G
よって、G = gk(G) = g(K~)
証明終

345 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/08(水) 09:18:33.05
補題
K を可換体とする。
L/K を正規拡大(過去スレpart4の844)とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
K の L における相対純非分離閉包(>>334)を K~ とする。
H を G の閉部分群とする。
このとき L^H ⊂ K~ なら H = G である。

証明
L^(H) ⊂ K~ より Aut(L/L^(H)) ⊃ Aut(L/K~)
>>344より G = Aut(L/K~) である。
よって、Aut(L/L^H) = G
一方、H は G の閉部分であるから>>282より H = Aut(L/L^H)
よって、H = G
証明終

346 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/08(水) 10:14:40.74
命題
G を群とする。
e を G の単位元とする。
H_i 、i = 1、2 を G の正規部分群とする。

H_1 ∩ H_2 = {e}
G = (H_1)(H_2)
とする。

(x, y) ∈ (H_1)×(H_2) に xy ∈ G を対応させる写像を f:(H_1)×(H_2) → G とする。
このとき f は群の同型である。

証明
(x, y) ∈ (H_1)×(H_2) とし、z = xy(yx)^(-1) とおく。
z = xyx^(-1)y^(-1) である。
yx^(-1)y^(-1) ∈ H_1 だから z = x(yx^(-1)y^(-1)) ∈ H_1
xyx^(-1) ∈ H_2 だから z = (xyx^(-1))y^(-1) ∈ H_2
よって、z ∈ H_1 ∩ H_2 = {e}
よって、z = e
よって、xy = yx

よって、f:(H_1)×(H_2) → G は群の準同型である。
G = (H_1)(H_2) だから f は全射である。
f(x, y) = e なら xy = e
x = y^(-1) ∈ H_1 ∩ H_2 = {e}
よって、x = y = e
よって、f は単射である。
証明終

347 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/08(水) 10:35:07.05
命題
G をコンパクト(>>64)な位相群とする。
e を G の単位元とする。
H_i 、i = 1、2 を G の閉正規部分群とする。

H_1 ∩ H_2 = {e}
G = (H_1)(H_2)
とする。

(x, y) ∈ (H_1)×(H_2) に xy ∈ G を対応させる写像を g:(H_1)×(H_2) → G とする。
このとき g は位相群の同型である。

証明
各 H_i は G の閉部分群であるから>>68より各 H_i は準コンパクトである。
よって、Tychonoffの定理(代数的整数論009の432)より (H_1)×(H_2) は準コンパクトである。
>>346より g は群の同型である。
(x, y) ∈ G×G に xy ∈ G を対応させる写像を f:G×G → G とする。
f は連続であるから g も連続である。
よって、>>74より g は位相群としての同型である。
証明終

348 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/08(水) 10:48:41.11
命題
K を可換体とする。
E/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
L_1、L_2 を E/K の中間体(過去スレpart4の854)で各 L_i/K は正規拡大とする。
L を E における L_1 と L_2 の合成体(>>298)とする。
G = Aut(L/K)
H_i = Aut(L/L_i)、i = 1、2 とおく。
各 L_i の L における相対純非分離閉包(>>334)を (L_i)~ とする。
K の L における相対純非分離閉包を K~ とする。
(L_1)~ ∩ (L_2)~ ⊂ K~ とする。
このとき G は H_1 と H_2 の位相群としての直積である。

証明
>>337より L/K は正規拡大である。
>>261より 各 H_i は G の正規部分群である。
>>252より各 H_i は G の閉部分群である。
>>299より H_1 ∩ H_2 = {1} である。
H = (H_1)(H_2) とおく。
>>239より G はコンパクトである。
よって、>>347より G = H を示せばよい。

(続く)

349 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/08(水) 10:49:19.15
>>348の続き

各 H_i は G の正規部分群であるから H は G の部分群である。
>>327より各 H_i の G の部分空間としての位相は各 H_i の標準位相である。
>>239より各 H_i は準コンパクトである。
よって、Tychonoffの定理(代数的整数論009の432)より直積 (H_1)×(H_2) は準コンパクトである。
(x, y) ∈ G×G に xy ∈ G を対応させる写像を f:G×G → G とする。
f は連続であり f((H_1)×(H_2)) = H であるから、>>71より H は準コンパクトである。
>>238より G はHausdorffであるから>>69より H は G の閉部分群である。
一方、>>282より L^(H_i) = (L_i)~、i = 1、2 である。
L^H ⊂ L^(H_i)、i = 1、2 であるから L^H ⊂ L^(H_1) ∩ L^(H_2) = (L_1)~ ∩ (L_2)~ ⊂ K~
よって、>>345より H = G である。
証明終

350 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/08(水) 14:59:41.54
命題
L を可換体とする。
E と F を L の部分体とする。
このとき E[F](過去スレpart4の539)の任意の元は x_1y_1 + ...+ x_ny_n と書ける。
ここで、x_i ∈ E、y_i ∈ F、i = 1、...、n である。
逆にこのように書ける L の元は E[F] の元である。

証明
上記のように書ける L の元全体 A は L の部分環である。
E ⊂ A、F ⊂ A だから E[F] ⊂ A である。
A ⊂ E[F] は明らかだから E[F] = A である。
証明終

351 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/08(水) 15:05:29.47
命題
K を可換体とする。
L/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
E と F を L/K の中間体(過去スレpart4の854)とする。
F/K は代数的(過去スレpart4の633)とする。
このとき E[F](過去スレpart4の539)は E と F の合成体(過去スレpart4の901)である。

証明
F の各元は K 上代数的(過去スレpart4の553)であるから E 上代数的でもある。
よって、過去スレpart4の609より本命題が従う。
証明終

352 :132人目の素数さん:2012/02/08(水) 15:42:26.85
おい、間違いだらけを直しておけ

353 :132人目の素数さん:2012/02/08(水) 16:39:30.00
アホは正しいことを間違いと思うし、間違いを正しいと思う
要するに判断力がない

354 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/08(水) 18:07:18.00
命題
K を可換体とする。
L/K をGalois拡大(過去スレpart4の848)とする。
G = Aut(L/K) とおく。
(E_i)、i ∈ I を L/K の中間体(過去スレpart4の854)の族とする。
各 i ∈ I に対して H_i = Aut(L/E_i) とおく。
H = ∩H_i とおく。
このとき L^H は (E_i)、i ∈ I の合成体(>>298)である。

証明
以下>>247の記法を使う。
E を (E_i)、i ∈ I の合成体とする。
>>299より g(E) = ∩g(E_i) である。
ここで、∩g(E_i) = ∩H_i = H であるから g(E) = H
よって、>>288より E = k(g(E)) = k(H)
証明終

355 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/08(水) 18:32:52.41
命題
K を可換体とする。
L/K をGalois拡大(過去スレpart4の848)とする。
G = Aut(L/K) とおく。
(E_i)、i ∈ I を L/K の中間体(過去スレpart4の854)の族とする。
E = ∩E_i とおく。
このとき、>>247の記法で g(E) は ∪g(E_i) を含む G の最小の閉部分群である。

証明
∪g(E_i) を含む G の最小の閉部分群を H とする。
各 i ∈ I に対して E ⊂ E_i であるから g(E) ⊃ g(E_i)
>>288より g(E) は G の閉部分群であるから g(E) ⊃ H
逆の包含関係を示せばよい。
各 i ∈ I に対して g(E_i) ⊂ H であるから>>288より E_i = k(g(E_i)) ⊃ k(H)
よって、E ⊃ k(H)
よって、>>288より g(E) ⊂ g(k(H)) = H
証明終

356 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/08(水) 18:54:25.66
命題
K を可換体とする。
L/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
F と N を L/K の中間体(過去スレpart4の854)で F ∩ N = K とする。
N/K はGalois拡大(過去スレpart4の848)とする。
このとき F と N は K 上線型無関連(過去スレpart4の713)である。

証明
α_1、...、α_n を N の元で K 上線型独立とする。
K(α_1、...、α_n) の N における正規閉包(>>258)を E とする。
>>259より E/K は有限生成(>>215)である。
よって、>>250より E/K は有限次拡大である。
N/K は分離的(過去スレpart4の843)であるから E/K はGalois拡大である。
E ⊂ N だから F ∩ E ⊂ F ∩ N = K
よって、F ∩ E = K である。
よって、>>51より F と E は K 上線型無関連(過去スレpart4の713)である。
過去スレpart4の717より α_1、...、α_n は F 上線型独立である。
よって、再び過去スレpart4の717より F と N は K 上線型無関連である。
証明終

357 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/08(水) 20:03:14.62
次の定義は K の標数(過去スレpart4の667)が p > 0 のとき過去スレpart4の861の定義と一致する。

定義
K を可換体とする。
L/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
L の各元が K 上純非分離(>>333)なとき L は K 上純非分離である、
または L/K は純非分離であると言う。

358 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/08(水) 20:19:05.90
命題
K を可換体とする。
L/K を代数的拡大(過去スレpart4の633)とする。
L/K が純非分離(>>357)であるためには [L : K]_s = 1 が必要十分である。

証明
K の標数(過去スレpart4の667)が p ≠ 0 のときは>>321で証明済みである。
よって、K の標数は 0 と仮定する。
>>271より L/K は分離的(過去スレpart4の843)である。

L/K が純非分離なら定義(>>357)より L = K である。
よって、[L : K]_s = 1 である。

逆に [L : K]_s = 1 なら>>320より [L : K] は有限である。
よって、過去スレpart1の269より [L : K] = [L : K]_s = 1
よって、L = K である。
よって、L/K は純非分離である。
証明終

359 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/08(水) 20:25:07.46
命題
K を可換体とする。
L/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
L/K が分離代数的(過去スレpart4の843)かつ純非分離(>>357)なら L = K である。

証明
L/K は純非分離だから>>358より [L : K]_s = 1 である。
L/K は分離代数的だから>>320より [L : K] は有限である。
よって、過去スレpart1の269より [L : K] = [L : K]_s = 1
よって、L = K である。
証明終

360 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/08(水) 20:33:45.57
命題
K を可換体とする。
L/K を代数的拡大(過去スレpart4の633)とする。
L_s を K の L における相対分離的閉包(過去スレpart4の890)とする。
このとき、L/L_s は純非分離(>>357)である。

証明
K の標数(過去スレpart4の667)が p ≠ 0 のときは過去スレpart2の485より明らかである。
よって、K の標数は 0 と仮定する。
>>271より L/K は分離的(過去スレpart4の843)である。
よって、L = L_s である。
よって、定義(>>357)より L/L_s は純非分離である。
証明終

361 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/08(水) 21:30:10.89
命題
K を可換体とする。
L/K を正規拡大(過去スレpart4の844)とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
K の L における相対分離的閉包(過去スレpart4の890)を L_s とする。
K の L における相対純非分離閉包(>>334)を K~ とする。
このとき以下が成り立つ。

(1) L_s/K はGalois拡大(過去スレpart4の848)である。
(2) L は K~ と L_s の合成体(>>298)である。
(3) K = K~ ∩ L_s
(4) K~ と L_s は K 上線型無関連(過去スレpart4の713)である。

証明
(1)
α ∈ L_s の K 上の最小多項式(過去スレpart4の557)を f(X) とする。
L/K は正規拡大だから f(X) は L で分解(>>534)する。
f(X) の L における任意の根は K 上分離的であるから L_s に属す。
よって、f(X) は L_s で分解する。
よって、L_s/K は正規拡大である。
L_s/K は分離的だから L_s/K はGalois拡大である。

(続く)

362 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/08(水) 21:30:49.51
>>361の続き

(2)
E を K~ と L_s の合成体とする。
>>282より L^G = K~ である。
よって、>>266より L/K~ はGalois拡大である。
よって、L/K~ は分離的である。
よって、>>342より L/E は分離的である。
一方、>>360より L/L_s は純非分離(>>357)である。
よって、L/E は純非分離である。
以上から L/E は分離的かつ純非分離である。
よって、>>359より L = E である。

(3)
K~ ∩ L_s は K 上分離的かつ純非分離である。
よって、>>359より K = K~ ∩ L_s である。

(4)
>>356を K~ と L_s に適用すればよい。
証明終

363 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/08(水) 21:39:42.15
分離的とは限らない方程式のGalois理論を述べる。

364 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/08(水) 21:41:11.24
定義
L/K を素冪根単純拡大(part2の159)とする。
[L : K] が K の標数と一致するとき L/K を非正則な素冪根単純拡大と呼ぶ。

365 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/08(水) 21:54:24.35
定義
K = K_0 ⊂ K_1 ⊂ ...⊂ K_n = L を体(part1の82)の塔(過去スレpart4の864)とする。
各 K_i/K_(i-1)、i = 1、...、n が以下のどれかとする。
(1)正則な素冪根単純拡大(part2の160)
(2)Artin-Schreier拡大(part2の369)
(3)非正則な素冪根単純拡大

このとき L/K を一般素冪根拡大と呼ぶ。

366 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/08(水) 21:56:52.68
定義
L/K を拡大(part1の82)とする。
一般素冪根拡大(>>365) E/K があり L ⊂ E となるとき
L/K を一般素冪根可解と言う。

367 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 00:52:40.82
一人でゼミして楽しい?


368 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 00:58:45.96
黒板に向かって一人でやると結構楽しいよ

369 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/09(木) 05:03:56.02
定義
K を可換体とする。
L/K を正規拡大(過去スレpart4の844)とする。
Aut(L/K)(過去スレpart4の847)が可解(part1の550)なとき L/K を可解な正規拡大と言う。

370 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/09(木) 05:07:55.17
定義
K を可換体とする。
L/K を代数的拡大(過去スレpart4の633)とする。
可解な正規拡大(>>369)E/K があり L ⊂ E となるとき L/K を一般準可解拡大と言う。

371 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/09(木) 05:21:51.61
定義
K を可換体とする。
L/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
p を素数とする。
a ∈ K を X^p - a が K[X] で既約となるような元とする。
α を X^p - a の L における根の一つとする。
L = K(α)(過去スレpart4の539)とする。
このとき、L/K を素冪根単純拡大と呼ぶ。

372 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/09(木) 05:26:10.39
定義
K を可換体とする。
L/K を素冪根単純拡大(>>371)とする。
[L : K](過去スレpart4の560)が K の標数と異なるとき、
L/K を正則な素冪根単純拡大と呼ぶ。

373 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/09(木) 05:29:05.70
定義
K を可換体とする。
L/K を素冪根単純拡大(>>371)とする。
[L : K](過去スレpart4の560)が K の標数(過去スレpart4の667)と一致するとき
L/K を非正則な素冪根単純拡大と呼ぶ。

374 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/09(木) 05:36:51.35
定義
K を可換体とする。
K の標数(過去スレpart4の667)を p ≠ 0 とする。
L/K をGalois拡大(過去スレpart4の848)とする。
Gal(L/K)(過去スレpart4の848)が p 次の巡回群のとき L/K をArtin-Schreier拡大と呼ぶ。

375 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/09(木) 05:41:08.54
定義
K = K_0 ⊂ K_1 ⊂ ...⊂ K_n = L を可換体の塔(過去スレpart4の864)とする。
各 K_i/K_(i-1)、i = 1、...、n が以下のどれかとする。

(1)素冪根単純拡大(>>371
(2)Artin-Schreier拡大(>>374

このとき L/K を一般素冪根拡大と呼ぶ。

376 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/09(木) 05:47:23.77
定義
K を可換体とする。
L/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
一般素冪根拡大(>>375)E/K があり L が E/K の中間体(過去スレpart4の854)となるとき
L/K を一般素冪根可解と言う。

377 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/09(木) 06:41:49.54
命題
B を可換環とする。
(A_i)、i ∈ I を B の部分環の族とする。
各 A_i を含む B の最小の部分環を A とする。
このとき A は x_1...x_n の形の B の元の有限和全体である。
ここで x_k ∈ A_(i_k)、k = 1、...、n であり、
i_1、...、i_n は I の元からなる有限列である。

証明
ほとんど自明である。

378 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/09(木) 06:54:42.13
定義
K を可換体とする。
L/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
A を L の部分環で K を含むとする。
A の各元は K 上代数的(過去スレpart4の553)であるとする。
このとき A は L の部分体である。

証明
α ≠ 0 を A の任意の元とする。
1/α ∈ A を示せば良い。
過去スレpart4の598より K[α](過去スレpart4の552)は可換体である。
よって、1/α ∈ K[α] ⊂ A
証明終

379 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/09(木) 07:16:11.17
命題
K を可換体とする。
L/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
(E_i)、i ∈ I を L/K の中間体(過去スレpart4の854)の族とする。
各 E_i は K 上代数的(過去スレpart4の633)であるとする。
E を (E_i)、i ∈ I の合成体(>>298)とする。
このとき E は x_1...x_n の形の L の元の有限和全体である。
ここで x_k ∈ E_(i_k)、k = 1、...、n であり、
i_1、...、i_n は I の元からなる有限列である。

証明
各 E_i を含む L の最小の部分環を A とする。
>>377より A は x_1...x_n の形の L の元の有限和全体である。
ここで x_k ∈ E_(i_k)、k = 1、...、n であり、
i_1、...、i_n は I の元からなる有限列である。
A ⊂ E であるから逆の包含関係を示せばよい。
過去スレpart4の586と過去スレpart4の605より A の各元は K 上代数的である。
よって、>>378より A は L の部分体である。
よって、A = E である。
証明

380 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/09(木) 08:17:27.93
命題
K を可換体とする。
E/K を正規拡大(過去スレpart4の844)とする。
L を E/K の中間体(過去スレpart4の854)とする。
N を L の E における正規閉包(>>258)とする。
>>256より Homalg(L, E)(>>255)は L から E への K-埋め込み(過去スレpart4の514)全体の集合である。
このとき N は {σ(L):σ ∈ Homalg(L, E)} の合成体(>>298)である。

証明
M を {σ(L):σ ∈ Homalg(L, E)} の合成体とする。
α ∈ L の K 上の最小多項式(過去スレpart4の557)を f(X) とする。
各 σ ∈ Homalg(L, E) に対して σ(α) は f(X) の根であるから σ(α) ∈ N である。
よって、σ(L) ∈ N
よって、M ⊂ N である。
逆の包含関係を示せばよい。

任意の τ ∈ Aut(E/K)(過去スレpart4の847)に対して τ(M) ⊂ M を証明しよう。
>>379より、任意の x ∈ M は σ_1(x_1)...σ_n(x_n) の形の元の有限和である。
ここで、σ_1、...、σ_n は Homalg(L, E) の元であり、
x_1、...、x_n は L の元である。
よって、τ(x) は τσ_1(x_1)...τσ_n(x_n) の形の元の有限和である。
各 σ_i ∈ Homalg(L, E) に対して τσ_i ∈ Homalg(L, E) である。
よって、τ(x) ∈ M である。
よって、τ(M) ⊂ M である。
よって、過去スレpart4の865より τ(M) = M である。
過去スレpart1の468より M/K は正規拡大である。
L ⊂ M だから N ⊂ M である。即ち N = M である。
証明終

381 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/09(木) 08:39:45.58
命題
K と E を可換体とする。
L/K を正規拡大(過去スレpart4の844)とする。
σ: L → E を任意の埋め込み(過去スレpart4の513)とする。
このとき、σ(L)/σ(K) は正規拡大であり、Aut(L/K) と Aut(σ(L)/σ(K)) は同型である。

証明
ほとんど自明である。

382 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 09:42:35.04
>>942 名前:132人目の素数さん :2012/01/21(土) 12:50:42.96
>>それを言わなきゃ謝罪のしようがない

と、謝罪について言及するが、
>>944 名前:132人目の素数さん :2012/01/21(土) 13:05:21.22
>>で賠償はいくらで誰に払えと?

と、ここでは打って変わって、謝罪の一言もナイ
これでは、言葉をもてあそんでいるだけだ。

383 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 09:43:32.01
>内容についてわからないことがあったら遠慮なく
>質問してください。その他、内容についてのご意見は歓迎します。

これは、次のように修正してください。
ーーーーーーーー修正 案ーーー
内容についてわからないことがあったら遠慮なく
質問してください。ただし、Kummer ◆g2BU0D6YN2 のつごうにより
一方的に対応を打ち切る
ことがあります。
ーーーーーーーー修正 案 終わり ーーー

Kummer、打ち切リの一例(以下参照)

>338 :132人目の素数さん:2012/01/10(火) 17:43:36.28
この話題に関しては今後ノーコメントにします(Kummer)

384 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 09:58:02.41
331 :132人目の素数さん:2012/02/07(火)
無限次の(Galois拡大とは限らない)正規拡大のこのあたりを扱ってる本は見たことない

類体論には、無限次のGalois拡大を考えれば十分ではないの?
類体論を目的とする時、無限次の(Galois拡大とは限らない)正規拡大を考えて、
何の利点があるの?

385 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 09:58:39.44
>>382
人を殺したりレイプしたりしてる人間に何を言っても無駄w

386 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 10:01:27.75
>>384
ここは
>Galois生誕200周年を記念して Kummer ◆g2BU0D6YN2 がGalois理論とそれに関連する話題を
語るスレです。


387 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 10:06:05.67
人を○したりレ○○したりしてる人間によると↓
>つまり意識的に書いたもの。
>そいつは俺が読者サービスで書いたものでコテハンを消し忘れたわけじゃない。

サービス、サービスぅ♪(スミマセン。某アニメネタと気付いた人だけ笑って下さい)

388 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 10:07:25.61
人を○したりレ○○したりしてる人間によると↓
>そいつは俺が読者サービスで書いたものでコテハンを消し忘れたわけじゃない。

その一例↓
28 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2011/12/27(火)
そこまで言うならおまんこ解析とか言えよ
(過去スレ ガロア生誕200周年記念スレ part 4 において)

389 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 10:11:05.34
>>20
part1の149
>f の Ω における全ての根を α_1、...、α_n とする。
>K(α_1、...、α_n) (>>91)を f(X) の最小分解体と言う。

このように定義しておきながら、なぜ
part4の541 で また改めて、最小分解体を定義するのか?

390 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 11:14:06.57
>>384
>類体論を目的とする時、無限次の(Galois拡大とは限らない)正規拡大を考えて、
>何の利点があるの?

物事は一般化することにより余計なものがそぎ落とされてその本質が見えてくることがある。
小さな例だが任意の拡大体に関するGalois対応(>>248)を考えることにより
Galois理論がより分かりやすくなる。
Grothendieckのscheme理論もそう。
可換体の代わりに可換環を基礎におくことにより代数幾何がより統一的に扱えるようになった。

391 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 11:22:58.96
>>389
part4の541の最小分解体はpart1の149の最小分解体であるが逆は成り立たない。
part1の149の最小分解体は Ω という固定された代数的閉体の部分体であるが
part4の541の最小分解体は違う。
両者は実質的にはほとんど同じだが形式上異なる。

392 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/09(木) 11:49:00.37
命題
K を可換体とする。
L/K を有限次拡大(過去スレpart4の842)とする。
このとき、[L : K]_s ≦ [L : K] である。
ここで、等号が成り立つためには L/K が分離的(過去スレpart4の843)であることが必要十分である。

証明
>>21と過去スレpart1の269による。

393 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/09(木) 12:05:53.85
命題
K を可換体とする。
L/K を有限次拡大(過去スレpart4の842)とする。
E/K を任意の拡大(過去スレpart4の512)とする。
L から E への K-埋め込み(過去スレpart4の514)全体の集合を Homalg(L, E) と書いた(>>256)。
このとき |Homalg(L, E)| ≦ [L : K] である。
ここで |Homalg(L, E)| は Homalg(L, E) の濃度である(過去スレpart1の180)。

証明
過去スレpart4の636より E は代数的閉包(過去スレpart4の628)Ω を持つ。
Homalg(L, E) ⊂ Homalg(L, Ω) と見なされる。
よって、|Homalg(L, E)| ≦ |Homalg(L, Ω)|
一方、>>313より |Homalg(L, Ω)| = [L : K]_s である。
よって、|Homalg(L, E)| ≦ [L : K]_s
>>392より [L : K]_s ≦ [L : K] であるから |Homalg(L, E)| ≦ [L : K]
証明終

394 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 13:06:25.07
>>390
>>物事は一般化することにより余計なものがそぎ落とされてその本質が見えてくることがある。

part4の541の最小分解体と、part1の149の最小分解体(>>391)についても、
一般化した方が良いのではないでしょうか?

395 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 13:11:22.23
>>Kummer
謝罪はまだかね?おん?

396 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 13:13:18.19
from ガロア生誕200周年記念スレ part 3

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919 :132人目の素数さん:2012/01/25(水) 13:29:18.58
ガロア理論?
と思って、このスレを見に来た人のために。
いわゆるガロア理論ではありません。
「ガロア理論」をまなんでから、このスレを見たほうがよいでしょう。
分野的には、ホモロジー代数です。(そういった方が、あなたが
万一、このスレを「ガロア理論」と言ってしまって、まわりから数学的常識を
疑われる、なんてことは回避できるでしょう)

920 :苗:2012/01/26(木) 01:40:06.04
なるほど。



921 :猫 ◆MuKUnGPXAY :2012/01/26(木) 06:40:10.77
なるほど。



922 :132人目の素数さん:2012/01/26(木) 11:03:37.50
>>919
>729 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2011/12/05(月) 10:36:46.03
>Hom とテンソル積が双対的な性質を持ってることはHomology代数を齧ったことのある者は
>誰でも知っている。

実際、Kummerもこのように書いているし。(ただし、記念スレ part 2において)

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397 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 13:38:24.52
-----------------------------------------

943 :132人目の素数さん:2012/01/21(土) 12:59:20.20
>942
>だから誰に何の謝罪をしろと言ってる?

例えば↓について
>338 :132人目の素数さん:2012/01/10(火) 17:43:36.28
>この話題に関しては今後ノーコメントにします(Kummer)

944 :132人目の素数さん:2012/01/21(土) 13:05:21.22
>943
で賠償はいくらで誰に払えと?

946 :132人目の素数さん:2012/01/21(土) 13:27:16.96
>944
944 名前:132人目の素数さん :2012/01/21(土) 13:05:21.22
>943
で謝罪は誰に?

947 :132人目の素数さん:2012/01/21(土) 13:31:18.38
>944
賠償のほかに、文章の訂正↓

-----------------------------------------

398 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 13:55:26.98
スレ part 4の代数的閉包と、part 2(517:Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2011/11/29(火))
の代数的閉包は、どう違うの?

399 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 14:06:11.30
また全スレdat落ちか…
2chひどいな
実は匿名性ありませんでした、みたいになったりして(怖

400 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 14:12:48.19
何でこのスレは残ってるんだ?

401 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 14:52:02.12
>>398
part2の517の代数的閉包は Ω という固定された代数的閉体の部分体であるが
part4の634の代数的閉包は違う

402 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/09(木) 15:51:49.63
命題
K ⊂ M ⊂ L ⊂ E を可換体の塔(過去スレpart4の864)とする。
E/K は正規拡大(過去スレpart4の844)とする。
M/K と L/M はそれぞれ有限(過去スレpart4の842)な正規拡大とする。
N を L/K の E における正規閉包(>>258)とする。
Aut(M/K)(過去スレpart4の847)と Aut(L/M) はそれぞれ可解(過去スレpart1の550)であるとする。
このとき、Aut(N/K) は可解である。

証明
G = Aut(N/K) とおく。
>>380より、N は {σ(L):σ ∈ Homalg(L, E)} の合成体である。
過去スレpart4の876より、任意の σ ∈ Homalg(L, E) に対して σ(M) = M である。
よって、>>381より σ(L)/M は正規拡大であり、Aut(σ(L)/M) は Aut(L/M) に同型である。
Aut(L/M) は可解であるから Aut(σ(L)/M) は可解である。
M/K と L/M は有限だから過去スレpart4の561より L/K も有限である。
よって、>>393より Homalg(L, E) は有限集合である。
>>338より Aut(N/M) は Γ = Π{Aut(σ(L)/M): σ ∈ Homalg(L, E)} の部分群に同型である。
過去スレpart1の567より、Γ は可解である。
よって、過去スレpart1の565より Aut(N/M) は可解である。
M/K は正規拡大であるから>>261より Aut(N/M) は G の正規部分群である。
>>309より G/Aut(N/M) は Aut(M/K) に同型である。
Aut(M/K) は可解であるから G/Aut(N/M) は可解である。
よって、過去スレpart1の566より G は可解である。
証明終

403 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/09(木) 16:34:55.14
命題
K を可換体とする。
L/K を代数的拡大(過去スレpart4の633)とする。
E/L を拡大(過去スレpart4の512)で E/K は正規拡大(過去スレpart4の844)であるとする。
N を E における L/K の正規閉包(>>258)とする。
L の部分集合 S で L = K(S)(過去スレpart4の539)となるものをとる。
例えば S = L とすればよい。
各 α ∈ S の K 上の最小多項式(過去スレpart4の554)を f_α(X) とする。
このとき、N は (f_α(X))、α ∈ S の最小分解体(過去スレpart4の542)である。

証明
S ⊂ L ⊂ N だから各 α ∈ S に対して f_α(X) は N で分解(過去スレpart4の534)する。
f_α(X) の N における全ての根の集合を T_α とする。
T = ∪{T_α;α ∈ S} とする。
F = K(T) とおく。
F/K は (f_α(X))、α ∈ S の最小分解体である。
よって、過去スレpart4の876より F/K は正規拡大である。
S ⊂ T だから L = K(S) ⊂ K(T) = F である。
T ⊂ N だから F ⊂ N である。
よって、F = N である。
証明終

404 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/09(木) 16:53:32.32
定義
K を可換体とする。
L/K を代数的拡大(過去スレpart4の633)とする。
E/L を拡大(過去スレpart4の512)で E/K は正規拡大(過去スレpart4の844)であるとする。
N を E における L/K の正規閉包(>>258)とする。
N = E のとき E を L/K の正規閉包と言う。

405 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/09(木) 17:09:07.08
命題
K を可換体とする。
L/K を代数的拡大(過去スレpart4の633)とする。
L/K の正規閉包(>>404)は存在し、K-同型を除いて一意に定まる。

証明
L の部分集合 S で L = K(S)(過去スレpart4の539)となるものをとる。
例えば S = L とすればよい。
各 α ∈ S の K 上の最小多項式(過去スレpart4の554)を f_α(X) とする。
過去スレpart4の543より (f_α(X))、α ∈ S の最小分解体(過去スレpart4の542)N が存在する。
過去スレpart4の876より N/K は正規拡大(過去スレpart4の844)である。
よって、>>403より N は L/K の正規閉包である。
逆に>>403より L/K の任意の正規閉包はこのようにして得られる。
よって、過去スレpart4の642より L/K の正規閉包は K-同型を除いて一意に定まる。
証明終

406 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/09(木) 17:22:22.43
命題
K を可換体とする。
L/K を代数的拡大(過去スレpart4の633)とする。
L/K が一般準可解拡大(>>370)であるためには L/K の正規閉包(>>404)が
可解(>>369)であることが必要十分である。

証明
必要性
L/K が一般準可解拡大であるとする。
>>405より L/K の正規閉包は K-同型を除いて一意に定まることに注意する。。
L ⊂ E となる可解な正規拡大 E/K がある。
L/K の E における正規閉包を M とする。
M は>>404の意味の L/K の正規閉包である。
>>309より Aut(M/K) は Aut(E/K)/Aut(E/M) に同型である。
Aut(E/K) は可解であるから過去スレpart1の560より Aut(M/K) は可解である。

十分性:
自明である。
証明終

407 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/09(木) 17:33:33.13
命題
L/K を一般準可解拡大(>>370)とする。
M を L/K の中間体(過去スレpart4の854)とする。
このとき、M/K と L/M はそれぞれ一般準可解拡大である。

証明
L ⊂ E となる可解(>>369)な正規拡大 E/K がある。
M/K が一般準可解拡大であることは明らかである。
Aut(E/M) は Aut(E/K) の部分群であるから過去スレpart1の565より可解である。
よって、L/M は一般準可解拡大である。
証明終

408 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/09(木) 17:51:35.49
命題
K を可換体とする。
N/K を正規拡大(過去スレpart4の844)とする。
L と F を N/K の中間体(過去スレpart4の854)とする。
L/K を一般準可解拡大(>>370)とする。
このとき、LF/F は一般準可解拡大である。

証明
E を L/K の N における正規閉包(>>258)とする。
>>406より、E/K は可解である。
>>335より Aut(EF/F) は Aut(E/(E∩F)) と同型である。
Aut(E/(E∩F)) は Aut(E/K) の部分群であるから過去スレpart1の565より可解である。
よって、EF/F は可解である。
LF ⊂ EF であるから LF/F は一般準可解拡大である。
証明終

409 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 18:20:15.32
>>400
それは実はKummerさんが*することができるから

410 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 18:34:28.08
>>394
>part4の541の最小分解体と、part1の149の最小分解体(>>391)についても、
>一般化した方が良いのではないでしょうか?

どのように?

411 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/09(木) 18:58:41.45
命題
K ⊂ M ⊂ L を可換体の塔(過去スレpart4の864)とする。
L/K と M/K は正規拡大(過去スレpart4の844)とする。
Aut(M/K)(過去スレpart4の847)と Aut(L/M) はそれぞれ可解(過去スレpart1の550)であるとする。
このとき、Aut(L/K) は可解である。

証明
M/K は正規拡大であるから>>261より Aut(L/M) は G の正規部分群である。
>>309より Aut(L/K)/Aut(L/M) は Aut(M/K) に同型である。
Aut(M/K) は可解であるから Aut(L/K)/Aut(L/M) は可解である。
よって、過去スレpart1の566より Aut(L/K) は可解である。
証明終

412 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/09(木) 19:15:42.72
命題
K を可換体とする。
L/K を有限次拡大(過去スレpart4の842)とする。
N を L/K の正規閉包(>>404)とする。
このとき N/K は有限次拡大である。

証明
>>259より N/K は有限生成(>>215)である。
よって、>>250より N/K は有限次拡大である。
証明終

413 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/09(木) 20:37:17.22
命題
K を可換体とする。
E ≠ 0 を K 上の有限次の線型環(過去スレpart1の97)で零因子を持たないとする。
このとき E は必ずしも可換とは限らない体である。

証明
α ≠ 0 を E の元とする。
x ∈ E に αx ∈ E を対応させる写像を f:E → E とする。
f は K-線型写像である。
E は零因子を持たないから f は単射である。
K は K 上有限次だから f は全射である。
よって、αy = 1 となる y がある。

同様に x ∈ E に xα ∈ E を対応させる写像 g:E → E は全単射である。
よって、zα = 1 となる z がある。

y = 1y = (zα)y = z(αy) = z1 = z
よって y は α^(-1) である。
よって、E は可換とは限らない体である。
証明終

414 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/09(木) 20:48:09.73
命題
K を可換体とする。
L = K(α_1、...、α_n)(過去スレpart4の539)を
K 上有限生成(>>215)の拡大(過去スレpart4の512)とする。
各 α_i は K 上代数的であるとする。
このとき L/K は有限次(過去スレpart4の842)である。
さらに L/K は代数的(過去スレpart4の633)である。

証明
A = K[α_1、...、α_n](>>539)とおく。
過去スレpart4の585より A は K 上の線型空間として有限次元である。
よって、過去スレpart4の578より A は K 上整である。
A は可換体 L の部分環だから零因子を持たない。
よって、>>413より A は可換体である。
よって、L = A である。
A は K 上整であるから L/K は代数的である。
証明終

415 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/09(木) 20:55:48.85
命題
可換体の有限次拡大(過去スレpart4の842)全体の類 Ψ は正則(>>27)である。

証明
Ψが>>27の (1) と (2) を満たすことを示せば良い。

(1)過去スレpart4の561より明らかである。

(2)
E/K ∈ Ψ と拡大 F/K に対して E と F がある可換体 L の部分体であるとする。
α_1、...、α_n を K-線型空間としての E の K 上の基底とする。
E = K(α_1、...、α_n)(過去スレpart4の539)である。
EF を L における E と F の合成体(過去スレpart4の901)とする。
EF = F(α_1、...、α_n) である。
過去スレpart4の578より各 α_i は K 上代数的である。
よって、各 α_i は F 上代数的である。
よって、>>414より EF/F ∈ Ψ である。
証明終

416 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/09(木) 21:22:38.38
命題
K を可換体とする。
H/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
L と F を H/K の中間体(過去スレpart4の854)とする。
L/K を一般準可解拡大(>>370)とする。
このとき、LF/F は一般準可解拡大である。

証明
N/K を正規拡大(過去スレpart4の844)で H を含むとする。
>>405より H/K の正規閉包(>>404)が存在するので
N としては例えば H/K の正規閉包をとればよい。

E を L/K の N における正規閉包(>>258)とする。
>>406より、E/K は可解である。
>>335より Aut(EF/F) は Aut(E/(E∩F)) と同型である。
Aut(E/(E∩F)) は Aut(E/K) の部分群であるから過去スレpart1の565より可解である。
よって、EF/F は可解である。
LF ⊂ EF であるから LF/F は一般準可解拡大である。
証明終

417 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/09(木) 22:53:21.44
命題
K を可換体とする。
K ⊂ M ⊂ L を可換体の塔(過去スレpart4の864)とする。
M/K と L/M はそれぞれ有限(過去スレpart4の842)な一般準可解拡大(>>370)であるとする。
このとき、L/K は一般準可解拡大である。

証明
過去スレpart4の561より、L/K は有限である。
過去スレpart4の578より L/K は代数的(過去スレpart4の633)である。
E/K を正規拡大(過去スレpart4の844)で L を含むとする。
>>405より L/K の正規閉包(>>404)が存在するので
E としては例えば L/K の正規閉包をとればよい。

F を M/K の E における正規閉包(>>258)とする。
>>412より F/K は有限次拡大である。
>>406より、F/K は可解である。
L/M は一般準可解拡大であるから、>>416より、FL/F は一般準可解拡大である。
L/K は有限だから>>415より FL/F は有限である。
E/F は正規拡大であるから FL/F は E において正規閉包 N を持つ。
FL/F は有限であるから>>412より N/F も有限である。
>>406より、N/F は可解である。
F/K は有限次の正規拡大で可解であるから
>>402より N/K は一般準可解拡大である。
L は N/K の中間体だから L/K は一般準可解拡大である。
証明終

418 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/09(木) 23:02:51.74
命題
有限次の一般準可解拡大(>>370)全体の類 Ψ は正則(>>27)である。

証明
Ψ が>>27の (1) と (2) を満たすことを示せば良い。
>>415より可換体の有限次拡大全体の類は正則であることに注意すれば、

(1)>>407>>417より明らかである。

(2)>>416より明らかである。
証明終

419 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/09(木) 23:28:05.06
命題
K を可換体とする。
L/K を純非分離拡大(>>357)とする。
このとき L/K は正規拡大であり Aut(L/K) = {1} である。

証明
K の標数(過去スレpart4の667)が 0 の場合は L = K であるから本命題は自明である。
よって、K の標数は p ≠ 0 とする。
L の任意の元 α は K 上純非分離(>>333)である。
α の指数(>>333)を e とする。
a = α^(p^e) とおく。
過去スレpart2の494より α の K 上の最小多項式(過去スレpart4の554)は X^(p^e) - a である。
過去スレpart1の219を繰り返し使って (X - α)^(p^e) = X^(p^e) - α^(p^e) = X^(p^e) - a
よって、X^(p^e) - a は L で分解(過去スレpart4の534)する。
よって、L/K は正規拡大である。
>>321より [L : K]_s = 1 であるから Aut(L/K) = {1} である。
証明終

420 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/09(木) 23:50:42.83
命題
K を可換体とする。
L/K を非正則(>>373)な素冪根単純拡大(>>371)とする。
このとき L/K は純非分離拡大(>>357)である。

証明
K の標数(過去スレpart4の667)を p ≠ 0 とする。
a ∈ K を X^p - a が K[X] で既約となるような元とする。
α を X^p - a の L における根の一つとする。
L = K(α)(過去スレpart4の539)とする。
α^p = a ∈ K である。
よって、過去スレpart1の219より L の任意の元 β に対して β^p ∈ K である。
よって、L/K は純非分離である。
証明終

421 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/09(木) 23:57:21.26
命題
一般素冪根拡大(>>375)は一般準可解拡大(>>370)である。

証明
過去スレpart1の584より正則(>>372)な素冪根単純拡大(>>371)は一般準可解拡大である。

非正則(>>373)な素冪根単純拡大(>>371)は>>420より純非分離拡大(>>357)である。
よって、>>419より一般準可解拡大である。

Artin-Schreier拡大は巡回拡大であるから一般準可解拡大である。

以上から>>418より一般素冪根拡大は一般準可解拡大である。
証明終

422 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/10(金) 07:33:49.04
定義
K を可換体とする。
L/K を純非分離拡大(>>357)とする。
sup {x の K 上の指数(>>333); x ∈ L} を L の K 上の指数、または L/K の指数と言う。

423 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/10(金) 09:16:33.11
補題
K を可換体とする。
K の特性指数(>>332)を p とする。
L/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
各 K_i、i = 0、1、2、...を次のように帰納的に定義する。
K_0 = K
K_i = {α ∈ L;α^p ∈ K_(i-1)}

過去スレpart1の219より各 K_i は L の部分体である。
明らかに K = K_0 ⊂ K_1 ⊂ ...⊂ L である。
このとき各 i に対して α ∈ L のとき α^(p^i) ∈ K ⇔ α ∈ K_i

証明
i に関する帰納法で証明しよう。
i = 0 のときは明らかである。
i > 0 とする。
β = α^p とおく。
帰納法の仮定により β^(p^(i-1)) ∈ K ⇔ β ∈ K_(i-1)
α^(p^i) = β^(p^(i-1)) だから
α^(p^i) ∈ K ⇔ α^p ∈ K_(i-1) ⇔ α ∈ K_i
証明終

424 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 09:19:17.24
>>410
どのように? ですって 
あなたは、有能なので、Howは書かなくてもよいでしょう。
目的は、「その本質が見えてくる」ようにするため、ですから。
>>390
>>物事は一般化することにより余計なものがそぎ落とされてその本質が見えてくることがある。

425 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 09:26:15.70
>>401 :132人目の素数さん:2012/02/09(木)
>part2の517の代数的閉包は Ω という固定された代数的閉体の部分体であるが
>part4の634の代数的閉包は違う

違うものに、同じ名前を付けるのは、マズイのでは?
普通、数学の本ではアリエナイことですが…

426 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 09:47:15.11
>>424
最小分解体って正規拡大のことでしょ。
分離的なもののみを考えるならGalois拡大となる。
これの一般化という意味でGrothendieckのGalois理論のことを言ってるのなら後で触れる予定

427 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 09:58:59.74
>>425
>違うものに、同じ名前を付けるのは、マズイのでは?

誤解のおそれが無ければよい

428 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/10(金) 10:56:53.48
命題
K を可換体とする。
K の特性指数(>>332)を p とする。
L/K を純非分離拡大(>>357)とする。
L/K の指数(>>422)を e とする。
各 K_i、i = 0、1、2、...を次のように帰納的に定義する。
K_0 = K
K_i = {α ∈ L;α^p ∈ K_(i-1)}

過去スレpart1の219より各 K_i は L の部分体である。
明らかに K = K_0 ⊂ K_1 ⊂ ...⊂ L である。
このとき以下が成り立つ。

(1)L = ∪{K_i;i = 0、1、2、...}
(2)e = inf {i ; K_i = K_(i+1)}
但し φ を空集合としたとき inf φ = ∞ とする。

証明
(1)
L/K は純非分離だから α ∈ L のとき α^(p^r) ∈ K となる整数 r ≧ 0 がある。
>>423より α ∈ K_r である。
よって、L = ∪{K_i;i = 0、1、2、...}

(続く)

429 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/10(金) 10:57:41.31
>>428の続き

(2)
s = inf {i ; K_i = K_(i+1)} とおく。
K_i = K_(i+1) となる i があれば K_i = K_(i+1) = K_(i+2) = ...であるから
L = K_i である。
よって、>>423より α ∈ L のとき α^(p^i) ∈ K
よって、e ≦ i である。
よって、e ≦ s ≦ i < ∞ である。

よって、e = ∞ なら {i ; K_i = K_(i+1)} は空集合である。
よって、この場合 e = s である。

e が有限なら α ∈ L のとき α^(p^e) ∈ K であるから >>423より α ∈ K_e である。
よって、L = K_e である。
よって、K_e = K_(e+1) = ...
よって、s ≦ e である。
e ≦ s であったから e = s である。
証明終

430 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/10(金) 11:05:00.89
命題
K を可換体とする。
K の特性指数(>>332)を p とする。
L/K を純非分離拡大(>>357)とする。
L/K の指数(>>422)を e とする。
e が有限であれば次のような可換体の塔(過去スレpart4の864)が存在する。
K = K_0 ⊂ K_1 ⊂ ...⊂ K_e = L

ここで、各 K_i/K_(i-1)、i = 1、...、e は指数 1 の純非分離拡大である。

証明
>>428より明らかである。

431 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/10(金) 11:34:21.71
命題
K を可換体とする。
K の標数(過去スレpart4の667)を p ≠ 0 とする。
L/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
α を L - K の元で α^p ∈ K とする。
このとき K(α)/K は 非正則(>>373)な素冪根単純拡大(>>371)である。

証明
a = α^p とおく。
α^p ∈ K だから α は K 上純非分離(>>333)である。
α は K に含まれないから α の指数(>>333)は 1 である。
よって、過去スレpart2の494より α の K 上の最小多項式(過去スレpart4の554)は X^p - a である。
よって、[K(α) : K] = p である。
よって、K(α)/K は 非正則な素冪根単純拡大である。
証明終

432 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/10(金) 11:41:32.63
命題
K を可換体とする。
K の特性指数(>>332)を p とする。
L/K を有限次(過去スレpart4の842)の純非分離拡大(>>357)とする。
L/K の指数(>>422)は 1 とする。

このとき次のような可換体の塔(過去スレpart4の864)が存在する。
K = K_0 ⊂ K_1 ⊂ ...⊂ K_n = L

ここで、各 K_i/K_(i-1)、i = 1、...、n は非正則(>>373)な素冪根単純拡大(>>371)である。

証明
L/K の指数は 1 であるから p ≠ 1 である。
L = K(α_1、...、α_m) とする。
K_0 = K
K_i = K(α_1、...、α_i)、i = 1、...、m とおく。

このとき K = K_0 ⊂ K_1 ⊂ ...⊂ K_m = L であり
K_i = K_(i-1)(α_i)、i = 1、...、m である。

L/K の指数は 1 であるから (α_i)^p ∈ K、i = 1、...、m
よって、K_i ≠ K_(i-1) なら>>431より K_i/K_(i-1) は非正則な素冪根単純拡大である。
証明終

433 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/10(金) 13:03:51.62
命題
K を可換体とする。
L/K を有限次(過去スレpart4の842)の純非分離拡大(>>357)とする。
このとき L/K の指数は有限である。

証明
K の特性指数(>>332)を p とする。
p = 1 のときは本命題は自明であるから p ≠ 1 とする。
L の K 上の線型空間としての基底を α_1、...、α_n とする。
各 α_i に対して (α_i)^(p^(e_i)) ∈ K となる整数 e_i ≧ 0 がある。
e = sup {e_i;i = 1、...、n} とする。
各 α_i に対して (α_i)^(p^e) ∈ K である。
ψ を L のFrobenius自己準同型(過去スレpart1の220)とする。
E = {x ∈ L;ψ^e(x) ∈ K} とおく。
ψ^e:L → L は埋め込み(過去スレpart4の513)であるから E は L の部分体である。
x ∈ K なら ψ^e(x) = x^(p^e) ∈ K
よって、K ⊂ E である。
各 α_i ∈ E であるから K(α_1、...、α_n) ⊂ E である。
L = K(α_1、...、α_n) であるから E = L である。
よって、L/K の指数は e 以下である。
証明終

434 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 13:19:39.72
>>394
>part4の541の最小分解体と、part1の149の最小分解体(>>391)についても、
>一般化した方が良いのではないでしょうか?

↑このように書いたのは、混乱したからです。
少なくとも、私は誤解しそうになった…のです。
しかし、Kummer(>>427)は、高慢である(のは如何なものか)。
その一例↓
----------------------------
>>427 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 09:58:59.74
>>425
>>違うものに、同じ名前を付けるのは、マズイのでは?

>>誤解のおそれが無ければよい
----------------------------
まあ、書いている本人には、「誤解」はありえないが(w

435 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/10(金) 13:19:42.22
命題
K を可換体とする。
L/K を有限次(過去スレpart4の842)の純非分離拡大(>>357)とする。
このとき L ≠ K なら次のような可換体の塔(過去スレpart4の864)が存在する。
K = K_0 ⊂ K_1 ⊂ ...⊂ K_n = L

ここで、n ≧ 1 で各 K_i/K_(i-1)、i = 1、...、n は
非正則(>>373)な素冪根単純拡大(>>371)である。

証明
>>430>>432より明らかである。

436 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 13:22:38.23
>>434
part4の541の最小分解体とpart1の149の最小分解体が同じものと思ったのは何故ですか?


437 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 13:28:45.56
>>436 =Kummer ◆SgHZJkrsn08e ですか?

438 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 13:28:57.00
同じ名前だから同じものと思ったというのは無しね
そんな人間の面倒をいちいち見ていられないw

439 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 13:37:19.57
>>438
ミステラレ マシタ ・・・

440 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 13:42:04.90
>>439
注意不足
例えば環と言った場合、非可換なものを含める場合と可換環を意味する場合がある。
今後、気をつけるように

441 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 13:44:42.27
>>1
>内容についてわからないことがあったら遠慮なく
>質問してください。
質問したら、
↓のようなそっけない対応。
>>438
>>そんな人間の面倒をいちいち見ていられないw

少なくとも、
>>1
の文面は訂正がひつようだと思います。

442 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 13:46:44.55
>>440=Kummer ◆SgHZJkrsn08e ですか?



443 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 14:04:14.47
>>439
通常、くどいほどリンクをつけているから同じ名前でも混同することはまずないはず

444 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 14:05:35.12
>>391
>>両者は実質的にはほとんど同じだが形式上異なる。

理解に苦しむ理由(↑)など書かずに、叙述を明確にしてほしい。
「実質的にはほとんど同じ」なら、明確にできるはず。
一旦、定義すれば
”最小分解体(過去スレpart1の○○○)”と書いて過去スレを参照すればよいだけ
では?

445 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 14:07:41.52
>>441
このスレが気に入らなければ見なければいい
誰もあんたに見てくれと頼んでないから
てか人殺しとかレイプとかシャブやってる人間に何を言っても無駄w

446 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 14:09:14.50
>>444
だから両者を何故同じものと思ったの?

447 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 14:11:53.68
>>442
違います

448 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 14:12:39.28
>>442
そうです

449 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 14:13:20.71
>>446 =Kummer ◆SgHZJkrsn08e ですか?

450 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 14:14:04.45
>>449
違います

451 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 14:15:10.30
>>449
そうです

452 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 14:17:59.14
>>445
人殺しとかレイプとかシャブやってる人間,って誰?
他に関心ごとがある人が、数学板にまで来るとは
おもえないぃ 〜!

453 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 14:21:07.48
>>450
>>451
は、両立しません。
449(>>449)は当惑して何も考えられなくなりました。

454 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 14:22:13.41
>>452
さあ誰でしょうねえw

455 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 14:24:40.81
>>1
>その他、内容についてのご意見は歓迎します。

>>444は、内容についての意見なのですが…
返答はまだ、のようです。

456 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 14:25:10.31
>>453
2chは匿名の掲示板だから誰が何を書いたかを詮索するのは野暮
誰でも何でも書ける(法律に違反しない限り)

457 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 14:26:43.68
>>455
だから両者を何故同じものと思ったの?



458 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 14:28:51.75
>>454
ソウ、誰でしょうねえェ〜?


459 :猫は性犯罪者 ◆MuKUnGPXAY :2012/02/10(金) 14:29:33.82
>>456
なるほど。では馬鹿を攻撃する書き込みは幾らでもやり放題なんですナ。
ソレはごっついエエ話や。ワシも今後共に作戦行動に精進せなアカンわ。
アホとか馬鹿は絶対に許したらアカンさかいナ。

ケケケ猫


460 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 14:31:27.86
>>1
>その他、内容についてのご意見は歓迎します。

>>444は、内容についての意見なのですが…
返答はまだ、のようです
さらに、「法律云々」が出て来て… メチャクチャ

461 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 14:39:29.43
>>456
法律とは、日本の法律(全部)をさすのですか?
国際法はどうですか


462 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 14:43:49.10
part1,part4の両該当箇所は、体論を記述しており、
part4で同名で改めて定義されているので、


463 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 14:47:55.03
>>457 =Kummer ◆SgHZJkrsn08e ですか?

464 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 19:19:48.48
>>444
>”最小分解体(過去スレpart1の○○○)”と書いて過去スレを参照すればよいだけ
>では?

そうしてるでしょ

465 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 19:21:15.69
>>444
>叙述を明確にしてほしい。

明確でないと思う箇所はどこですか?

466 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/10(金) 19:24:06.89
命題
K を可換体とする。
p を K の標数(過去スレpart4の667)と異なる素数とする。
a ∈ K とし、X^p - a は K において根を持たないとする。
このとき、X^p - a は K[X] において既約である。

証明
過去スレpart4の636より K は代数的閉包(過去スレpart4の634)Ω を持つ。
よって、本命題は過去スレpart1の530より直ちに得られる。
証明終

467 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/10(金) 19:33:15.82
命題
K を可換体とする。
K の標数(過去スレpart4の667)を p ≠ 0 とする。
a ∈ K とし、X^p - a は K において根を持たないとする。
このとき、X^p - a は K[X] において既約である。

証明
過去スレpart4の636より K は代数的閉包(過去スレpart4の634)Ω を持つ。
よって、本命題は過去スレpart1の233より直ちに得られる。
証明終

468 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/10(金) 21:16:01.05
定義
K を可換体とする。
L/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
L = K のとき L/K を自明な拡大と呼ぶ。

469 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/10(金) 22:06:44.15
命題
K を可換体とする。
n ≧ 1 を K の標数(過去スレpart4の667)で割れない整数とする。
K において X^n - 1 ∈ K[X] が分解(過去スレpart4の534)するとする。
このとき K における X^n - 1 の根全体は K の乗法群の位数 n の巡回部分群である。

証明
X^n - 1 の K における根の全体は明らかに K の乗法群の有限部分群 G である。
よって、過去スレpart1の332より G は巡回部分群である。
X^n - 1 の導多項式(過去スレpart1の182)は nX^(n-1) である。
n ≧ 1 は K の標数で割れないから nX^(n-1) ≠ 0 である。
よって、X^n - 1 と nX^(n-1) は K[X] において互いに素である。
よって、過去スレpart1の194より、X^n - 1 は分離的(過去スレpart4の694)である。
よって、G の位数は n である。
証明終

470 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/10(金) 22:11:09.84
定義
K を可換体とする。
n ≧ 1 を整数とする。
X^n - 1 ∈ K[X] の K における根を 1 の n 乗根と言う。
n が K の標数(過去スレpart4の667)で割れないとする。
K において X^n - 1 が分解(過去スレpart4の534)するとき
>>469より 1 の n 乗根全体は K の乗法群の位数 n の巡回部分群である。
この巡回部分群の生成元を 1 の原始 n 乗根と言う。

471 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/10(金) 22:26:45.48
命題
K を可換体とする。
p を K の標数(過去スレpart4の667)と異なる素数とする。
L/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
α ∈ L を α^p ∈ K となる元とする。
α^p = a とおく。
このとき、以下のどれかが起きる。

(1) X^p - a は K[X] で既約である。
即ち K(α)/K は正則(>>372)な素冪根単純拡大(>>371)である。

(2) K(α) = K(ζ)
ここで ζ は 1 の原始 p 乗根(>>470)である。

(3)K(α) = K

証明
X^p - a が K[X] で既約なら K(α)/K は正則な素冪根単純拡大である。

X^p - a が K[X] で既約でないとする。
>>466より b^p = a となる b ∈ K がある。
過去スレpart4の535より X^p - 1 ∈ L[X] の L 上の分解体(過去スレpart4の538)E が存在する。
このとき、X^p - a の E における根の全体は b、bζ、...、bζ^(p-1) である。
ここで ζ は 1 の原始 p 乗根である。
よって、α はこのどれかに等しい。
α = b のとき、K(α) = K である。
α = bζ^i、1 ≦ i ≦ p - 1 のとき ζ^i は 1 の原始 p 乗根であるから
K(α) = K(bζ^i) = K(ζ^i) = K(ζ) である。
証明終

472 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/11(土) 05:53:38.36
定義
K = K_0 ⊂ K_1 ⊂ ...⊂ K_n = L を可換体の塔(過去スレpart4の864)とする。
各 K_i/K_(i-1)、i = 1、...、n が以下のどれかとする。

(1)正則(>>372)な素冪根単純拡大(>>371
(2)Artin-Schreier拡大(>>374

このとき L/K を広義の素冪根拡大と言う。

473 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/11(土) 06:01:11.58
定義
K を可換体とする。
L/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
広義の素冪根拡大(>>472)E/K があり L が E/K の中間体(過去スレpart4の854)となるとき
L/K は広義に素冪根可解と言う。

474 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/11(土) 06:05:26.86
補題
K を可換体とする。
L/K を有限次(過去スレpart4の842)のGalois拡大(過去スレpart4の848)とする。
G = Gal(L/K)(過去スレpart4の848)は可解(過去スレpart1の550)であるとする。
p_1、...、p_s を |G| の素因数で K の標数(過去スレpart4の667)と異なるもの全体とする。
m = (p_1)...(p_s) とする。
E を X^m - 1 ∈ L[X] の L 上の分解体(過去スレpart4の538)とする。
m は K の標数で割れないから>>469より E は 1 の原始 n 乗根(>>470)ζ を持つ。
F を E/K の中間体(過去スレpart4の854)で ζ ∈ F とする。
このとき、FL/F は広義の素冪根拡大(>>472)である。

証明
過去スレpart2の384と同様である。

475 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/11(土) 06:07:37.18
定義
K を可換体とする。
n ≧ 1 を整数とする。
X^n - 1 ∈ K[X] の K 上の最小分解体(過去スレpart4の541)を
K 上の位数 n の円分体(cyclotomic field)と言う。

476 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/11(土) 06:12:04.94
命題
K を可換体とする。
L/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
F/K を代数的拡大(過去スレpart4の633)とする。
このとき拡大 E/L を適当にとれば K-埋め込み(過去スレpart4の514) F → E が存在する。

証明
F の部分集合 S で F = K(S)(過去スレpart4の539)となるものをとる。
例えば S = F とすればよい。
各 α ∈ S の K 上の最小多項式(過去スレpart4の554)を f_α(X) とする。
過去スレpart4の543より (f_α(X))、α ∈ S の F 上の最小分解体(過去スレpart4の542)H が存在する。
同様に (f_α(X))、α ∈ S の L 上の最小分解体 E が存在する。
H は (f_α(X))、α ∈ S の K 上の最小分解体 F’を含む。
各 α ∈ S は f_α(X) の H における根だから α ∈ F’である。
よって、S ⊂ F’だから F ⊂ F’である。
E は (f_α(X))、α ∈ S の K 上の最小分解体 E’を含む。
過去スレpart4の642より K-同型(過去スレpart4の514)σ:F’→ E’が存在する。
ι:E’→ E を包含写像とする。
ισ:F’→ E は K-埋め込みである。
ισ の定義域を F に制限したものが求めるものである。
証明終

477 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/11(土) 06:26:53.43
命題
K を可換体とする。
n ≧ 1 を K の標数(過去スレpart4の667)で割れない整数とする。
このとき、K 上の位数 n の円分体(>>475)L/K は広義に素冪根可解(>>473)である。

証明
n に関する帰納法を使う。
n = 1 のときは自明であるから n ≧ 2 とする。
>>470より L は 1 の原始 n 乗根(part1の520) ζ を持つ。
L = K(ζ) である。
過去スレpart1の523より、L/K はGalois拡大であり、
そのGalois群 G は (Z/nZ)^* の部分群に同型である。
G はAbel群だから可解群(part1の550)である。
p_1、...、p_s を |G| の素因数で K の標数と異なるもの全体とする。
m = (p_1)...(p_s) とし、K 上の位数 m の円分体を M とする。
m は K の標数で割れないから L は 1 の原始 m 乗根 η を持つ。
このとき M = K(η) である。
m ≦ |G| ≦ |(Z/nZ)^*| < n
m は K の標数で割れないから帰納法の仮定より広義の素冪根拡大 F/K があり K(η) ⊂ F となる。
>>476より拡大 E/L を適当にとれば K-埋め込み(過去スレpart4の514) F → E が存在する。
よって、F は E の部分体と仮定してよい。
このとき>>474より、FL/F は広義の素冪根拡大である。
F/K は広義の素冪根拡大であるから FL/K も広義の素冪根拡大である。
よって、L/K は広義に素冪根可解である。
証明終

478 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/11(土) 06:46:14.67
命題
K を可換体とする。
E/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
L と F を E/K の中間体(過去スレpart4の854)とする。
L/K は正則(>>372)な素冪根単純拡大(>>371)とする。
FL を E における F と L の合成体(過去スレpart4の901)とする。
このとき FL/F は自明な拡大(>>468)または広義に素冪根可解(>>473)である。

証明
[L : K] = p とする。
p は K の標数(過去スレpart4の667)と異なる素数である。
L = K(α)(過去スレpart4の539)となる。
ここで α は K[X] における既約多項式 X^p - a の根である。
FL = F(α) である。
>>471より以下のどれかが起きる。
(1) F(α)/F は正則な素冪根単純拡大

(2) F(α) = F(ζ)
ここで ζ は 1 の原始 p 乗根(>>???)である。

(3)F(α) = F

>>477より(2)の場合は FL/F は広義に素冪根可解である。
よって、本命題の主張が得られる。
証明終

479 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/11(土) 07:05:32.26
命題
K を可換体とする。
E/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
L と F を E/K の中間体(過去スレpart4の854)とする。
L/K はArtin-Schreier拡大(>>374)とする。
このとき FL/F は自明な拡大(>>468)またはArtin-Schreier拡大である。

証明
K の標数(過去スレpart4の667)を p ≠ 0 とする。
>>262>>342より、LF/F はGalois拡大である。
>>335または過去スレpart1の505より、Aut(FL/F) は Aut(L/(F∩L)) に同型である。
Aut(L/(F∩L)) は Aut(L/K) の部分群である。
Aut(L/K) は位数 p の巡回群であるから Aut(L/(F∩L)) は位数 p の巡回群または単位群である。
よって、本命題が得られる。
証明終

480 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/11(土) 07:54:56.49
命題
K を可換体とする。
E/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
L と F を E/K の中間体(過去スレpart4の854)とする。
L/K は非正則(>>373)な素冪根単純拡大(>>371)とする。
FL を E における F と L の合成体(過去スレpart4の901)とする。
このとき FL/F は自明な拡大(>>468)または非正則な素冪根単純拡大である。

証明
K の標数(過去スレpart4の667)を p ≠ 0 とする。
L = K(α)(過去スレpart4の539)となる。
ここで α は K[X] における既約多項式 X^p - a の根である。
FL = F(α) である。
α^p ∈ K ⊂ F であるから α が F に含まれなければ>>431より FL/F は非正則な素冪根単純拡大である。
α ∈ F なら FL/F は自明な拡大である。
証明終

481 :132人目の素数さん:2012/02/11(土) 08:34:50.40
>>1
>内容についてわからないことがあったら遠慮なく
>質問してください。

内容について質問したら(>>389 >>434)、
↓のようなそっけない対応。
>>438
>>そんな人間の面倒をいちいち見ていられないw

少なくとも、
>>1
の文面は訂正がひつようだと思います。

482 :132人目の素数さん:2012/02/11(土) 09:06:40.69
>>465
>>明確でないと思う箇所はどこですか?

part1と、part4で体論が書かれていて、
part1と、part4の541の2箇所で最小分解体が定義され、
さらに
「part1の149の最小分解体は、part4の541の最小分解体は違う。」(>>391より)

ナゼ、体論を書き進めていく途中で、2度も、最小分解体が定義されなければ
ならないのか?
そして、この二つは違う(>>391より)

こんなところが、明確でないと思う箇所です

483 :132人目の素数さん:2012/02/11(土) 10:18:05.40
>>482
>ナゼ、体論を書き進めていく途中で、2度も、最小分解体が定義されなければ
>ならないのか?

part1とpart4では立場が違うから

484 :132人目の素数さん:2012/02/11(土) 10:19:08.22
>>481
人殺しやレイプw(略

485 :132人目の素数さん:2012/02/11(土) 10:38:37.23
例えば Bourbaki ではあるところでは環は可換環を意味し、
別のところでは必ずしも可換環を意味しない。
つまり同じ用語が別の意味で使われている。

486 :132人目の素数さん:2012/02/11(土) 11:03:26.86
>>482
その二つはくどいほどリンクを付けて明確に区別してる。
だから明確でないというのはあたらない。


487 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/11(土) 11:05:22.79
補題
K を可換体とする。
K ⊂ M ⊂ L を可換体の塔(過去スレpart4の864)とする。
M/K は一般素冪根拡大(>>375)であるとする。
L/M は一般素冪根可解(>>376)であるとする。
このとき L/K は一般素冪根可解である。

証明
L/M は一般素冪根可解であるから
一般素冪根拡大 E/M があり L は E/M の中間体(過去スレpart4の854)となる。
よって、可換体の塔 K ⊂ M ⊂ L ⊂ E が得られる。
M/K と E/Mは一般素冪根拡大であるから E/K も一般素冪根拡大である。
よって、L/K は一般素冪根可解である。
証明終

488 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/11(土) 11:35:09.46
補題
K を可換体とする。
K ⊂ M ⊂ L を可換体の塔(過去スレpart4の864)とする。
M/K は一般素冪根可解(>>376)であるとする。
L/M は以下のどれかとする。

(1)正則(>>372)な素冪根単純拡大(>>371
(2)非正則(>>373)素冪根単純拡大
(2)Artin-Schreier拡大(>>374

このとき L/K は一般素冪根可解である。

証明
M/K は一般素冪根可解であるから
一般素冪根拡大(>>375)F/K があり M が F/K の中間体(過去スレpart4の854)となる。
>>476より拡大 E/L を適当にとれば K-埋め込み(過去スレpart4の514) F → E が存在する。
よって、F は E の部分体と仮定してよい。
このとき FL/F は L/M のタイプにより以下のようになる。
(1)のとき:>>478より FL/F は広義に素冪根可解(>>473)である。
(2)のとき:>>480より FL/F は非正則な素冪根単純拡大である。
(3)のとき:>>479より FL/F は自明な拡大(>>468)またはArtin-Schreier拡大である。

上記いずれの場合も FL/F は一般素冪根可解である。
F/K は一般素冪根拡大であるから>>487より FL/K は一般素冪根可解である。
K ⊂ L ⊂ FL であるから L/K は一般素冪根可解である。
証明終

489 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/11(土) 11:44:29.82
補題
K を可換体とする。
K ⊂ M ⊂ L を可換体の塔(過去スレpart4の864)とする。
M/K は一般素冪根可解(>>376)であるとする。
L/M は一般素冪根拡大(>>375)とする。
このとき L/K は一般素冪根可解である。

証明
L/M は一般素冪根拡大であるから可換体の塔(過去スレpart4の864)
M = M_0 ⊂ M_1 ⊂ ...⊂ M_n = L があり
各 M_i/M_(i-1)、i = 1、...、n は以下のどれかである。

(1)正則(>>372)な素冪根単純拡大(>>371
(2)非正則(>>373)素冪根単純拡大
(2)Artin-Schreier拡大(>>374

よって、n に関する帰納法と>>488により L/K は一般素冪根可解である。
証明終

490 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/11(土) 11:52:40.04
命題
K を可換体とする。
K ⊂ M ⊂ L を可換体の塔(過去スレpart4の864)とする。
M/K と L/M は一般素冪根可解(>>375)であるとする。
このとき L/K も一般素冪根可解である。

証明
L/M は一般素冪根可解であるから
一般素冪根拡大(>>375)E/M があり L が E/M の中間体(過去スレpart4の854)となる。
よって、可換体の塔 K ⊂ M ⊂ L ⊂ E が得られる。
M/K は一般素冪根可解であり、E/M は一般素冪根拡大であるから
>>489より E/K は一般素冪根可解である。
よって、L/K は一般素冪根可解である。
証明終

491 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/11(土) 12:20:53.40
命題
K を可換体とする。
K ⊂ M ⊂ L を可換体の塔(過去スレpart4の864)とする。
L/K は一般素冪根可解(>>376)であるとする。
このとき、M/K と L/M はそれぞれ一般素冪根可解である。

証明
L/K は一般素冪根可解であるから
一般素冪根拡大(>>375)E/K があり L が E/K の中間体(過去スレpart4の854)となる。
よって、可換体の塔 K ⊂ M ⊂ L ⊂ E が得られる。
よって、M/K は一般素冪根可解である。

E/K は一般素冪根可解だから、
K = K_0 ⊂ K_1 ⊂ ...⊂ K_n = E となる体(part1の82)の増大列がある。
E/K は一般素冪根可解だから可換体の塔(過去スレpart4の864)
K = K_0 ⊂ K_1 ⊂ ...⊂ K_n = E があり
各 K_i/K_(i-1)、i = 1、...、n は以下のどれかである。

(1)正則(>>372)な素冪根単純拡大(>>371
(2)非正則(>>373)素冪根単純拡大
(2)Artin-Schreier拡大(>>374

M = MK_0 ⊂ MK_1 ⊂ ...⊂ MK_n = E において
各 MK_i/MK_(i-1) = (MK_(i-1))K_i/MK_(i-1) は K_i/K_(i-1) のタイプにより以下のようになる。
(1)のとき:>>478より MK_i/MK_(i-1) は広義に素冪根可解(>>473)である。
(2)のとき:>>480より MK_i/MK_(i-1) は非正則な素冪根単純拡大である。
(3)のとき:>>479より MK_i/MK_(i-1) は自明な拡大(>>468)またはArtin-Schreier拡大である。

上記いずれの場合も MK_i/MK_(i-1) は一般素冪根可解である。
よって、>>490より E/M は一般素冪根可解である。
M ⊂ L ⊂ E であるから L/M は一般素冪根可解である。
証明終

492 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/11(土) 12:50:31.16
>>491の修正

命題
K を可換体とする。
K ⊂ M ⊂ L を可換体の塔(過去スレpart4の864)とする。
L/K は一般素冪根可解(>>376)であるとする。
このとき、M/K と L/M はそれぞれ一般素冪根可解である。

証明
L/K は一般素冪根可解であるから
一般素冪根拡大(>>375)E/K があり L が E/K の中間体(過去スレpart4の854)となる。
よって、可換体の塔 K ⊂ M ⊂ L ⊂ E が得られる。
よって、M/K は一般素冪根可解である。

E/K は一般素冪根可解だから可換体の塔(過去スレpart4の864)
K = K_0 ⊂ K_1 ⊂ ...⊂ K_n = E があり
各 K_i/K_(i-1)、i = 1、...、n は以下のどれかである。

(1)正則(>>372)な素冪根単純拡大(>>371
(2)非正則(>>373)素冪根単純拡大
(2)Artin-Schreier拡大(>>374

M = MK_0 ⊂ MK_1 ⊂ ...⊂ MK_n = E において
各 MK_i/MK_(i-1) = (MK_(i-1))K_i/MK_(i-1) は K_i/K_(i-1) のタイプにより以下のようになる。
(1)のとき:>>478より MK_i/MK_(i-1) は広義に素冪根可解(>>473)である。
(2)のとき:>>480より MK_i/MK_(i-1) は非正則な素冪根単純拡大である。
(3)のとき:>>479より MK_i/MK_(i-1) は自明な拡大(>>468)またはArtin-Schreier拡大である。

上記いずれの場合も MK_i/MK_(i-1) は一般素冪根可解である。
よって、>>490より E/M は一般素冪根可解である。
M ⊂ L ⊂ E であるから L/M は一般素冪根可解である。
証明終

493 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/11(土) 12:54:47.67
>>491>>492の修正

命題
K を可換体とする。
K ⊂ M ⊂ L を可換体の塔(過去スレpart4の864)とする。
L/K は一般素冪根可解(>>376)であるとする。
このとき、M/K と L/M はそれぞれ一般素冪根可解である。

証明
L/K は一般素冪根可解であるから
一般素冪根拡大(>>375)E/K があり L が E/K の中間体(過去スレpart4の854)となる。
よって、可換体の塔 K ⊂ M ⊂ L ⊂ E が得られる。
よって、M/K は一般素冪根可解である。

E/K は一般素冪根拡大だから可換体の塔(過去スレpart4の864)
K = K_0 ⊂ K_1 ⊂ ...⊂ K_n = E があり
各 K_i/K_(i-1)、i = 1、...、n は以下のどれかである。

(1)正則(>>372)な素冪根単純拡大(>>371
(2)非正則(>>373)素冪根単純拡大
(2)Artin-Schreier拡大(>>374

M = MK_0 ⊂ MK_1 ⊂ ...⊂ MK_n = E において
各 MK_i/MK_(i-1) = (MK_(i-1))K_i/MK_(i-1) は K_i/K_(i-1) のタイプにより以下のようになる。
(1)のとき:>>478より MK_i/MK_(i-1) は広義に素冪根可解(>>473)である。
(2)のとき:>>480より MK_i/MK_(i-1) は非正則な素冪根単純拡大である。
(3)のとき:>>479より MK_i/MK_(i-1) は自明な拡大(>>468)またはArtin-Schreier拡大である。

上記いずれの場合も MK_i/MK_(i-1) は一般素冪根可解である。
よって、>>490より E/M は一般素冪根可解である。
M ⊂ L ⊂ E であるから L/M は一般素冪根可解である。
証明終

494 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/11(土) 13:01:18.07
命題
K を可換体とする。
E/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
L と F を E/K の中間体(過去スレpart4の854)とする。
L/K は一般素冪根可解(>>376)であるとする。
このとき、FL/F は一般素冪根可解である。

証明
L/K は一般素冪根可解であるから
一般素冪根拡大(>>375)L’/K があり L が L’/K の中間体(過去スレpart4の854)となる。
>>476より拡大 E’/E を適当にとれば L-埋め込み(過去スレpart4の514) L’→ E’が存在する。
よって、L’は E’の部分体と仮定してよい。

L’/K は一般素冪根拡大だから可換体の塔(過去スレpart4の864)
K = K_0 ⊂ K_1 ⊂ ...⊂ K_n = L’があり
各 K_i/K_(i-1)、i = 1、...、n は以下のどれかである。

(1)正則(>>372)な素冪根単純拡大(>>371
(2)非正則(>>373)素冪根単純拡大
(2)Artin-Schreier拡大(>>374

F = FK_0 ⊂ FK_1 ⊂ ...⊂ FK_n = FL’において
各 FK_i/FK_(i-1) = (FK_(i-1))K_i/FK_(i-1) は K_i/K_(i-1) のタイプにより以下のようになる。
(1)のとき:>>478より FK_i/FK_(i-1) は広義に素冪根可解(>>473)である。
(2)のとき:>>480より MK_i/MK_(i-1) は非正則な素冪根単純拡大である。
(3)のとき:>>479より MK_i/MK_(i-1) は自明な拡大(>>468)またはArtin-Schreier拡大である。

上記いずれの場合も FK_i/FK_(i-1) は一般素冪根可解である。
よって、>>490より FL’/F は一般素冪根可解である。
F ⊂ FL ⊂ FL’であるから FL/F は一般素冪根可解である。
証明終

495 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/11(土) 13:09:06.87
命題
Ψ を一般素冪根可解拡大(>>376)の全体の類とする。
このとき Ψ は正則(>>27)である。

証明
>>490>>493>>494より明らかである。

496 :132人目の素数さん:2012/02/11(土) 13:15:11.30
猫の母親は不倫していたんでしょ?

どういうことなの?

父親を恨むよりも、母親をなぜ恨まないの?>猫

497 :132人目の素数さん:2012/02/11(土) 13:15:58.88
猫がレイプして逮捕されたのは

母親の不倫に遠因があるのではないですか?

498 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/11(土) 13:21:28.31
命題(正規拡大に関するGaloisの方程式論の主定理)
L/K を有限な正規拡大とし、G = Aut(L/K) とする。
このとき、L/K が一般素冪根可解(>>376)であるためには
G が可解(過去スレpart1の550)であることが必要十分である。

証明
必要性:
L/K が一般素冪根可解であるとする。
一般素冪根拡大(>>375)E/K があり L が E/K の中間体(過去スレpart4の854)となる。
>>421より E/K は一般準可解拡大(>>370)である。
よって、L/K は一般準可解拡大である。
よって、>>406より G は可解である。

十分性:
G が可解であるとする。
K の L における相対純非分離閉包(>>334)を K~ とする。
>>282より L^G = K~ である。
よって、>>266より L/K~ はGalois拡大である。
>>282より G = Aut(L/K~) である。
よって、過去スレpart2の382より L/K~ は広義に素冪根可解(過去スレpart2の378)である。
よって、L/K~ は一般素冪根可解である。
>>435より K~/K は一般素冪根可解である。
よって、>>490より L/K は一般素冪根可解である。
証明終

499 :132人目の素数さん:2012/02/11(土) 13:25:21.84
496 名前:132人目の素数さん :2012/02/11(土) 13:15:11.30
猫の母親は不倫していたんでしょ?

どういうことなの?

父親を恨むよりも、母親をなぜ恨まないの?>猫

497 名前:132人目の素数さん :2012/02/11(土) 13:15:58.88
猫がレイプして逮捕されたのは

母親の不倫に遠因があるのではないですか?

500 :ビジョンを描ける猫 ◆MuKUnGPXAY :2012/02/11(土) 13:43:57.91
>>496
証拠がありません。だから糾弾出来ません。




501 :ビジョンを描ける猫 ◆MuKUnGPXAY :2012/02/11(土) 14:09:14.61
>>496
加えて「もし仮にそうだった」としても、その事で私は何も被害は被ら
なかった。だからソレで母親を責めるのは筋違いですよね。でも糞父の
場合は『私に対する直接の被害が甚大だった』という非常に重たい事実
がありますからね。だから糞父は最大限のウェイトで糾弾されても文句
は言えませんわね。

糞母の問題点は精々:
★★★『糞父に罵倒されて殴られる際に、白目を剥いて糞父に対抗した。』★★★
という様な類の話で、だから:
★★★『幼少の子供の目の前で両親が思いっきり人格を潰し合う姿を見せた。』★★★
という程度の罪ですね。だから非常に軽いです。加えて祖父は(糞父に
対しては何かしたのかも知れませんが、でも)私に対しては何の害も及
ぼしてませんからね。だから糾弾する理由が存在しません。




502 :132人目の素数さん:2012/02/11(土) 15:02:43.28
猫が幼少のころから母親は浮気していたの?

503 :ビジョンを描ける猫 ◆MuKUnGPXAY :2012/02/11(土) 15:18:50.89
>>502
その件に関して私が断言出来る事は何もありません。だから知りません。




504 :132人目の素数さん:2012/02/11(土) 15:25:57.11
>>503
勇気をもって断言してみなさい。

505 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/11(土) 15:36:47.34
命題
G を位相群とする。
e を G の単位元とする。
H を G の部分群とする。
e ∈ U ⊂ H となる G の開集合があるとする。
このとき H は G の開部分群である。

証明
任意の x ∈ H に対して xU ⊂ H である。
xU は G における x の開近傍であるから H は G の開集合である。
証明終

506 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/11(土) 15:41:08.08
定義
G を位相群とする。
e を G の単位元とする。
V を e の近傍とする。
V = V^(-1) となるとき V を e の対称近傍と言う。

507 :ビジョンを描ける猫 ◆MuKUnGPXAY :2012/02/11(土) 15:47:54.75
>>504
断言が出来るのは『論理的かつ客観的な裏付けがある事だけ』です。




508 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/11(土) 15:56:23.31
命題
G を位相群とする。
e を G の単位元とする。
e の対称(>>506)な開近傍全体は e の基本近傍系である。

証明
V を e の任意の近傍とする。
e の対称な開近傍 W で V に含まれるものが存在することを示せばよい。

e ∈ U ⊂ V となる G の開集合 U がある。
U^(-1) は G の開集合である。
e ∈ U^(-1) であるから e ∈ U ∩ U^(-1) である。
W = U ∩ U^(-1) とおく。
W は e の開近傍である。
明らかに W = W^(-1) であるから W は e の対称な開近傍である。
このとき W ⊂ U ⊂ V
証明終

509 :132人目の素数さん:2012/02/11(土) 16:02:49.86
>>ナゼ、体論を書き進めていく途中で、2度も、最小分解体が定義されなければ
>>ならないのか?

>>同じ用語が別の意味で使われている。(>>485参照)
これは、分かりました。
この2つは、どのようにちがうのでしょうか。?
(内容についての質問)

>>483
>>part1とpart4では立場が違うから
2つの立場の違いを説明して下さい。

体論を書き進めていく途中で、2度も、最小分解体が定義されている書籍がありましたら
教えて下さい。

510 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/11(土) 16:39:27.06
命題
G を位相群とする。
e を G の単位元とする。
U を e の対称(>>506)な開近傍とする。
H = ∪{U^n;n = 1、2、...} とおく。
このとき H は G の開部分群である。

証明
まず H が G の部分群であることを示す。
e ∈ U ⊂ H である。
x, y ∈ H とする。
x ∈ U^n、y ∈ U^m となる整数 n、m ≧ 1 がある。
xy ∈ (U^n)(U^m) = U^(n+m) ⊂ H

U は対称であるから U = U^(-1)
よって U^n = (U^(-1))^n = (U^n)^(-1)
よって、x^(-1) ∈ (U^n)^(-1) = U^n ⊂ H

以上から H は G の部分群である。

e ∈ U ⊂ H であるから>>505より H は G の開部分群である。
証明終

511 :132人目の素数さん:2012/02/11(土) 16:41:32.43
でも父の話では、母親が最初に浮気したんでしょ?

どう父親が猫に言ったか、猫の確証とは違うでしょう>猫

512 :132人目の素数さん:2012/02/11(土) 16:43:35.40
119 :ビジョンを描ける猫 ◆MuKUnGPXAY :2012/02/11(土) 16:12:22.73
数学の世界で言えば、彼は恐らくは『岡潔とか佐藤幹夫』みたいな神の
領域の人なんでしょうね。このお二人がなさった事は明らかに「作った」
のではなくて『創った』という行為なので。




ジョブスのどこにそんなオリジンがあるんでしょうかね?
どうってことやってない気がしませんか?>猫

513 :132人目の素数さん:2012/02/11(土) 16:45:12.30

138 名前:132人目の素数さん :2012/02/11(土) 15:51:54.75
審査員のことを云々するなら立派な論文書けよ。


だからさ、うーが科研費の審査をしているのが
おかしいって言ってるんだよ

514 :132人目の素数さん:2012/02/11(土) 16:48:12.33
東大柏にいるポスドクの方がはるかしうーよりもいい仕事をしているぜ

515 :132人目の素数さん:2012/02/11(土) 16:49:27.15
10年論文無しの審査員が、10年フルペーパーがない人に
科研費を当てていることについて 文部科学省の意見しないといけないな

516 :132人目の素数さん:2012/02/11(土) 16:49:37.06
そんな事どうでもいいし、文句があるなら本人に直接言え。
どうせそんな勇気もないだろうが。

517 :132人目の素数さん:2012/02/11(土) 16:51:37.01
近大理学科数学コースの俺が来ましたよ


518 :132人目の素数さん:2012/02/11(土) 16:52:32.00
>>516

バカにしている教授に、バカと言うのもどうかなw

519 :132人目の素数さん:2012/02/11(土) 16:54:41.94
口先だけだな。
現実に彼はずっと審査員をやっている。
文句をいうだけで自分では何もしない。


520 :ビジョンを描ける猫 ◆MuKUnGPXAY :2012/02/11(土) 17:39:34.36
>>512
ジョッブスは天才。彼が遺したものの価値はとても金銭では測れない。
他人が意図して施す教育が如何に無意味であるかを示す最適な実例。




521 :132人目の素数さん:2012/02/11(土) 17:43:33.00
>>520
ジョブス、ジョブズ
どちらでしょう?
(利己的な遺伝子の、ドーキンス ドーキンズ どっち? )

522 :ビジョンを描ける猫 ◆MuKUnGPXAY :2012/02/11(土) 17:47:53.57
さあ、ソレは知りません。




523 :132人目の素数さん:2012/02/11(土) 17:58:48.78
私も知らないので、チョットだずねただけです。デハ

524 :132人目の素数さん:2012/02/11(土) 18:13:55.93
英語の発音はジョブズが正しい
ちなみにマイルス・デービスもマイルズが正しい発音
日本人は濁るべきところを清音にすることが多いね

525 :132人目の素数さん:2012/02/11(土) 18:22:29.39
Hawthorn

526 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/11(土) 19:18:13.57
定義
X を位相空間とする。
X の部分空間 X_1、X_2 で以下の条件を満たすものが存在しないとき X は連結であると言う。

(1)X_1 と X_2 は空でない。
(2)X_1 ∩ X_2 = φ
(3)X = X_1 ∪ X_2

527 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/11(土) 20:51:30.95
>>526の修正

定義
X を位相空間とする。
X の開集合 U_1、U_2 で以下の条件を満たすものが存在するとき X は非連結または不連結であると言う。

(1)U_1 と U_2 は空でない。
(2)U_1 ∩ U_2 = φ
(3)X = U_1 ∪ U_2

X が不連結でないとき X は連結であるという。

528 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/11(土) 21:23:18.46
命題
X を位相空間とする。
以下の条件は同値である。

(1)X は連結(>>527)である。
(2)X の開かつ閉な部分集合は X または空集合のみである。
(3)X の閉集合 F_1、F_2 で以下の条件を満たすものは存在しない。
  ・F_1 と F_2 は空でない。
  ・F_1 ∩ F_2 = φ
  ・X = F_1 ∪ F_2
(4)X の部分集合 X_1、X_2 で以下の条件を満たすものは存在しない。
  ・X_1 と X_2 は空でない。
  ・(X_1)~ ∩ X_2 = X_1 ∩ (X_2)~ = φ
  ・X = X_1 ∪ X_2
  ここで (X_1)~ と (X_2)~ はそれぞれ X_1 と X_2 の閉包を表す。
(5){0, 1} を2点からなる離散空間(>>60)とする。
  このとき任意の連続写像 f:X → {0, 1} に対して f(X) = {0} または f(X) = {1} である。

証明
(1)⇔ (2):自明である。
(1)⇔ (3):自明である。
(3)⇒ (4):
(4)の条件を満たす X_1、X_2 が存在したとする。
(X_1)~ ∩ X_2 = φ だから (X_1)~ ⊂ X - X_2 = X_1
よって、X_1 = (X_1)~
よって、X_1 は閉集合である。
同様に X_2 は閉集合である。
よって、X_1 ∩ X_2 = φ だから(3)に矛盾する。

(4)⇒ (3):自明である。
(1)⇔ (5):自明である。
証明終

529 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/11(土) 21:27:05.73
定義
X を位相空間とする。
X の部分集合は X の部分空間として連結(>>527)なとき連結であると言う。

530 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/11(土) 21:44:12.20
命題
X を位相空間とする。
A を X の部分集合とする。
以下の条件は同値である。

(1)A は連結(>>529)である。

(2)U_1、U_2 を X の開集合とし、A ⊂ U_1 ∪ U_2 かつ A ∩ U_1 ∩ U_2 = φ とする。
このとき A ⊂ U_1 または A ⊂ U_2 である。

(3)F_1、F_2 を X の閉集合とし、A ⊂ F_1 ∪ F_2 かつ A ∩ F_1 ∩ F_2 = φ とする。
このとき A ⊂ F_1 または A ⊂ F_2 である。

証明
>>528より明らかである。

531 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/11(土) 21:49:15.23
命題
X を位相空間とする。
A を X の連結(>>529)な部分集合とする。
このとき A の閉包 A~ は連結である。

証明
F_1、F_2 を X の閉集合とし、A~ ⊂ F_1 ∪ F_2 かつ A~ ∩ F_1 ∩ F_2 = φ とする。
このとき A ⊂ F_1 ∪ F_2 かつ A ∩ F_1 ∩ F_2 = φ である。
よって、>>530より A ⊂ F_1 または A ⊂ F_2 である。
よって、A~ ⊂ F_1 または A~ ⊂ F_2 である。
よって、>>530より A~ は連結である。
証明終

532 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/11(土) 22:05:42.57
命題
X を位相空間とする。
x を X の点とする。
(C_i)、i ∈ I を X の連結(>>529)な部分集合の族で各 i ∈ I に対して x ∈ C_i とする。
このとき C = ∪C_i は連結である。

証明
F_1、F_2 を X の閉集合とし、C ⊂ F_1 ∪ F_2 かつ C ∩ F_1 ∩ F_2 = φ とする。
x ∈ C であるから x ∈ F_1 または x ∈ F_2 である。
x ∈ F_1 と仮定して一般性を失わない。
各 i ∈ I に対して C_i ⊂ F_1 ∪ F_2 かつ C_i ∩ F_1 ∩ F_2 = φ である。
よって、>>530より C_i ⊂ F_1 または C_i ⊂ F_2
C_i ⊂ F_2 とすると x ∈ C_i ∩ F_1 ∩ F_2 となって矛盾である。
よって、C_i ⊂ F_1
よって、C ⊂ F_1
よって、>>530より C は連結である。
証明終

533 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/11(土) 22:15:59.25
命題
X を位相空間とする。
X における2項関係 〜 を次のように定義する。

x 〜 y ⇔ X のある連結(>>529)な部分集合 A があり x ∈ A かつ y ∈ A となる。

このとき、関係 〜 は同値関係である。

証明
x 〜 y かつ y 〜 z なら x 〜 z となることのみ証明すれば十分である。
x ∈ A かつ y ∈ A
y ∈ B かつ z ∈ B
となる連結な部分集合 A、B がある。
>>532より A ∪ B は連結である。
よって、x 〜 z である。
証明終

534 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/11(土) 22:19:26.05
定義
X を位相空間とする。
>>533で定義した同値関係 〜 による X 上の各同値類を X の連結成分と言う。

535 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/11(土) 22:31:18.77
命題
X を位相空間とする。
x を X の任意の点とする。
x を含む X の連結成分(>>534)C_x は x を含む最大の連結部分集合である。
さらに C_x は閉集合である。

証明
C_x は x を含む連結部分集合全体の合併集合である。
よって、>>532より C_x は連結である。
よって、C_x は x を含む X の最大の連結部分集合である。
>>531より C_x の閉包 (C_x)~ は連結である。
よって、C_x = (C_x)~ である。
よって、C_x は閉集合である。
証明終

536 :132人目の素数さん:2012/02/12(日) 00:54:55.78
>>522
猫はなんでこのスレで数学的なコメントをしないんだ?w
レベル低すぎて相手にならない?

537 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/12(日) 07:14:00.49
定義
X を位相空間とする。
X の各連結成分(>>534)が1点のみからなるとき X を完全不連結(totally disconnected)と言う。

538 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/12(日) 07:16:30.27
定義(代数的整数論022の250)
X を位相空間とする。
任意の x、y ∈ X、x ≠ y に対して x ∈ U、y ∈ X - U となる開かつ閉な U があるとき
X を完全分離(totally separated)と言う。

539 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/12(日) 07:19:03.92
定義(代数的整数論022の252)
X を位相空間とする。
X の開かつ閉な部分集合全体が X の開集合の基底となるとき X を0次元(zero-dimensional)と言う。
即ち X の任意の点 x と x ∈ U となる任意の開集合 U に対して
x ∈ V ⊂ U となる開かつ閉な V が存在するとき X を0次元と言う。

540 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/12(日) 07:34:42.72
補題(代数的整数論022の271)
X を位相空間とする。
x、y ∈ X とする。
x ∈ U、y ∈ V、X = U ∪ V、U ∩ V = φ となる開集合 U、V が存在しないとき
x ≡ y と書く。
このとき、関係 ≡ は X における同値関係である。

証明
推移律のみ証明すればよい。
x ≡ y かつ y ≡ z とする。
x ∈ U、z ∈ V、X = U ∪ V、U ∩ V = φ となる開集合 U、V が存在するとする。
y が U に含まれないなら y ∈ V となって x ≡ y に反する。
よって、y ∈ U である。
y が V に含まれないなら y ∈ U となって y ≡ z に反する。
よって、y ∈ V である。
よって、y ∈ U ∩ V である。
これは U ∩ V = φ に反する。
よって、x ≡ z である。
証明終

541 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/12(日) 07:37:03.53
定義(代数的整数論022の272)
X を位相空間とする。
X における>>540の同値関係 ≡ による同値類を X の準連結成分(quasi-component)と呼ぶ。

542 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/12(日) 07:49:20.39
命題(代数的整数論022の273)
X を位相空間とする。
X の点 x を含む X の準連結成分(>>541)は x を含む X の開かつ閉な部分集合全体の共通集合である。

証明
x を含む X の準連結成分を Q とする。
S を x を含む X の開かつ閉な部分集合全体の共通集合とする。
y ∈ S のとき x を含む任意の開かつ閉な部分集合 U に対して y ∈ U であるから
x ≡ y である。
よって、S ⊂ Q である。
逆の包含関係を示せばよい。

U を x を含む開かつ閉な部分集合とする。
Q ⊂ U でないとすると y ∈ Q - U となる y がある。
V = X - U とおけば V は開集合であり、
x ∈ U、y ∈ V、X = U ∪ V、U ∩ V = φ となり x ≡ y に矛盾である。
よって、Q ⊂ U である。
よって、Q ⊂ S である。
証明終

543 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/12(日) 07:56:15.25
命題(代数的整数論022の274)
X を位相空間とする。
X の点 x を含む X の連結成分(>>534)S は x を含む X の準連結成分(>>541)Q に含まれる。

証明
y ∈ S とする。
x ∈ U、y ∈ V、X = U ∪ V、U ∩ V = φ となる X の開集合 U、V が存在するとする。
x ∈ S∩U、y ∈ S∩V、S = (S∩U)∪(S∩V)、(S∩U)∩(S∩V) = φ となる。
これは S が連結であることに反する。
よって、x ≡ y (>>540)である。
よって、y ∈ Q である。
よって、S ⊂ Q である。
証明終

544 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/12(日) 08:06:24.94
補題(代数的整数論022の276)
X を準コンパクト(>>64)な位相空間とする。
U を X の開集合とする。
(F_i)、i ∈ I を X の閉集合の族で ∩F_i ⊂ U とする。
このとき I の有限部分集合 J があり ∩{F_i; i ∈ J} ⊂ U となる。

証明
X の部分集合 E に対して E^c = X - E と書く。
U^c ⊂ ∪(F_i)^c である。
U^c は閉集合であるから>>68より準コンパクトである。
よって、I の有限部分集合 J があり U^c ⊂ ∪{(F_i)^c ; i ∈ J} ⊂ U となる。
よって、∩{F_i; i ∈ J} ⊂ U となる。
証明終

545 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/12(日) 08:19:37.74
命題(Sura-Bura 1941)(代数的整数論022の277)
X をコンパクト空間(>>64)とする。
X の任意の連結成分(>>534)は X の準連結成分(>>541)である。

証明
x を X の任意の点とし、S を x を含む X の連結成分とする。
>>543より S は X の準連結成分 Q に含まれる。
Q が連結であることを証明すればよい。
>>542より、Q は閉集合である。
Q = A ∪ B、A ∩ B = φ となる閉集合 A、B があるとする。
x ∈ A とする。
X はコンパクトだから代数的整数論007の664より X は正規空間(代数的整数論007の663)である。
よって、A ⊂ U, B ⊂ V となる開集合 U, V で U ∩ V = φ となるものがある。
>>542より Q は x を含む X の開かつ閉な部分集合全体の共通集合である。
Q ⊂ U ∪ V であるから、>>544より x を含む有限個の開かつ閉な部分集合 F_1、...、F_n があり、
F = F_1 ∩...∩ F_n は U ∪ V に含まれる。
よって、F = (F ∩ U)∪(F ∩ V)、(F ∩ U)∩(F ∩ V) = φ
F は開かつ閉だから F ∩ V は開集合である。
よって、F ∩ U = F - (F ∩ V) は開かつ閉である。
x ∈ F ∩ U だから Q ⊂ F ∩ U ⊂ U である。
よって、B ⊂ U ∩ V = φ
よって、B = φ
よって、Q は連結である。
証明終

546 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/12(日) 08:24:43.54
定義(代数的整数論022の257)
X を位相空間とする。
E を X の閉集合とする。
x を E の点とし、{x}~ を {x} の X における閉包とする。
E = {x}~ となるとき x を E の生成点(generic point)と言う。

547 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/12(日) 08:27:42.54
定義
位相空間 X が可約とは、 X = F_1 ∪ F_2 となる、X の閉部分集合 F_1, F_2 で
X ≠ F_1, X ≠ F_2 となるものが存在することをいう。
空集合でない位相空間は可約でないとき既約という。

548 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/12(日) 08:30:16.78
定義(代数的整数論022の259)
X を位相空間とする。
X の任意の既約閉集合(>>547)が生成点(>>546)を一意に持つとき X は穏和(sober)であると言う。

549 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/12(日) 08:37:18.40
定義(代数的整数論022の267)
X を位相空間とする。
KΩ を X の準コンパクト(>>64)な開集合全体とする。
KΩ が以下の性質を満たすとき X を連接空間(coherent space)と呼ぶ。

(1) KΩ は X の位相の基底である。

(2) X ∈ KΩ

(3) U、V ∈ KΩ のとき U ∩ V ∈ KΩ

550 :132人目の素数さん:2012/02/12(日) 08:46:09.66
>>1
>>その他、内容についてのご意見は歓迎します。

>>509 は、内容についての意見なのですが…
返答はまだ、のようです。

551 :132人目の素数さん:2012/02/12(日) 08:50:46.10
>>444の質問をしたもの です

>>464
??
少なくとも、最小分解体が定義される、part4の541では過去スレは
参照されていない。
同じもの(概念)なら、”最小分解体(過去スレpart1の○○○)”と書いて参照すればよいし、
ことなるものなら、新たに名前をつければよいだけ。
(Kummer ◆SgHZJkrsn08e は、過去、名前新設は行なっている)
それだけでは?

552 :132人目の素数さん:2012/02/12(日) 08:58:20.11
スレ part 4で
最小分解体を定義した(part 1に続いて2度目だが)541において、
part 1のスレを参照していないことの証拠(↓)

--------------------------------------------------------

from ガロア生誕200周年記念スレ part 4

541 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/01/16(月) 13:12:23.58
定義
K を可換体とする。
f(X) を K 係数の定数でない1変数多項式とする。
L を f(X) の分解体(>>538)とする。
f の L における全ての根を α_1、...、α_r とする。
L = K(α_1、...、α_r) (>>539)となるとき L を f(X) の最小分解体と言う。


542 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/01/16(月) 13:18:13.61
定義
K を可換体とする。
(f_i(X))、i ∈ I を K[X] の次数1以上の元からなる族とする。
L を K の拡大体とする。
L は各 i ∈ I に対して f_i(X) の分解体(>>538)であるとする。
各 f_i(X) の L における全ての根の集合を S_i とする。
S = ∪{S_i;i ∈ I} とおく。
L = K(S) (>>539)となるとき L を族 (f_i(X))、i ∈ I の最小分解体と言う。
--------------------ココマデ---------------------------------

553 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/12(日) 08:59:38.15
命題(代数的整数論022の269)
完全分離(>>538)な位相空間はHausdorffかつ完全不連結(>>537)である。

証明
X を完全分離な位相空間とする。
X がHausdorffであることは明らかである。
x、y ∈ X、x ≠ y とする。
x ∈ U、y ∈ X - U となる開かつ閉な U がある。
X の部分空間 {x, y} は連結でない。
よって、X は完全不連結である。
証明終

554 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/12(日) 09:04:23.65
定義(代数的整数論018の223)
X を位相空間とする。
x と y を X の任意の相異なる2点とする。
このとき x の近傍 U で y を含まないものがあるか
y の近傍 V で x を含まないものがあるとき X を T_0 空間と呼ぶ。

555 :132人目の素数さん:2012/02/12(日) 09:09:09.23
554 から
位相空間の、分離条件について、書きこみが続いております。

556 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/12(日) 09:09:11.37
定義(代数的整数論006の210)
Hausdorff位相空間 X が次の性質をもつとき正則であるという。

X の任意の点の閉近傍全体はこの点の基本近傍系になる。

557 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/12(日) 09:20:10.53
命題
0次元(>>539)のHausdorff空間は正則(>>556)である。

証明
自明である。

558 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/12(日) 09:24:15.74
命題(代数的整数論006の270)
0次元(>>539)の T_0 空間(>>554)は正則(>>556)(従ってHausdorff)である。

証明
X を0次元の T_0 空間とする。
>>557より X がHausdorffであることを示せばよい。
x、y ∈ X、x ≠ y とする。
X は T_0 空間だから、
x ∈ U、y ∈ X - U または y ∈ U、x ∈ X - U となる開集合 U がある。
x ∈ U、y ∈ X - U と仮定してよい。
X は0次元だから x ∈ V ⊂ U となる開かつ閉な V がある。
y ∈ X - V であり、X - V は開集合だから X はHausdorffである。
証明終

559 :132人目の素数さん:2012/02/12(日) 09:25:01.26
Kummer(>>427)が、
高慢である(のは如何なものか)。
その一例↓
----------------------------
>>427 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 09:58:59.74
>>425
>>違うものに、同じ名前を付けるのは、マズイのでは?

>誤解のおそれが無ければよい
----------------------------
まあ、書いている本人には、「誤解」はありえないが(w



560 :132人目の素数さん:2012/02/12(日) 09:26:31.13

猫が性犯罪に走ったのは、母親の浮気が遠因になっているの>猫




561 :132人目の素数さん:2012/02/12(日) 09:26:48.84
数学の本 第44巻 より

896 :Kummer ◆2bmoujqRHk :2012/02/01(水) 10:38:44.04 ID:???
いつもいつもスレを荒らされて迷惑なんだよ

562 :132人目の素数さん:2012/02/12(日) 09:29:12.08


猫が親父さんについての総括のレポートを書いていたそうだけど

どんな内容なんですか?>猫さん

563 :132人目の素数さん:2012/02/12(日) 09:30:10.76
>>554
Hausdorff位相空間
= T_2 空間

564 :132人目の素数さん:2012/02/12(日) 09:30:15.88
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1321860460/711
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1321860460/716
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1321860460/718
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1321860460/720
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/308
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/309
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/311
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/312
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/324
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/327
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/445
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/449
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/452

http://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1321860460/711
http://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1321860460/716
http://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1321860460/718
http://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1321860460/720
http://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1323751124/308
http://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1323751124/309
http://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1323751124/311
http://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1323751124/312
http://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1323751124/324
http://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1323751124/327
http://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1323751124/445
http://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1323751124/449
http://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1323751124/452


管理人様 クマをアク禁にしてくださいませ


565 :132人目の素数さん:2012/02/12(日) 09:33:23.89
多元のU教授って、論文を書けないの? 書かないの?

もともとたいした論文書いてないから
書かないのではなくて、書けないのだろうね?

566 :132人目の素数さん:2012/02/12(日) 09:38:08.22
書けないに決まっております

567 :132人目の素数さん:2012/02/12(日) 09:41:59.58
165 : 132人目の素数さん : 2011/11/23(水) 04:37:51.52
強正則なんて初めて聞いた。
文献は?

167 : Kummer ◆SgHZJkrsn08e : 2011/11/23(水) 05:09:11.89
>>165
私が勝手に名付けた。
何かの文献を写してるわけじゃないので。

以上、ガロア生誕200周年記念スレ part 2 より

568 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/12(日) 09:42:08.50
>>509
>体論を書き進めていく途中で、2度も、最小分解体が定義されている書籍がありましたら
>教えて下さい。

知らんがな
コピペするならともかく、そうでないなら既にある本と同じような書き方をする必要はない

569 :132人目の素数さん:2012/02/12(日) 09:43:36.54
実質的にはコピペだろw

570 :132人目の素数さん:2012/02/12(日) 09:49:45.19
>>568
アレ、威勢のイイコトおっしゃって
では、次のことはどうですか?

>>391
>>両者は実質的にはほとんど同じだが形式上異なる。
理解に苦しむ理由などいわないで欲しい。
訂正が必要(part4の541の最小分解体とpart1の149の最小分解体について)なら、
訂正すればよい。(だけですよね〜?)

571 :132人目の素数さん:2012/02/12(日) 09:54:16.74
>>568
アレ、威勢のイイコトおっしゃって

Kummer 自身が、最小分解体を、part4の541と 、part1の149で、2度定義している
じゃないですか。
>>391で、2つの最小分解体は違うト、書いていますよね。
-------------------------------------------------
391 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 11:22:58.96
>>389
part4の541の最小分解体はpart1の149の最小分解体であるが逆は成り立たない。

572 :132人目の素数さん:2012/02/12(日) 10:07:48.25
数学の本 第44巻 より
------------ 以下 引用 −−−−−−−
896 :Kummer ◆2bmoujqRHk :2012/02/01(水) 10:38:44.04 ID:???
いつもいつもスレを荒らされて迷惑なんだよ
------------ 引用 ココマデ−−−−−−−



573 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/12(日) 10:16:34.45
補題(代数的整数論006の270)
既約(>>547)なHausdorff空間は一点のみからなる。

証明
X を既約なHausdorff空間とする。
X は空でないから少なくとも一点 x を含む。
X が x と異なる点 y を含むとする。
X はHausdorffだから x ∈ U、y ∈ V、X = U ∪ V、U ∩ V = φ となる開集合 U、V が存在する。
しかし、X は既約だから U ∩ V ≠ φ である。
よって、X = {x} である。
証明終

574 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/12(日) 10:22:39.29
>>558の修正

命題(代数的整数論022の270)
0次元(>>539)の T_0 空間(>>554)は正則(>>556)(従ってHausdorff)である。

証明
X を0次元の T_0 空間とする。
>>557より X がHausdorffであることを示せばよい。
x、y ∈ X、x ≠ y とする。
X は T_0 空間だから、
x ∈ U、y ∈ X - U または y ∈ U、x ∈ X - U となる開集合 U がある。
x ∈ U、y ∈ X - U と仮定してよい。
X は0次元だから x ∈ V ⊂ U となる開かつ閉な V がある。
y ∈ X - V であり、X - V は開集合だから X はHausdorffである。
証明終

575 :132人目の素数さん:2012/02/12(日) 10:24:10.52
>>569
根拠は?

576 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/12(日) 10:26:22.52
>>573の修正

補題(代数的整数論022の279)
既約(>>547)なHausdorff空間は一点のみからなる。

証明
X を既約なHausdorff空間とする。
X は空でないから少なくとも一点 x を含む。
X が x と異なる点 y を含むとする。
X はHausdorffだから x ∈ U、y ∈ V、X = U ∪ V、U ∩ V = φ となる開集合 U、V が存在する。
しかし、X は既約だから U ∩ V ≠ φ である。
よって、X = {x} である。
証明終

577 :132人目の素数さん:2012/02/12(日) 10:27:50.38
>>568
根拠は?

578 :132人目の素数さん:2012/02/12(日) 10:36:56.37
902 :132人目の素数さん:2012/01/21(土) 12:04:05.83
EF = E(F)=F(E)=FE
ですよね。

903 :132人目の素数さん:2012/01/21(土) 12:10:03.12
なんでどこでも書かれていることを

わざわざ、時間をかけて書くのW

暇なの?

904 :132人目の素数さん:2012/01/21(土) 12:11:32.59
勿論そうです



579 :132人目の素数さん:2012/02/12(日) 11:00:04.24
>>577
例えば以下は私のオリジナル(広い世界を探せば他の誰かがやってるかもしれないが)

part1の792の証明
part2の219
>>51の証明
>>282
>>498

580 :132人目の素数さん:2012/02/12(日) 11:05:18.18
どこでも書かれてないだろ
話の都合上初歩的なことも書いてるがそれは後で引用するため
それ(誰でも知ってること)を書くことが目的じやない
誤解しないように

581 :132人目の素数さん:2012/02/12(日) 11:40:19.73
>>578
何回も同じことコピペしてるがKummerが書いたかどうか分からんだろw

582 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/12(日) 11:50:45.79
命題(代数的整数論022の281)
X を位相空間とする。
以下の条件は同値である。

(1) X は完全不連結(>>537)なコンパクト空間(>>64)である。

(2) X は準コンパクト(>>64)で完全分離(>>538)である。

(3) X は準コンパクトで0次元(>>539)の T_0 空間(>>554)である。

(4) X はHausdorffで穏和(>>548)な連接空間(>>549)である。

証明
(1) ⇒ (2)
>>545より X の任意の点は X の準連結成分(>>541)である。
よって、任意の x、y ∈ X、x ≠ y に対して
x ∈ U、y ∈ V、X = U ∪ V、U ∩ V = φ となる開集合 U、V が存在する。
よって、X は完全分離である。

(2) ⇒ (1)
>>553より明らかである。

(1) ⇒ (3)
X が準コンパクトでT_0 空間であることは自明である。
>>545>>542より X の任意の点 x に対して
{x} は x を含む X の開かつ閉な部分集合全体の共通集合である。
よって、>>544より x ∈ U となる任意の開集合 U に対して
x を含む有限個の開かつ閉な部分集合 F_1、...、F_n があり ∩F_i ⊂ U となる。
∩F_i は開かつ閉であるから X は0次元である。

(続く)

583 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/12(日) 11:51:28.12
>>582の続き

(3) ⇒ (2)
X は T_0 だから任意の x、y ∈ X、x ≠ y に対して x ∈ U、y ∈ X - U または y ∈ U、x ∈ X - U
となる開集合がある。
x ∈ U、y ∈ X - U と仮定してよい。
X は0次元だから x ∈ V ⊂ U となる開かつ閉な V がある。
このとき y ∈ X - V だから X は完全分離である。

(3) ⇒ (4)
上記から X はコンパクトであるから X の準コンパクト集合全体と X の閉集合全体は一致する。
よって、X の準コンパクトな開集合全体は開かつ閉な部分集合全体と一致する。
よって、X は連接空間である。
X はHausdorff空間だから>>576より X の既約部分集合は一点からなる。
よって、X は穏和である。

(4) ⇒ (3)
X はHausdorff連接空間だからコンパクトである。
よって、X の準コンパクトな開集合全体は開かつ閉な部分集合全体と一致する。
よって、0次元である。
証明終

584 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/12(日) 12:23:10.90
補題
G を位相群とする。
e をその単位元とする。
K を G の準コンパクト(>>64)な部分集合とする。
U を G の開集合で K ⊂ U とする。
このとき e の開近傍 V で KV ⊂ U となるものが存在する。

証明
K の各点 x に対して e の開近傍 W_x で xW_x ⊂ U となるものがある。
e の開近傍 V_x で (V_x)^2 ⊂ W_x となるものがある。
K は準コンパクトだから K の有限個の点 x_1、...、x_n があり
K ⊂ x_1V_(x_1) ∪ ...∪ x_nV_(x_n) となる。
V = ∩{V_(x_i);i = 1、...、n} とおく。
KV ⊂ x_1(V_(x_1))^2 ∪ ...∪ x_n(V_(x_n))^2 ⊂ x_1W_(x_1) ∪ ...∪ x_nW_(x_n) ⊂ U
証明終

585 :132人目の素数さん:2012/02/12(日) 12:50:00.82
猫すらも相手にしない一人ゼミw


586 :猫は駄作王 ◆MuKUnGPXAY :2012/02/12(日) 12:55:11.92
>>585
いいや、時折ちゃんと読んで勉強させて貰ってます。何時も応援してる
非常に大切なスレですね。オマエみたいな馬鹿とは大違いやナ。

馬鹿はくたばれ。




587 :132人目の素数さん:2012/02/12(日) 13:47:23.56
>>585
相手されてるだろ
むしろある意味人気スレw

588 :132人目の素数さん:2012/02/12(日) 14:05:03.46
>>586
だったらなんで突っ込まない? 猫先生のゼミでは学生一人でしゃべらせて終わりだったのか?w

589 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/12(日) 14:31:45.04
補題
G を位相群とする。
e をその単位元とする。
K を G の準コンパクト(>>64)な部分集合とする。
U を e の任意の開近傍とする。
このとき e の開近傍 V で K の任意の点 x に対して
xVx^(-1) ⊂ U となるものが存在する。

証明
K の任意の点 x に対して xex^(-1) = e だから
x の開近傍 W_x と e の開近傍 V_x で (W_x)(V_x)(W_x)^(-1) ⊂ U となるものがある。
K は準コンパクトだから K の有限個の点 x_1、...、x_n があり
K ⊂ W_(x_1) ∪ ...∪ W_(x_n) となる。
V = ∩{V_(x_i);i = 1、...、n} とおけばよい。
証明終

590 :猫は駄作王 ◆MuKUnGPXAY :2012/02/12(日) 14:48:35.48
>>588
私は先生ではない。先生はKummer氏や。




591 :132人目の素数さん:2012/02/12(日) 17:18:18.03
>>590
いや先生だったときの話。きっと単位のとりやすい優しい先生だったんだねw

592 :132人目の素数さん:2012/02/12(日) 17:23:11.41
>>Kummer
おいおいくだらねぇ数学のカキコしやがって…創造性のない屑やないか

593 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/12(日) 19:38:34.87
定義(代数的整数論006の128)
Hausdorff空間 X の各点がコンパクト(>>64)な近傍をもつとき、
X は局所コンパクトであると言う。

594 :132人目の素数さん:2012/02/12(日) 19:41:37.18
>>Kummer
もうちょっとcreativeなカキコをしようや。つまらんがな。

595 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/12(日) 19:57:49.61
定義(代数的整数論022の499)
X を位相空間とする。
KΩ を X の準コンパクト(>>64)な開集合全体とする。
KΩ が以下の性質を満たすとき X を準連接空間(quasi-coherent space)と呼ぶ。

(1) KΩ は X の位相の基底である。

(2) U、V ∈ KΩ のとき U ∩ V ∈ KΩ

596 :132人目の素数さん:2012/02/12(日) 20:04:55.24
>>Kummer
コラ、つまらんカキコをすな!

597 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/12(日) 20:11:36.34
命題(代数的整数論022の439と507)
X を局所コンパクト空間(>>593)とする。
以下の条件は同値である。

(1) X は完全不連結(>>537)である。

(2) X は0次元(>>539)である。

(3) X は完全分離(>>538)である。

(4) X は準連接空間(>>595)である。

証明
(1) ⇒ (2)
x を X の任意の点とし V を x の任意の近傍とする。
x ∈ U ⊂ V となる開かつ閉な U があることを示せばよい。
X は局所コンパクトであるから
x ∈ W、W~ ⊂ V となる x の開近傍 W で W~ がコンパクトとなるものがある。
ここで、W~ は W の閉包である。
{x} は W~ の連結成分であるから>>545>>542より
{x} は x を含む W~ の開かつ閉な部分集合全体の共通集合である。
よって、>>544より W~ の開かつ閉な部分集合 U_1、...、U_n があり、
x ∈ U = U_1∩...∩U_n ⊂ W となる。
U は W~ の閉集合であるから X の閉集合である。
U は W の開集合であるから X の開集合である。

(続く)

598 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/12(日) 20:12:19.14
>>597の続き

(2) ⇒ (3)
X はHausdorff空間だから
任意の x、y ∈ X、x ≠ y に対して x ∈ U、y ∈ V、U ∩ V = φ となる開集合 U、V がある。
X は0次元であるから x ∈ W ⊂ U となる開かつ閉な W がある。
このとき y ∈ X - W であるから X は完全分離(>>538)である。

(3) ⇒ (1)
>>553で証明されている。

(2) ⇒ (4)
KΩ を X の準コンパクト(>>64)な開集合全体とする。
W を X の任意の空でない開集合とする。
x を W の任意の点とする。
X は局所コンパクトであるから x の開近傍 U でその閉包 U~ がコンパクトであり、
U~ ⊂ W となるものがある。
X は0次元であるから x ∈ V ⊂ U となる開かつ閉な V がある。
V は U~ の閉集合であるからコンパクトである。
よって、V ∈ KΩ である。
よって、KΩ は X の位相の基底である。
U、V ∈ KΩ のとき、U ∩ V ∈ KΩ は明らかである。
よって、X は準連接空間である。

(4) ⇒ (2)
Hausdorff空間の準コンパクト部分集合は閉集合であることから明らかである。
証明終

599 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/12(日) 20:17:25.88
定義
コンパクト(>>64)な位相群をコンパクト群と呼ぶ。

600 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/12(日) 20:18:06.16
定義
局所コンパクト(>>593)な位相群を局所コンパクト群と言う。

601 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/12(日) 20:40:21.99
命題
G を完全不連結(>>537)な局所コンパクト群(>>600)とする。
G のコンパクト開部分群全体は G の単位元 e の基本近傍系となる。

証明
U を e の任意の近傍とする。
e ∈ H ⊂ U となるコンパクト開部分群が存在することを示せば良い。
>>597より G は準連接空間(>>595)である。
よって、e ∈ V ⊂ U となるコンパクト開集合 V がある。
>>584より e の開近傍 W で VW ⊂ V となるものが存在する。
W を W ∩ W^(-1) で置き換えて W は対称(>>506)と仮定して良い。
e ∈ V だから W ⊂ VW ⊂ V である。
よって、W^2 ⊂ VW ⊂ V
同様にして任意の整数 n ≧ 1 に対して W^n ⊂ V
H = {W^n;;n = 1、2、...} とおく。
>>510より H は G の開部分群である。
>>249より H は G の閉集合である。
H ⊂ V であり V はコンパクトだから>>68より H はコンパクトである。
証明終

602 :132人目の素数さん:2012/02/12(日) 20:53:32.94
これって 本当なの?>猫


381 :Trader@Live!:2010/01/13(水) 04:53:40 ID:2v42IriS
某新聞社の人間なんだが、外国人参政権関連で上から圧力がかかった。
簡単に言ってしまうと、嘘でも何でも良いので世論を誘導しろという内容、
後で問題にならないのか聞いた連中もいたみたいだが、どうやら政府のお墨付きらしい。
うちだけでなく他の新聞社やテレビ局なんかも似たような動きみたい。

383 :Trader@Live!:2010/01/13(水) 04:58:38 ID:2v42IriS
どんな些細な嘘も見逃さずどんどん声を上げてほしい。
新聞社やテレビ局などへの直接クレームだけでなく、
スポンサーへの抗議活動や不買運動(実はこれが一番痛い)を頼む。
戦前なんかとは比べ物にならないほどの異常事態、このままじゃ日本が無くなってしまう。


603 :132人目の素数さん:2012/02/12(日) 20:55:50.58
クマーよ どこか駅か街路でも掃除してきなさい
その方がはるかに意味があるよw

604 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/12(日) 21:06:06.99
命題
G を完全不連結(>>537)なコンパクト群(>>599)とする。
G の開正規部分群全体は G の単位元 e の基本近傍系となる。

証明
U を e の任意の近傍とする。
N ⊂ U となる開正規部分群 N が存在することを示せば良い。
>>601より H ⊂ U となる開部分群 H が存在する。
N = ∩{xHx^(-1); x ∈ G} とおく。
N は G の正規部分群である。
N ⊂ H ⊂ U であるから N が G の開部分群であることを示せばよい。
>>589より e の開近傍 V で G の任意の点 x に対して
xVx^(-1) ⊂ H となるものが存在する。
V ⊂ x^(-1)Hx であるから V ⊂ N
よって、>>505より N は G の開部分群である。
証明終

605 :132人目の素数さん:2012/02/12(日) 21:07:55.76
>>Kummer
おいおい、こんなアホなカキコしとったら監視せざるを得ないやんけ。

606 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/13(月) 09:45:49.07
命題
G と H を位相群とする。
f:G → H を準同型とする。
f が開写像(>>136)であるためには G の単位元 e の任意の開近傍 V に対して
f(V) が H の開集合であることが必要十分である。

証明
必要性:自明である。

十分性:
G の任意の開集合 U に対して f(U) が H の開集合であることを示せば良い。
任意の x ∈ U に対して e の開近傍 V で xV ⊂ U となるものがある。
f(xV) = f(x)f(V) ⊂ f(U)
仮定より f(V) は f(e) の開近傍である。
よって、f(U) は H の開集合である。
証明終

607 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/13(月) 09:51:29.87
定義(代数的整数論009の200)
位相群 G から位相群 G’への連続準同型 f が次の条件(*)を満たすとき
f を G から G’への強射(strict morphism)と言う。

(*)G の開集合の f による像は f(G) の開集合である。

608 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/13(月) 11:40:42.04
定義(代数的整数論008の139)
X を集合とする。
X 上の2項関係 ≦ が以下の2条件を満たすとき関係 ≦ を前順序(preorder)と言い、
X を前順序集合(preordered set)と言う。

(1) 任意の x ∈ X に対して、x ≦ x が成り立つ。
(2) x、y、z ∈ X に対して、 x ≦ y かつ y ≦ z なら x ≦ z が成り立つ。

609 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/13(月) 11:45:52.17
定義(代数的整数論008の140)
X を前順序集合(>>608)とする。
X の任意の2元 x、y に対して x ≦ z、y ≦ z となる z ∈ X があるとき
X を上向きの有向集合と言う。

X の任意の2元 x、y に対して x ≧ z、y ≧ z となる z ∈ X があるとき
X を下向きの有向集合と言う。

610 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/13(月) 12:13:28.36
命題
TopGrpを小さい集合(代数的整数論017の321)上で定義された位相群の圏とする。
I を小さいグラフ(過去スレpart2の809)とする。
F:I → TopGrp を図式(過去スレpart2の817)とする。
P を (F(i))、i ∈ I の積とする。
各 i ∈ I に対して p_i:P → F(i) を射影とする。
G = {(x_i) ∈ P; I における各射 u:i → j に対して F(u)(x_i) = x_j} とおく。
各 i ∈ I に対して p_i:P → F(i) の定義域を G に制限したものを π_i とおく。
族 (π_i)、i ∈ I を π とする。
このとき (G、π) は lim F(過去スレpart2の824)である。
よって、TopGrp は完備(過去スレpart2の887)である。

証明
G は明らかに P の部分群である。
よって、G は P の部分空間としての位相で位相群である。
各 p_i:P → F(i) は連続な準同型である。
よって、各 π_i:G → F(i) は連続な準同型である。
よって、π:G → F は TopGrp における錐(過去スレpart2の822)である。
(G、π) が lim F であることは過去スレpart3の502と同様にして分かる。
証明終

611 :猫は駄作王 ◆MuKUnGPXAY :2012/02/13(月) 12:16:35.52
>>602
証拠がありませんから、従って真偽の程は私には判定が出来ません。で
すが「そういう考え方」があっても全く不思議ではないと私は考えます。
特にマスコミを使って世論を誘導するというのは当然にあり得る事でし
ょうから。しかも日本の場合は『一般大衆がマスコミの報道を鵜呑みに
する』という傾向が非常に強いので、従ってそういう方法を援用するの
は極めて有効な方法論である事くらいは「その筋の人達」は当然に良く
知っている筈ですね。それで「そういう事をやるかやらないか」はまた
別の問題ですからね。

でも例えば『原発事故に関する隠蔽体質』というのは:
★★★『もし国民にバレさえしなければ事無きを得るという考え方』★★★
という認識の顕著な現れですから、こういう解釈で国民は愚弄されて騙
されていると考えるのが妥当ではないでしょうか。まあ検察特捜部なん
てのも(自分達の権威を傘に着て)全く同じ事をしてますからね。




612 :猫は駄作王 ◆MuKUnGPXAY :2012/02/13(月) 12:20:53.83
>>602
まあ『秩序を保つ為だったら国民を騙しても良い』という考え方がその背
後には(例えば官僚機構ではソレは顕著)当然あるでしょうね。今話題に
なってる『シリアのアサド政権』なんてえのはそういう事ですから、なの
で特に独裁的な考え方ではそういう事は基本中の基本なんでしょうけど。




613 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/13(月) 12:23:58.48
定義(代数的整数論022の248)
完全不連結(>>537)なコンパクト空間(>>64)をStone空間と言う。

614 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/13(月) 12:27:12.02
定義(代数的整数論022の440)
完全不連結(>>537)な局所コンパクト空間(>>593)を一般Stone空間と言う。

615 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/13(月) 12:31:14.46
補題(代数的整数論022の825)
X を完全分離(>>538)な位相空間とする。
X の任意の部分空間 Y は完全分離である。

証明
X は完全分離であるから、
任意の x、y ∈ Y、x ≠ y に対して x ∈ U、y ∈ X - U となる X の開かつ閉な部分集合 U がある。
V = U ∩ Y は Y の開かつ閉な部分集合であり、x ∈ V、y ∈ Y - V
よって、Y は完全分離である。
証明終

616 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/13(月) 12:37:59.07
命題(代数的整数論022の827)
X をStone空間(>>613)とする。
Y を X の部分空間とする。
Y がStone空間であるためには Y が X の閉集合であることが必要十分である。

証明
必要性:
Y がStone空間なら Y はコンパクトである。
X はHausdorff空間であるから>>69より Y は X の閉集合である。

十分性:
Y が X の閉集合であるとする。
X はコンパクトであるから>>68より Y はコンパクトである。
>>582より X は完全分離(>>538)であるから、>>615より Y は完全分離である。
よって、>>582より Y はStone空間である。
証明終

617 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/13(月) 12:43:12.53
定義(代数的整数論008の182)
X を位相空間とする。
A を X の部分集合とする。

A の各点 x ∈ A に対して x の(開集合とは限らない)近傍 V が存在し、
A ∩ V が V の閉集合となるとき A を X の局所閉集合と言う。

618 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/13(月) 12:52:07.11
命題(代数的整数論008の185)
Hausdorff空間 X の局所コンパクト(>>593)な部分空間 Y は
X の局所閉集合(>>617)である。

証明
Y の各点 x ∈ Y に対して x の近傍 V が存在し、
Y ∩ V が V のコンパクト集合となる。
V はHausdorffだから>>69より Y ∩ V は V の閉集合である。
証明終

619 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/13(月) 12:57:13.81
命題(代数的整数論008の186)
局所コンパクト空間(>>593)X の局所閉集合(>>617)Y は
局所コンパクトである。

証明
Y の各点 x ∈ Y に対して x の近傍 V が存在し、
Y ∩ V が V の閉集合となる。
x の X におけるコンパクト近傍 W ⊂ V をとる。
x の Y における近傍 Y ∩ W = (Y ∩ V) ∩ W は
W の閉集合だから>>68よりコンパクトである。
証明終

620 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/13(月) 13:08:38.60
命題(代数的整数論008の826)
X を一般Stone空間(>>614)とする。
Y を X の部分空間とする。
Y が一般Stone空間であるためには Y が X の局所閉集合(>>617)であることが
必要十分である。

証明
必要性:
Y が一般Stone空間なら Y は局所コンパクトである。
>>618より Y は X の局所閉集合である。

十分性:
Y が X の局所閉集合であるとする。
>>619より Y は局所コンパクトである。
>>597より X は完全分離(>>538)であるから、>>615より Y は完全分離である。
よって、>>597より Y は一般Stone空間である。
証明終

621 :132人目の素数さん:2012/02/13(月) 13:19:55.38
>どこでも書かれてないだろ( >>580 参照 )

何回も同じこと(↑)書いてるがKummerが書いたかどうか分からんだろw

622 :132人目の素数さん:2012/02/13(月) 13:33:13.60
>580 :132人目の素数さん:2012/02/12(日)
>>どこでも書かれてないだろ

以下のようなことを書くKummerが、こう(↑)いっているが
信じられるのか。
これは真実なのか。
>213 : Kummer ◆SgHZJkrsn08e : 2011/12/23(金) 14:29:10.63
>俺が犯罪者なのかキチガイなのか
>215 : Kummer ◆SgHZJkrsn08e : 2011/12/23(金) 14:31:20.01
>キチガイは逮捕されても無罪
(>>14 参照のこと)

ことばに気を付けよう

623 :132人目の素数さん:2012/02/13(月) 14:28:32.91
>>1
>>その他、内容についてのご意見は歓迎します。

>>551 (>>552) は、内容についての意見なのですが…
返答はまだ、のようです。

624 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/13(月) 15:06:42.53
命題
(X_i)、i ∈ I をStone空間(>>613)の族とする。
このとき (X_i)、i ∈ I の直積 X = ΠX_i はStone空間である。

証明
Tychonoffの定理(代数的整数論009の432)より X は準コンパクト(>>64)である。
X はHausdorffであるから X はコンパクト(>>64)である。
よって、>>582より X が0次元(>>539)であることを示せば良い。
各 i ∈ I に対して π_i:X → X_i を射影とする。
U を X_i の開かつ閉な部分集合とする。
π_i は連続だから (π_i)^(-1)(U) は開かつ閉である。
i と U を変化させたとき (π_i)^(-1)(U) の形の集合の有限個の共通集合全体は
X の開集合の基底である。
よって、X は0次元である。
証明終

625 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/13(月) 15:27:09.34
>>623
>>551
>>ことなるものなら、新たに名前をつければよいだけ。

別の意味だけど誤解の恐れが無ければ同じ名前でもいいでしょ。
Bourbakiもやってるし。
しつこくリンクを付けてるので誤解の恐れはないはず。

このことは前にも書いたから返事する必要はないと思ったんですが。

626 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/13(月) 15:37:12.00
命題
X を有限集合に離散位相を入れた空間とする。
このとき、X はStone空間(>>613)である。

証明
>>67より X は準コンパクト(>>64)である。
X はHausdorffだからコンパクト(>>64)である。
X の任意の部分集合は開かつ閉である。
よって、X は0次元(>>539)である。
よって、>>582より X はStone空間である。
証明終

627 :132人目の素数さん:2012/02/13(月) 16:07:48.38

     ∧_∧
    ⊂(・ω・`)つ-、
   ///  /_/ |
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無職は一日中無意味な書き込みを続けているなw

628 :132人目の素数さん:2012/02/13(月) 16:19:41.46
無職に限らず全ての人生は無意味
地球は宇宙のゴミの一粒
その上に住む人間はそれより小さい
人類の歴史なぞ無意味
宇宙の歴史から比べたら一瞬のうちに消え去る運命
ましてや人間の一生なぞ無意味も無意味
蚊の一生と変わらない

629 :132人目の素数さん:2012/02/13(月) 17:37:13.25

例えば、草がある。
その草は「草」としてそこに存在している訳だが、我々がそれを草と認識するには、草がまず草であるという理解が必要となる。
何か分からないものに対して、その「もの」に自分の少しの理解が加われば、そこに存在しているものの見方も変わってくる。

汚い話になるが、うんこが目の前の道に落ちている。
殆どの人はうんこから遠ざかり、逃げるだろう。その状況下で「なぜ、うんこがそこに落ちているか」を考える人はそう少ない。「うんこ」に対する理解の仕方が一方的であるために、殆どの人は同じ行動をとってしまう。
ある問題に出会ったときに、いわゆる「答え」までの考える過程は人それぞれ。
ただ数学は答えが1つである。
その1つの答えを求めて、論理的に思考するのである。
論理的に思考することは、我々に行動の自信を与える。
自分が次に何をすればよいのか、どのような反応をとればよいのか。

人間が進化していく過程の中で、「考える」という時間があったはずだ。
考えることは、人間に与えられた楽しみであり、またそれは同時に喜びである。
数学の「緻密な論理性」はまさに、我々人間が持つ「最高の思考力」なのである。

630 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/13(月) 18:03:12.24
命題
Topを小さい集合(代数的整数論017の321)上で定義された位相空間の圏とする。
I を小さいグラフ(過去スレpart2の809)とする。
F:I → Top を図式(過去スレpart2の817)とする。
各 i ∈ I に対して F(i) はStone空間(>>613)であるとする。
過去スレpart3の502より X = lim F(過去スレpart2の824)が存在する。
このとき X はStone空間である。

証明
P を (F(i))、i ∈ I の積空間とする。
各 i ∈ I に対して p_i:P → F(i) を射影とする。
X = {(x_i) ∈ P; I における各射 u:i → j に対して F(u)(x_i) = x_j} とおく。
このとき 過去スレpart3の502より X = lim F である。
>>624より P はStone空間である。
一方、過去スレpart3の494より X は P の閉集合である。
よって、>>616より X はStone空間である。
証明終

631 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/13(月) 19:16:12.67
定義(代数的整数論017の307と319)
以下の条件を満たす集合 U をGrothendieckの宇宙(Grothendieck's universe)という。

(1) X ∈ U かつ Y ∈ X なら Y ∈ U

(2) X ∈ U かつ Y ∈ U なら {X, Y} ∈ U

(3) X ∈ U なら 2^X ∈ U
ここで 2^X は X の部分集合全体の集合である。

(4) I ∈ U で (X_i), i ∈ I を I を添字集合とする U の元からなる族としたとき、
∪X_i ∈ U

(5) ω = {0, 1, 2, . . .} を有限順序数全体の集合とするとき ω ∈ U

632 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/13(月) 19:26:37.21
集合論のZFC公理系ではGrothendieckの宇宙(>>631)の存在は証明不可能である。
我々はGrothendieckの宇宙の存在を認めることにする。

633 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/13(月) 19:29:04.43
定義(代数的整数論017の321)
Grothendieckの宇宙(>>631)U を固定する。
X ∈ U となる集合 X を小さい集合と呼ぶ。

634 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/13(月) 20:08:20.62
定義(代数的整数論017の325)
グラフ G とは二つの集合 Ob(G)、Hom(G) と二つの写像 s, t: Hom(G) → Ob(G)
からなる四つ組 G = (Ob(G), Hom(G), s, t) のことである。
特に断らない限り Ob(G) 及び Hom(G) は>>633で固定したGrothendieckの宇宙 U の部分集合とする。

Ob(G) の元を G の頂点(vertex)または対象(object)と呼び、
Hom(G) の元を G の辺(edge)または矢(arrow)または射(morphism)と呼ぶ。
f ∈ Hom(G) に対して s(f) を f の定義域(source または domain)と呼び
t(f) を f の値域(target または codomain)と呼ぶ。
X = s(f), Y = t(f) のとき f: X → Y と書く。

635 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/13(月) 20:13:03.60
定義(代数的整数論017の325)
小さいグラフ G とはグラフ(>>634)G で Ob(G) および Hom(G) が小さい集合(>>633)であるものを言う。

636 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/13(月) 21:34:10.64
記法
G をグラフ(>>634)とする。
X と Y を G の対象(>>634)とする。
射(>>634)f:X → Y の全体の集合を Hom(X, Y) と書く。

637 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/13(月) 21:38:27.69
定義
G をグラフ(>>634)とする。
G の任意の対象(>>634)X、Y に対して Hom(X, Y)(>>636)が小さい集合(>>633)のとき
G を局所的に小さいグラフと言う。

638 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/13(月) 21:43:01.29
定義
G をグラフ(>>634)とする。
Ob(G) と Hom(G) が有限集合のとき G を箙(quiver)と言う。
箙(えびら)とは弓矢の矢を入れた筒のことである。

639 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/13(月) 22:48:26.51
定義(代数的整数論017の326)
G と H をグラフ(>>634)とする。
射 F:G → H とは写像の組 F = (F_0, F_1) で次の条件(M)を満たすもののことを言う。
ここで、
F_0: Ob(G) → Ob(H)
F_1: Hom(G) → Hom(H)
である。

条件(M):f:X → Y を G の任意の射(>>634)としたとき F_1(f): F_0(X) → F_0(Y)

640 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/13(月) 22:52:46.96
記法
G と H をグラフ(>>634)とする。
F = (F_0, F_1) を射(>>639)F:G → H とする。
このとき F_0 と F_1 を F と略記する。
よって、>>639の条件(M)は次のようになる。

条件(M):f:X → Y を G の任意の射(>>634)としたとき F(f): F(X) → F(Y)

641 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/13(月) 23:14:18.51
定義
G をグラフ(>>634)とする。
1_Ob(G):Ob(G) → Ob(G) と 1_Hom(G):Hom(G) → Hom(G) をそれぞれ恒等写像とする。
このとき (1_Ob(G)、1_Hom(G)):G → G は射(>>639)である。
これを G の恒等射または単位射と呼び 1_G と書く。

642 :132人目の素数さん:2012/02/13(月) 23:29:09.76
>>621
得意の自演というやつだw

643 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/14(火) 07:16:57.00
定義(代数的整数論017の331)
A、B、C をグラフ(>>634)とする。
F = (F_0、F_1):A → B と G = (G_0、G_1):B → C を射(>>639)とする。
このとき、H = (G_0F_0、G_1F_1) は射:A → C である。
H を GF と書き F と G の合成と呼ぶ。

644 :132人目の素数さん:2012/02/14(火) 07:28:20.98
>>熊
謝れ

645 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/14(火) 07:44:37.99
定義(代数的整数論017の332)
A = (Ob(A), Hom(A), s_A, t_A)
B = (Ob(B), Hom(B), s_B, t_B)
をグラフ(>>634)とする。

Ob(B) ⊂ Ob(A) かつ Hom(B) ⊂ Hom(A) であり、
s_B および t_B がそれぞれ s_A および t_A の制限写像であるとき、
即ち B における射 f:X → Y は常に A における射であるとき、
B を A の部分グラフと呼ぶ。

646 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/14(火) 08:03:31.96
定義(代数的整数論017の333)
A = (Ob(A), Hom(A), s_A, t_A)
B = (Ob(B), Hom(B), s_B, t_B)
をグラフ(>>634)とする。

Ob(B) = Ob(A)
Hom(B) = Hom(A)
s_B = t_A
t_B = s_A
のとき B を A の双対グラフ(opposite graph)と呼び、A^o と書く。
A^o は A の全ての射の向きを変えたものである。

647 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/14(火) 08:09:04.66
定義(代数的整数論017の334)
A と B をグラフ(>>634)とする。
A^o(>>646)から B への射(>>639)を反変射(contravariant morphism)と呼ぶ。
通常の射(>>639)は共変射(covariant morphism)とも言う。

648 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/14(火) 08:24:58.78
定義
C をグラフ(>>634)とする。
C が次の条件(T)を満たすとき、C を痩せたグラフ(thin graph)と言う。

(T)X, Y を C の任意の対象とするとき、
Hom(X, Y)(>>636)は空集合であるか1個の元からなる。

649 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/14(火) 08:28:36.77

X を集合とする。
R を X×X の部分集合とする。
即ち R は X 上の2項関係である。
π_i:X×X → X、i = 1、2 を射影とする。
π_i、i = 1、2 を R に制限した写像を p_i:R → X、i = 1、2 とする。
このとき (X、R、p_1、p_2) は痩せたグラフ(>>648)である。

650 :132人目の素数さん:2012/02/14(火) 08:30:38.89
>>Kummer
ナメとんか。まず朝は「おはようございます」やろが。

ほら、言ってみろ!

651 :132人目の素数さん:2012/02/14(火) 09:25:02.76
人殺しのレイプ犯に何言ってんだかw

652 :132人目の素数さん:2012/02/14(火) 09:31:32.52
>>Kummer
もっぺんでてこいこの野郎!お前を一から教育しなおしてやる。

653 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/14(火) 09:33:11.02
定義
A と B をグラフ(>>634)とする。
f:A → B を射(>>639)とする。
gf = 1_A(>>641)、fg = 1_B となる射 g:B → A を f の逆射と言う。
逆射を持つ射を同型射と言う。
同型射 f:A → B があるとき A と B は同型であると言う。

654 :132人目の素数さん:2012/02/14(火) 09:41:14.61
>>Kummer
すっこめ!

655 :猫はモテない ◆MuKUnGPXAY :2012/02/14(火) 09:57:54.04
無駄なカキコはスナ。




656 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/14(火) 09:58:39.24
命題
A を痩せたグラフ(>>648)とする。
X = Ob(A) とする。
R = {(x, y) ∈ X×X;Hom(x, y)(>>636)は空集合でない} とおく。
π_i:X×X → X、i = 1、2 を射影とする。
π_i、i = 1、2 を R に制限した写像を p_i:R → X、i = 1、2 とする。
>>649で見たように B = (X、R、p_1、p_2) は痩せたグラフである。
1_X:X → X を恒等写像とする。
A の射 u:x → y に (x, y) ∈ R を対応させる写像を f_1:Hom(A) → R とする。
このとき f = (1_X, f_1) は A から B への同型射(>>653)である。

証明
f:A → B が射(>>639)であることは明らかである。

(x, y) ∈ R のとき A の射 u:x → y が一意に定まる。
(x, y) ∈ R に u ∈ Hom(A) を対応させる写像を g_1:R → Hom(A) とする。
g = (1_X, g_1) は B から A への射である。

g_1f_1 = 1_Hom(A)、f_1g_1 = 1_R
よって、gf = 1_A(>>641)、fg = 1_B である。
よって、f:A → B は同型射(>>653)である。
証明終

657 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/14(火) 10:03:36.43
>>656より、痩せたグラフ(>>648)とは
ある集合 X とその上の2項関係 R ⊂ X×X の対 (X, R) と見なせる。

658 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/14(火) 11:30:32.53
定義(代数的整数論017の745)
G をグラフ(>>634)とする。
Hom(G) が空集合のとき G を離散グラフ(discrete graph)と呼ぶ。

659 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/14(火) 12:57:38.16
記法
A をグラフ(>>634)とする。
Ob(A)(>>634)を通常 A と略記する。

660 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/14(火) 13:13:54.61
定義
C をグラフ(>>634)とする。
C が以下の条件を満たすとき C を圏と呼ぶ。

(1)各 X ∈ C(>>659)に対して X 上の恒等射または単位射と呼ばれる射 1_X:X → X がある。

(2)X、Y、Z ∈ C に対して写像 γ_(X, Y, Z):Hom(Y, Z)×Hom(X, Y) → Hom(X, Z) がある。
f:X → Y、g:Y → Z のとき γ_(X, Y, Z)(g, f)を gf と書き、f と g の合成と呼ぶ。

(3)f:X → Y、g:Y → Z、h:Z → W が C の射のとき常に h(gf) = (hg)f

(4)f:X → Y が C の射のとき常に f(1_X) = (1_Y)f = f

661 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/14(火) 14:02:27.79
定義(代数的整数論017の833)
I をグラフ(>>634)とする。
C を圏(>>660)とする。
C (>>634)をグラフと見たとき
射(>>639)f:I → C を C における I 型の図式(diagram of type I in C)と言う。

662 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/14(火) 14:05:29.57
用語
I をグラフ(>>634)とする。
C を圏(>>660)とする。
I 型の図式(>>661)f:I → C を I の C における表現または I の C-表現とも言う。

663 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/14(火) 14:09:23.75
定義(代数的整数論017の834)
I を小さいグラフ(>>635)とし、C を圏(>>660)とする。
図式(>>661)f:I → C を小さい図式と呼ぶ。

664 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/14(火) 14:14:44.33
定義
C を圏(>>660)とする。
C がグラフ(>>634)として小さいグラフ(>>635)のとき C を小さい圏と呼ぶ。

665 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/14(火) 14:29:40.12
命題
C を圏(>>660)とする。
このとき |Ob(C)| ≦ |Hom(C)| である。
ここで、|S| は集合 S の濃度を表す(過去スレpart1の180)。

証明
X ∈ Ob(C) に恒等射 1_X ∈ Hom(X, X) ⊂ Hom(C) を対応させる写像を λ:Ob(C) → Hom(C) とする。
f ∈ Hom(C) のとき f:X → Y となる X と Y は f により一意に定まる。
よって、X、Y ∈ Ob(C)、X ≠ Y のとき Hom(X, X) ∩ Hom(Y, Y) = φ である。
よって、λ は単射である。
よって、|Ob(C)| ≦ |Hom(C)| である。
証明終

666 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/14(火) 14:38:14.06
命題
X を小さい集合(>>633)とする。
このとき X の任意の部分集合は小さい集合である。

証明
>>631の(3)と(1)から明らかである。

667 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/14(火) 15:24:35.80
定義(代数的整数論017の363)
C と D をグラフ(>>634)とする。
F: C → D
G: C → D
をグラフの射(>>639)とする。

各 X ∈ Ob(C) に D の射 τ(X): F(X) → G(X) を対応させる対応 τ が
次の条件を満たすとき τ を F から G への自然変換または自然射または単に射と言う。

C における任意の射 f: X → Y に対して
G(f)τ(X) = F(f)τ(Y) となる。

即ち次の図式が可換になる。

F(X) → G(X)
↓    ↓
F(Y) → G(Y)

668 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/14(火) 15:35:34.85
定義(代数的整数論017の354)
C と D を圏(>>660)とする。
グラフとしての射(>>639)F: C → D が以下の性質を満たすとき
F を C から D への関手(functor)または射(morphism)と言う。

(@) f: X → Y, g: Y → Z のとき F(gf) = F(g)F(f)

(A) 任意の X ∈ Ob(C) に対して F(1_X) = 1_F(X)

669 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/14(火) 15:43:18.18
定義
C を圏(>>660)とする。
1_Ob(G):Ob(C) → Ob(C) と 1_Hom(C):Hom(C) → Hom(C) をそれぞれ恒等写像とする。
このとき (1_Ob(C)、1_Hom(C)):C → C は関手(>>668)である。
これを C の恒等関手または単位関手と呼び 1_C と書く。

670 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/14(火) 15:57:56.02
定義
C と D を圏(>>660)とする。
F:C → D を関手(>>668)とする。
GF = 1_C(>>669)、FG = 1_D となる射 G:D → C を F の逆関手と言う。
G は F により一意に決まるので F^(-1) と書く。
逆関手を持つ関手を同型関手と言う。
同型関手 F:C → D があるとき C と D は同型であると言う。

671 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/14(火) 16:26:21.87
命題
X と Y を集合とする。
|Y| ≦ |X|(過去スレpart1の180)とする。
X が小さい集合(>>633)のとき小さい集合 Z で |Y| = |Z| となるものが存在する。

証明
|Y| ≦ |X| であるから X の部分集合 Z で |Y| = |Z| となるものが存在する。
>>631の(3)と(1)より Z は小さい集合である。
証明終

672 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/14(火) 16:48:39.08
命題
C を圏(>>660)とする。
S と T を集合とし |S| = |Ob(C)|、|T| = |Hom(C)| とする。
ここで、|S| は集合 S の濃度を表す(過去スレpart1の180)。
このとき、C と同型(>>670)な圏 D で S = Ob(D)、T = Hom(D) となるものが存在する。

証明
ほとんど自明である。

673 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/14(火) 16:55:14.91
命題
C を圏(>>660)とする。
Hom(C)(>>634)が小さい集合(>>633)のとき C は小さい圏(>>664)と同型(>>670)である。

証明
>>665より |Ob(C)| ≦ |Hom(C)| である。
よって、>>671より小さい集合 S で |S| = |Ob(C)| となるものが存在する。
>>672より C と同型な圏 D で S = Ob(D)、Hom(C) = Hom(D) となるものが存在する。
D は小さい圏である。
証明終

674 :132人目の素数さん:2012/02/14(火) 17:01:08.88
>>660
カテゴリーの定義をするのにこんなふうに対象と射を別々に用意するのは冗長だと思う。射だけで十分だし、その方が見易くない?

675 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/14(火) 17:07:12.89
定義(代数的整数論018の33)
C を圏(>>660)とする。
C がグラフとして痩せたグラフ(>>648)のとき C を痩せた圏(thin category)と言う。

676 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/14(火) 17:18:21.59
>>674
圏をグラフ(>>634)の一種として定義したいので>>660のような定義をしたわけです。
射だけで圏を定義するにしろ後で対象(object)を導入しなければならないので
トータルの手間は同じだと思いますが。

677 :132人目の素数さん:2012/02/14(火) 18:16:47.57
>>676
射の中で恒等射が対象と同一視できるのははなから自明なので冗長だと思うのです。圏を「必ずしも至るところで定義されているとは限らない結合算法を持つ代数系」とするほうが素直で直接的な気がします。

678 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/14(火) 19:15:13.24
>>677
繰り返しになりますが圏はグラフの一種というのが私の立場なんです。
グラフは射だけでは対象が決まりませんよね。

それはそれとして圏を射だけで定義出来ることは知ってます。
Mac Laneの本にも書いてあったと記憶している(しかし、彼はそれをメインに採用していない)。
しかし、圏論を対象を表に出さないで射だけを使って展開するならともかく
そうでないなら手間は同じでしょう。
圏を射だけで定義しても後から対象を定義して Hom(X, Y) を定義するわけですから。

679 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/14(火) 19:26:03.56
命題
(X, ≦) を前順序集合(>>608)とする。
>>649より X = (X、≦、p_1、p_2) は痩せたグラフ(>>648)である。
このとき X は痩せた圏(>>675)となる。

証明
自明である。

680 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/14(火) 19:32:12.61
命題
C を痩せた圏(>>675)とする。
X、Y ∈ Ob(C) に対して Hom(X, Y) が空集合でないとき X ≦ Y と定義する。
このとき Ob(C) は前順序集合(>>608)となる。

証明
自明である。

681 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/14(火) 19:40:20.12
命題
X を空でない上向きの有向集合(>>609)とする。
>>679より X は痩せた圏(>>675)と見なされる。
このとき X は痩せたフィルター圏(過去スレpart2の36)となる。

逆に痩せたフィルター圏は空でない上向きの有向集合と見なされる。

証明
>>680を考慮すれば自明である。

682 :132人目の素数さん:2012/02/14(火) 19:53:31.23

【第8回MMD杯本選】ピタゴラ装置【MikuMikuDance】
http://www.nicovideo.jp/watch/sm16944482

この板の住人は再生数とマイリスト数を伸ばしてやるべき

683 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/14(火) 19:57:06.07
命題
G を位相群とする。
H_1 と H_2 を G の正規部分群で H_1 ⊃ H_2 とする。
f_i:G → G/H_i、i = 1、2 を標準準同型とする。
f_1 は準同型 g:G/H_2 → G/H_1 を引き起こす。
このとき g は連続である。

証明
f_1 = gf_2 である。
よって、G/H_1 の任意の開集合 U に対して (f_1)^(-1)(U) = (f_2)^(-1)(g^(-1)(U)) となる。
f_1 は連続であるから (f_2)^(-1)(g^(-1)(U)) は G の開集合である。
G/H_2 の位相は標準写像 f_2:G → G/H_2 による商位相だから
g^(-1)(U) は G/H_2 の開集合である。
よって、g:G/H_2 → G/H_1 は連続である。
証明終

684 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/14(火) 20:29:23.33
定義
I を前順序集合(>>608)とする。
C を圏とする。
(X_i)、i ∈ I を C の対象の族とする。
i ≦ j のとき射 f(i, j):X_j → X_i があり以下の条件を満たすとする。

(1)各 i ∈ I に対して f(i, i) = 1_(X_i)

(2)i ≦ j ≦ k のとき f(i, j)f(j, k) = f(i, k)

このとき (X_i)、i ∈ I と射の族 (f(i, j)))、i ≦ j の対を C における I 上の射影系と呼ぶ。

685 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/14(火) 21:43:31.19
記法
A をグラフ(>>634)とする。
A^o を A の双対グラフ(>>646)とする。
X ∈ Ob(A) に対して X に対応する A^o の対象を X^o と書く。
A の射 f:X → Y に対応する A^o の射を f^o と書く。
f^o:Y^o → X^o である。

686 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/14(火) 21:53:37.98
定義(代数的整数論017の304)
C を圏(>>660)とする。
C はグラフ(>>634)であるから双対グラフ(>>646)C^o が定義される。
f:X → Y と g:Y → Z を C の射とする。
gf:X → Z である。

f^o:Y^o → X^o と g^o:Z^o → Y^o と (gf)^o:Z^o → X^o を対応する C^o の射とする。
g^o と f^o の合成 (f^o)(g^o):Z^o → X^o を (f^o)(g^o) = (gf)^o と定義する。
これにより C^o は圏となる。
これを C の双対圏と呼び C^o と書く。

687 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/14(火) 21:56:23.34
I を前順序集合(>>608)とする。
>>679より I は痩せた圏(>>675)と見なされる。
C を圏とする。
C^o を双対圏(>>686)とする。
((X_i)、i ∈ I、(f(i, j))) を C における I 上の射影系(>>684)とする。
このとき対応 i → X_i と対応 i ≦ j → f(i, j) は関手 F:I → C^o を定める。

逆に F:I → C^o を関手とする。
i, j ∈ I、i ≦ j のとき対応する I の射 i → j を u(i, j) と書く。
射 F(u(i, j)):F(j) → F(i) を F(i, j) と書く。
このとき、(F(i))、i ∈ I と射の射の族 (F(i, j)))、i ≦ j の対は C における I 上の射影系である。

以上から C における I 上の射影系は関手 F:I → C^o と同一視される。

688 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/15(水) 04:57:02.97

TopGrpを小さい集合(代数的整数論017の321)上で定義された位相群の圏とする。
G ∈ TopGrp とする。
I を前順序集合(>>608)とする。
(H_i)、i ∈ I を G の正規部分群の族とし、i ≦ j のとき H_i ⊃ H_j とする。
各 i ∈ I に対して>>207より G/H_i は商位相に関して位相群となる。
f_i:G → G/H_i を標準写像とする。
i ≦ j のとき H_i ⊃ H_j であるから f_i は準同型 f_(i, j):G/H_j → G/H_i を引き起こす。
>>683より f_(i, j) は連続である。
((G/H_i)、i ∈ I、(f_(i, j))) は TopGrp における I 上の射影系(>>684)である。
>>687より、これは関手 F:I → TopGrp^o と同一視される。
よって、>>610より lim G/H_i が存在する。

689 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 05:05:40.99
>>Kummer
何しとんねん、さっさと謝れや。

690 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/15(水) 05:30:47.84
定義(代数的整数論017の361)
C を圏(>>660)とする。
D を C の部分グラフ(>>645)で次の条件を満たすとする。

(@) f: X → Y および g: Y → Z が D の射のとき
gf も D の射である。

(A) 各 X ∈ Ob(D) に対して 1_X は D の射である。

このとき D は圏となる。
D を C の部分圏と呼ぶ。

691 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/15(水) 06:25:08.96
補題
Topを小さい集合(>>633)上で定義された位相空間の圏とする。
Top^o を Top の双対圏(>>686)とする。
I を小さいフィルター圏(過去スレpart3の36)とする。
J を I の共終(過去スレpart3の95)な部分圏(>>690)とする。
F:I → Top^o を関手(>>668)とする。
過去スレpart3の502より X = lim F(過去スレpart2の824)が存在する。
各 i ∈ I に対して f_i:X → F(i) を標準射とする。
各 i ∈ I に対して Σ_i を F(i) の開集合の基底とする。
このとき {(f_j)^(-1)(U_j); U_j ∈ Σ_j、j ∈ J} は X の開集合の基底である。

証明
過去スレpart3の502より X は Π{F(i);i ∈ I} の部分空間である。
よって、U_i を F(i) の開集合としたとき (f_i)^(-1)(U_i) の形の集合の有限個の共通部分全体は
X の開集合の基底である。
i_1、...、i_n を I の対象の有限列とする。
I はフィルター圏で J は I の共終な部分圏だから
k ∈ J と射 u_s:i_s → k、s = 1、...、n がある。
f_(i_s) = F(u_s)f_k、s = 1、...、n である。
各 s = 1、...、n に対して U_(i_s) は F(i_s) の開集合とする。
V = ∩{F(u_s)^(-1)(U_(i_s));s = 1、...、n} とおく。
∩(f_(i_s))^(-1)(U_(i_s)) = (f_k)^(-1)(V) である。
V は F(k) の開集合であるから Σ_k に属す有限個の開集合の合併である。
証明終

692 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/15(水) 09:33:53.88
>>577
過去スレpart1の
700
740
743
756
762
787
790
791
なども私のオリジナル

693 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/15(水) 09:36:00.42
命題
G と H を位相群とする。
f:G → H を準同型とする。
f が開写像(>>136)であるためには G の単位元 e の任意の開近傍 V に対して
f(V) が H の単位元の近傍であることが必要十分である。

証明
必要性:自明である。

十分性:
G の任意の開集合 U に対して f(U) が H の開集合であることを示せば良い。
任意の x ∈ U に対して e の開近傍 V で xV ⊂ U となるものがある。
f(xV) = f(x)f(V) ⊂ f(U)
仮定より f(V) は f(e) の近傍である。
よって、f(U) は H の開集合である。
証明終

694 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/15(水) 09:52:58.08
補題
G と G’を位相群とする。
f:G → G’を連続準同型とする。
G の単位元の任意の開近傍 V に対して G’の単位元の近傍 U があり
f^(-1)(U) ⊂ V となるとする。
このとき f は強射(>>607)である。

証明
>>693より f(V) が f(G) の単位元の近傍であることを示せば良い。
f^(-1)(U) ⊂ V であるから f(f^(-1)(U)) ⊂ f(V) ⊂ f(G)
よって、f(f^(-1)(U)) ⊂ f(G) ∩ U
逆の包含関係は明らかであるから f(G) ∩ U = f(f^(-1)(U))
f(f^(-1)(U)) ⊂ f(V) であるから f(G) ∩ U ⊂ f(V)
よって、f(V) は f(G) の単位元の近傍である。
証明終

695 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 11:30:45.32
どこがどうオリジナルなん?

696 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 12:49:49.17
>>695
オリジナルというのは他の人がやっていないということ
どこがどうオリジナルもない
オリジナルはオリジナル

697 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 12:53:02.38
>>696
正確にはオリジナルとは他の人の真似ではないということ
他の人がやってるかもしれないが俺は知らない

698 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 16:05:15.04
>>697
「オリジナル」は、専門家が判定しなければならないが、この板では
それもできそうに無い。(専門家が実名で、別の所で表明すれば別だが)
つまり、697氏は、検証不可能なことを言っている。

699 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 16:06:42.38
>>692 :2012/02/15(水)
>>なども私のオリジナル

以下のようなことを書くKummerが、こう(↑)いっているが
信じられるのか。
信じて良いのだろうか。

>213 : Kummer ◆SgHZJkrsn08e : 2011/12/23(金) 14:29:10.63
>俺が犯罪者なのかキチガイなのか

>215 : Kummer ◆SgHZJkrsn08e : 2011/12/23(金) 14:31:20.01
>キチガイは逮捕されても無罪
(>>14 参照のこと)
ことばに気を付けよう

700 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 16:18:13.80
>564 : Kummer ◆SgHZJkrsn08e : 2011/12/28(水) 22:34:00.66
>俺がここに書いたことまたはこれから書くことは全て架空の話だ。



701 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/15(水) 23:20:07.34
命題
G を位相群とする。
I を前順序集合(>>608)とする。
(H_i)、i ∈ I を G の正規部分群の族とし、i ≦ j のとき H_i ⊃ H_j とする。
G~ = lim G/H_i とおく(>>688)。
各 i ∈ I に対して f_i:G → G/H_i を標準写像とする。
x ∈ G のとき (f_i(x)) は G~ の元である。
x に (f_i(x)) を対応させることにより写像 f:G → G~ が得られる。
このとき f は連続準同型である。
さらに Ker(f) = ∩H_i である。

証明
i ≦ j のとき H_i ⊃ H_j であるから f_i は準同型 f_(i, j):G/H_j → G/H_i を引き起こす。
f_i = f_(i, j)f_j である。
P = ΠG/H_i とおく。
>>610より
G~ = {(y_i) ∈ P; i ≦ j のとき f_(i, j)(y_j) = y_i}
よって、x ∈ G のとき (f_i(x)) は G~ の元である。
ι:G~ → P を包含写像とする。
g = ιf とおく。
各 f_i:G → G/H_i は連続だから g:G → P は連続である。
よって、f:G → G~ は連続である。

Ker(f) = ∩H_i は明らかである。
証明終

702 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/16(木) 00:10:53.20
命題
G を位相群とする。
e を G の単位元とする。
{e}~ を {e} の閉包とする。
このとき {e}~ = ∩{V; V は e の近傍全体} となる。

証明
B = ∩{V; V は e の対称近傍(>>506)全体} とおく。
e の任意の近傍は e のある対称近傍を含むから {e}~ = B を証明すれば良い。

x ∈ {e}~ ⇔ e の任意の対称近傍 V に対して e ∈ xV
⇔ e の任意の対称近傍 V に対して x ∈ V ⇔ x ∈ B
証明終

703 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/16(木) 00:27:29.64
命題
G を位相群とする。
I を空でない上向きの有向集合(>>609)とする。
(H_i)、i ∈ I を G の正規部分群の族とし、i ≦ j のとき H_i ⊃ H_j とする。
>>688より lim G/H_i が存在する。
G~ = lim G/H_i とおく。
各 i ∈ I に対して f_i:G → G/H_i を標準写像とする。
>>701より x に (f_i(x)) を対応させることにより連続準同型 f:G → G~ が得られる。

以下の条件が成り立つとする。

(1) 各 H_i は G の閉集合である。

(2) G の単位元 e の任意の近傍 はある H_i を含む。

このとき以下が成り立つ。

(@)G~ は Hausdorff であり f(G) は G~ で密である。

(A)f:G → G~ は強射(>>607)である。

(B)Ker(f) = {e}~
ここで、{e}~ は {e} の閉包である。

証明
(@)
>>610より G~ は ΠG/H_i の部分群である。
>>194より各 G/H_i はHausdorffであるから ΠG/H_i もHausdorffである。
よって、G~ もHausdorffである

(続く)

704 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/16(木) 00:28:08.37
>>703の続き

π_i:G~ → G/H_i を射影とする。
f_i = π_if である。
U を空でない G~ の開集合とする。
G~ は ΠG/H_i の部分群であり各 π_i:G~ → G/H_i は射影 p_i:P → G/H_i の G~ への制限である。
よって、>>691よりある i ∈ I と G/H_i の空でない開集合 U_i があり (π_i)^(-1)(U_i) ⊂ U となる。
よって、(f_i)^(-1)(U_i) = f^(-1)((π_i)^(-1)(U_i)) ⊂ f^(-1)(U)
f_i は全射だから (f_i)^(-1)(U_i) は空でない。
よって、f^(-1)(U) ≠ φ
よって、f(G) ∩ U ≠ φ
よって、f(G) は G~ で密である。

(A)
V を G の単位元 e の任意の開近傍とする。
W^2 ⊂ V となる e の開近傍 W がある。
仮定(2)より H_i ⊂ W となる i ∈ I がある。
WH_i ⊂ W^2 ⊂ V
f_i = π_if であるから WH_i = (f_i)^(-1)(f_i(W)) = f^(-1)((π_i)^(-1)(f_i(W))) ⊂ V
f_i:G → G/H_i は開写像だから f_i(W) は G/H_i の開集合である。
よって、(π_i)^(-1)(f_i(W)) は G~ の単位元の開近傍である。
よって、>>694より f:G → G~ は強射である。

(B)
>>701より Ker(f) = ∩H_i である。
各 H_i は閉集合だから Ker(f) は閉集合である。
よって、{e}~ ⊂ Ker(f)
よって、逆の包含関係を示せば良い。
仮定(2) より Ker(f) ⊂ ∩{V; V は e の近傍全体}
>>702より {e}~ = ∩{V; V は e の近傍全体}
よって、Ker(f) ⊂ {e}~
証明終

705 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/16(木) 00:49:25.50
定義
完全不連結(>>537)なコンパクト群(>>599)を副有限群(profinite group)と言う。

706 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/16(木) 01:19:34.36
命題
G を副有限群(>>705)とする。
G の開正規部分群全体を Ψ とする。
H_1、H_2 ∈ Ψ、H_1 ⊃ H_2 のとき H_1 ≦ H_2 と定義することにより Ψ は順序集合となる。
H_1、H_2 ∈ Ψ のとき H_1 ∩ H_2 ∈ Ψ だから Ψ は上向きの有向集合(>>609)である。
このとき G は lim[H ∈ Ψ] G/H に位相群として同型である。

証明
G~ = lim[H ∈ Ψ] G/H とおく。
各 H ∈ Ψ に対して f_H:G → G/H を標準写像とする。
>>701より x ∈ G に (f_H(x)) を対応させることにより連続準同型 f:G → G~ が得られる。

>>249より Ψ の各元は G の閉部分群である。
>>604より Ψ は G の単位元 e の基本近傍系である。

よって、>>703より G~ は Hausdorff であり f(G) は G~ で密である。
G はコンパクトだから>>71より f(G) は準コンパクトである。
よって、>>69より f(G) は G~ の閉集合である。
f(G) は G~ で密であるから f(G) = G である。

>>703より Ker(f) = {e}~ である。
G は Hausdorff だから {e}~ = {e} である。

以上から f:G → G~ は連続な全単射である。
よって、>>74より f は位相同型である。
よって、f は位相群としての同型写像である。
証明終

707 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/16(木) 10:42:44.97
>>687の修正

I を前順序集合(>>608)とする。
>>679より I は痩せた圏(>>675)と見なされる。
I^o を I の双対圏(>>686)とする。
C を圏とする。
((X_i)、i ∈ I、(f(i, j))) を C における I 上の射影系(>>684)とする。
このとき対応 i → X_i と対応 i ≦ j → f(i, j) は関手 F:I^o → C を定める。

逆に F:I^o → C を関手とする。
i, j ∈ I、i ≦ j のとき対応する I^o の射 j → i を u(i, j) と書く。
射 F(u(i, j)):F(j) → F(i) を F(i, j) と書く。
このとき、(F(i))、i ∈ I と射の射の族 (F(i, j)))、i ≦ j の対は C における I 上の射影系である。

以上から C における I 上の射影系は関手 F:I^o → C と同一視される。

708 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/16(木) 10:45:31.20
>>688の修正


TopGrpを小さい集合(代数的整数論017の321)上で定義された位相群の圏とする。
G ∈ TopGrp とする。
I を前順序集合(>>608)とする。
(H_i)、i ∈ I を G の正規部分群の族とし、i ≦ j のとき H_i ⊃ H_j とする。
各 i ∈ I に対して>>207より G/H_i は商位相に関して位相群となる。
f_i:G → G/H_i を標準写像とする。
i ≦ j のとき H_i ⊃ H_j であるから f_i は準同型 f_(i, j):G/H_j → G/H_i を引き起こす。
>>683より f_(i, j) は連続である。
((G/H_i)、i ∈ I、(f_(i, j))) は TopGrp における I 上の射影系(>>684)である。
>>707より、これは関手 F:I^o → TopGrp と同一視される。
よって、>>610より lim G/H_i が存在する。

709 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/16(木) 10:50:07.08
>>691の修正

補題
Topを小さい集合(>>633)上で定義された位相空間の圏とする。
Top^o を Top の双対圏(>>686)とする。
I を小さいフィルター圏(過去スレpart3の36)とする。
J を I の共終(過去スレpart3の95)な部分圏(>>690)とする。
I^o を I の双対圏(>>686)とする。
F:I^o → Top を関手(>>668)とする。
過去スレpart3の502より X = lim F(過去スレpart2の824)が存在する。
各 i ∈ I に対して f_i:X → F(i) を標準射とする。
各 i ∈ I に対して Σ_i を F(i) の開集合の基底とする。
このとき {(f_j)^(-1)(U_j); U_j ∈ Σ_j、j ∈ J} は X の開集合の基底である。

証明
過去スレpart3の502より X は Π{F(i);i ∈ I} の部分空間である。
よって、U_i を F(i) の開集合としたとき (f_i)^(-1)(U_i) の形の集合の有限個の共通部分全体は
X の開集合の基底である。
i_1、...、i_n を I の対象の有限列とする。
I はフィルター圏で J は I の共終な部分圏だから
k ∈ J と射 u_s:i_s → k、s = 1、...、n がある。
f_(i_s) = F(u_s)f_k、s = 1、...、n である。
各 s = 1、...、n に対して U_(i_s) は F(i_s) の開集合とする。
V = ∩{F(u_s)^(-1)(U_(i_s));s = 1、...、n} とおく。
∩(f_(i_s))^(-1)(U_(i_s)) = (f_k)^(-1)(V) である。
V は F(k) の開集合であるから Σ_k に属す有限個の開集合の合併である。
証明終

710 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/16(木) 10:55:47.95
命題
G を副有限群(>>705)とする。
Φ を G の開正規部分群の集合で次の条件(CF)を満たすとする。

(CF)G の任意の開正規部分群 H に対して H’⊂ H となる H’∈ Φ がある。

H_1、H_2 ∈ Φ、H_1 ⊃ H_2 のとき H_1 ≦ H_2 と定義することにより Φ は順序集合となる。
H_1、H_2 ∈ Φ のとき H_1 ∩ H_2 は)G の開正規部分群だから
H_3 ⊂ H_1 ∩ H_2 となる H_3 ∈ Φ がある。
よって、Φ は上向きの有向集合(>>609)である。
このとき G は lim[H ∈ Φ] G/H に位相群として同型である。

証明
>>706と同様である。

711 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/16(木) 11:02:39.63
命題
G を準コンパクト(>>64)な位相群とする。
H を G の開部分群とする。
G/H = {σH; σ ∈ G} を H を法とする左剰余類の集合とする。
このとき G/H は有限な離散空間である。

証明
>>213で証明されている。

712 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/16(木) 11:05:42.19
定義
G を位相群とする。
G の位相が離散(>>60)のとき G を離散群と言う。

713 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/16(木) 11:15:11.85
命題
Topを小さい集合(代数的整数論017の321)上で定義された位相空間の圏とする。
I を小さいグラフ(過去スレpart2の809)とする。
F:I → Top を図式(>>661)とする。
各 i ∈ I に対して F(i) は有限な離散空間(>>60)であるとする。
過去スレpart3の502より X = lim F(過去スレpart2の824)が存在する。
このとき X はStone空間(>>613)である。

証明
>>626より各 F(i) はStone空間である。
よって、>>630より X はStone空間である。
証明終

714 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/16(木) 11:22:57.02
G を副有限群(>>705)とする。
H を G の開正規部分群とする。
>>711より G/H は有限な離散群(>>712)である。
よって、>>706より G は有限離散群の極限となる。
これが副有限群という名前の由来である。
次に示すようにこの逆も成り立つ。

715 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/16(木) 13:00:12.65
命題
TopGrpを小さい集合(代数的整数論017の321)上で定義された位相群の圏とする。
I を小さいグラフ(過去スレpart2の809)とする。
F:I → TopGrp を図式(>>661)とする。
各 i ∈ I に対して F(i) は有限な離散群(>>712)であるとする。
>>610より G = lim F(過去スレpart2の824)が存在する。
このとき G は副有限群(>>705)である。

証明
>>713より明らかである。

716 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/17(金) 00:15:17.87
命題
G を局所コンパクト群(>>600)とする。
以下の条件は同値である。

(1) G は完全不連結(>>537)である。

(2) G の各点 x は x を含む G の開かつ閉な部分集合全体の共通集合である。

(3) G の単位元 e は e を含む G の開かつ閉な部分集合全体の共通集合である。

証明
(1) ⇒ (2)
>>597より G は完全分離(>>538)である。
よって、任意の x、y ∈ G、x ≠ y に対して
x ∈ U、y ∈ G - U となる開かつ閉な U がある。
よって、x は x を含む G の開かつ閉な部分集合全体の共通集合である。

(2) ⇒ (1)
任意の x、y ∈ G、x ≠ y に対して x ∈ U、y ∈ X - U となる開かつ閉な U がある。
よって、G は完全分離(>>538)である。
よって、>>597より G は完全不連結(>>538)である。

(2) ⇒ (3)
自明である。

(3) ⇒ (2)
任意の x、y ∈ G、x ≠ y に対して e ∈ U、x^(-1)y ∈ G - U となる開かつ閉な U がある。
このとき x ∈ xU、y ∈ G - xU となり
xU は開かつ閉である。
よって、x は x を含む G の開かつ閉な部分集合全体の共通集合である。
証明終

717 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/17(金) 01:13:21.85
命題
G を位相群とする。
X を局所コンパクト空間(>>593)とし、G は X に連続に作用する(>>134)とする。
さらに G の作用は推移的(>>107)であるとする。
このとき以下の条件は同値である。

(1) X は完全不連結(>>537)である。

(2) X の各点 x は x を含む X の開かつ閉な部分集合全体の共通集合である。

(3) X のある点 x_0 は x_0 を含む X の開かつ閉な部分集合全体の共通集合である。

証明
(1) ⇒ (2)
>>597より X は完全分離(>>538)である。
よって、任意の x、y ∈ G、x ≠ y に対して x ∈ U、y ∈ X - U となる開かつ閉な U がある。
よって、x は x を含む G の開かつ閉な部分集合全体の共通集合である。

(2) ⇒ (1)
任意の x、y ∈ X、x ≠ y に対して x ∈ U、y ∈ X - U となる開かつ閉な U がある。
よって、X は完全分離(>>538)である。
よって、>>597より XZ は完全不連結(>>538)である。

(2) ⇒ (3)
自明である。

(3) ⇒ (2)
G の作用は推移的だから任意の x、y ∈ X、x ≠ y に対して σx = x_0 となる σ ∈ G がある。
σx ≠ σy だから σx ∈ U、σy ∈ X - U となる開かつ閉な U がある。
x ∈ σ^(-1)U、y ∈ X - σ^(-1)U となり σ^(-1)U は開かつ閉である。
よって、x は x を含む G の開かつ閉な部分集合全体の共通集合である。
証明終

718 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/17(金) 01:18:41.78
>>717の修正

命題
G を位相群とする。
X を局所コンパクト空間(>>593)とし、G は X に連続に作用する(>>134)とする。
さらに G の作用は推移的(>>107)であるとする。
このとき以下の条件は同値である。

(1) X は完全不連結(>>537)である。
(2) X の各点 x は x を含む X の開かつ閉な部分集合全体の共通集合である。
(3) X のある点 x_0 は x_0 を含む X の開かつ閉な部分集合全体の共通集合である。

証明
(1) ⇒ (2)
>>597より X は完全分離(>>538)である。
よって、任意の x、y ∈ X、x ≠ y に対して x ∈ U、y ∈ X - U となる開かつ閉な U がある。
よって、x は x を含む X の開かつ閉な部分集合全体の共通集合である。

(2) ⇒ (1)
任意の x、y ∈ X、x ≠ y に対して x ∈ U、y ∈ X - U となる開かつ閉な U がある。
よって、X は完全分離(>>538)である。
よって、>>597より X は完全不連結(>>538)である。

(2) ⇒ (3)
自明である。

(3) ⇒ (2)
G の作用は推移的だから任意の x、y ∈ X、x ≠ y に対して σx = x_0 となる σ ∈ G がある。
σx ≠ σy だから σx ∈ U、σy ∈ X - U となる開かつ閉な U がある。
x ∈ σ^(-1)U、y ∈ X - σ^(-1)U となり σ^(-1)U は開かつ閉である。
よって、x は x を含む X の開かつ閉な部分集合全体の共通集合である。
証明終

719 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/17(金) 02:29:47.27
命題
G を局所コンパクト群(>>600)とする。
H を G の閉部分群とする。
G/H = {xH; x ∈ G} を H を法とする左剰余類の集合とする。
このとき G/H は局所コンパクト(>>593)である。

証明
>>194より G/H は Hausdorff である。
よって、G/H の各点が準コンパクト(>>64)な近傍を持つことを示せばよい。
π:G → G/H を標準写像とする。
>>153より G は G/H に連続に作用する(>>134)。
さらに G は G/H に推移的(>>107)に作用する。
よって、G の単位元 e に対して π(e) が準コンパクトな近傍を持つことを示せばよい。
G は局所コンパクトであるから e は準コンパクな近傍 V を持つ。
>>152より π は開写像であるから π(V) は π(e) の近傍である。
V は準コンパクトで π は連続であるから>>71より π(V) は準コンパクトである。
証明終

720 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/17(金) 03:02:26.11
命題
G を副有限群(>>705)とする。
H を G の閉部分群とする。
G/H = {xH; x ∈ G} を H を法とする左剰余類の集合とする。
このとき G/H はStone空間(>>613)である。

証明
π:G → G/H を標準写像とする。
π は連続だから>>71より G/H は準コンパクト(>>64)である。
>>194より G/H は Hausdorff である。
よって、G/H はコンパクト(>>64)である。
よって、G/H が完全不連結(>>538)であることを示せば良い。
π:G → G/H を標準写像とする。
>>153より G は G/H に連続に作用する(>>134)。
さらに G は G/H に推移的(>>107)に作用する。
よって、>>718より π(e) は π(e) を含む G/H の開かつ閉な部分集合全体の共通集合であることを
示せば良い。

(続く)

721 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/17(金) 03:03:33.22
>>720の続き

x ∈ G - H とする。
>>597より G は0次元(>>539)である。
よって、>>557より G は正則(>>556)である。
よって、H ⊂ U、x ∈ G - U となる G の開集合 U がある。
>>584より e の開近傍 V で VH ⊂ U となるものが存在する。
G は0次元であるから V は開かつ閉と仮定してよい。
x は VH に含まれないから π(x) は π(V) に含まれない。
よって、π(V) が開かつ閉であることを示せば良い。
>>152より π は開写像であるから π(V) は開集合である。
他方、V は閉集合であるから>>68より準コンパクトである。
よって、>>71より π(V) は準コンパクトである。
>>194より G/H はHausdorffであるから>>69より π(V) は閉集合である。
証明終

722 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/17(金) 09:59:49.78
命題
G を副有限群(>>705)とする。
H を G の閉部分群とする。
このとき H は副有限群である。

証明
>>616より明らかである。

723 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/17(金) 10:14:07.29
命題
G を副有限群(>>705)とする。
H を G の閉部分群とする。
Φ を G の開正規部分群の集合で次の条件(CF)を満たすとする。

(CF)G の任意の開正規部分群 U に対して V ⊂ U となる V ∈ Φ がある。

このとき H は lim[U ∈ Φ] H/(H ∩ U) に位相群として同型である。

証明
>>722より H は副有限群である。
Φ’= {H ∩ U;U ∈ Φ} とおく。
U ∈ Φ のとき H ∩ U は H の開正規部分群である。
H の任意の開正規部分群 H’に対して H’= H ∩ W となる G の開集合 W がある。
>>604より U ⊂ W となる G の開正規部分群 U がある。
仮定より V ⊂ U となる V ∈ Φ がある。
H ∩ V ⊂ H’であるから Φ’は>>710の条件(CF)を満たす。
よって、>>710より H は lim[U ∈ Φ] H/(H ∩ U) に位相群として同型である。
証明終

724 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 10:41:34.10
くんまー

働かずに食う飯はうまいか?

725 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/17(金) 11:54:47.07
命題
G を位相群とする。
以下の条件は同値である。

(1) G は0次元(>>539)である。

(2) G の単位元 e を含む G の開かつ閉な部分集合からなるある集合 Φ があり e の基本近傍系となる。

証明
(1) ⇒ (2)
自明である。

(2) ⇒ (1)
任意の x ∈ G と x ∈ U となる任意の開集合 U に対して
x ∈ V ⊂ U となる開かつ閉な V が存在することを示せば良い。
x^(-1)U は e の近傍である。
よって、e ∈ W ⊂ x^(-1)U となる開かつ閉な W ∈ Φ がある。
V = xW とおく。
x ∈ V ⊂ U であり V は x を含む G の開かつ閉な部分集合である。
証明終

726 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/17(金) 12:04:53.56
命題
K を可換体とする。
L/K を任意の拡大(過去スレpart4の512)とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
このとき G は標準位相(>>216)により0次元(>>539)のHausdorff位相群となる。

証明
>>238より G は標準位相によりHausdorff位相群となる。
L/K の中間体(過去スレpart4の854)E で E/K が有限生成(>>215)となるもの全体を Λ とする。
Ψ = {Aut(L/E); E ∈ Λ} とおく。
>>231より Ψ は G の単位元 e の基本開近傍系である。
>>249より Ψ の各元は閉集合である。
よって、>>725より G は0次元である。
証明終


727 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/17(金) 12:18:42.41
命題
K を可換体とする。
L/K を正規拡大(過去スレpart4の844)とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
G に標準位相(>>216)を入れる。
このとき G は副有限群(>>705)である。

証明
>>726より G は0次元(>>539)のHausdorff位相群となる。
>>239より G はコンパクトである。
よって、>>597より G は完全不連結(>>537)である。
よって、G は副有限群である。
証明終

728 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 12:22:05.15
>>Kummer
謝りなさい。みんな待ってるんですよ。

729 :猫の手には餌が・・・ ◆MuKUnGPXAY :2012/02/17(金) 14:25:28.61
>>724
ソレが一番美味いメシや。判るナ。




730 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 15:06:11.04
132人目の素数さん:2012/01/09(月) 23:54:13.60
サラリーマンが働いてる平日の昼間に都心のホテルの近くのしゃれたイタリアンで
昨夜ベッドを共にした女の子と食う朝食を兼ねたランチがうまいことといったら
やみつきになるw

731 :猫はスケベ(真理) ◆MuKUnGPXAY :2012/02/17(金) 15:11:24.66
何が美味いかはその人によりけりや。ウドンが好きな奴も居るし、また
蕎麦が好きな奴かて居てるがな。せやろ。




732 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 15:15:56.46
なんでそんなに働きたいのか意味不明
働かないと飯が食えないならケーキを食べればいいだろw

733 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/17(金) 20:17:04.03
命題
G を群とする。
H、K を G の部分群とし、H ⊃ K とする。
このとき [G : K] = [G : H] [H : K] である。

証明
G/H = {gH;g ∈ G} を H を法とする左剰余類の集合とする。
[G : H](過去スレpart1の492)は G/H の濃度 |G/H| である。
(g_i)、i ∈ I を G/H の完全代表系とする。
即ち G は (g_iH)、i ∈ I の直和集合である。
|G/H| = |I| である。
同様に (h_j)、j ∈ J を H/K の完全代表系とする。
|H/K| = |J| である。
このとき、容易に分かるように (g_ih_j)、(i, j) ∈ I×J が G/K の完全代表系である。
よって、|G/K| = |I×J| = |I||J| = |G/H||H/K|
よって、[G : K] = [G : H] [H : K]
証明終

734 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/17(金) 21:49:03.63
命題
G を群とする。
H、K を G の部分群とする。
このとき [H : H ∩ K] ≦ [G : K] である。

証明
f:H/(H ∩ K) → G/K を次のように定義する。
h ∈ H のとき f(h(H ∩ K)) = hK
h、g ∈ H、h(H ∩ K) = g(H ∩ K) のとき g^(-1)h ∈ H ∩ K ⊂ K だから hK = gK
よって、f は矛盾なく定義される。
h、g ∈ H、hK = gK のとき g^(-1)h ∈ H ∩ K
よって、h(H ∩ K) = g(H ∩ K)
よって、f は単射である。
よって、[H : H ∩ K] ≦ [G : K] である。
証明終

735 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 22:01:14.72
命題
G を群とする。
H、K を G の部分群とする。
このとき [G : H ∩ K] ≦ [G : H][G : K] である。

証明
>>733より [G : H ∩ K] = [G : H][H : H ∩ K]
一方、>>734より [H : H ∩ K] ≦ [G : K]
よって、[G : H ∩ K] ≦ [G : H][G : K]
証明終

736 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/17(金) 22:36:39.11
命題
G を群とする。
H、K を G の部分群とする。
このとき [G : H ∩ K] ≦ [G : H][G : K] である。

証明
>>733より [G : H ∩ K] = [G : H][H : H ∩ K]
一方、>>734より [H : H ∩ K] ≦ [G : K]
よって、[G : H ∩ K] ≦ [G : H][G : K]
証明終

737 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/17(金) 22:37:42.43
命題
G を群とする。
Ψ を G の部分群 H で [G : H] が有限となるもの全体の集合とする。
このとき G を位相群にする G の位相で Ψ が G の単位元 e の基本開近傍系となるものが一意に存在する。

証明
Ψ が>>229の各条件を満たすことを示せばよい。

(1)>>736より Ψ は G のフィルター基底(>>218)である。

(2)(3)(5) は自明である。

(4)H ∈ Ψ と x ∈ G に対して K = x^(-1)Hx とおく。
xKx^(-1) = H である。
g ∈ G に xgx^(-1) ∈ G を対応させる写像は G の自己同型である。
よって、[G : K] = [G : H] である。
よって、K ∈ Ψ である。
証明終

738 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/17(金) 23:58:22.17
命題
G を群とする。
H を G の部分群で [G : H] が有限となるものとする。
N = ∩{xHx^(-1); x ∈ G} とおく。
このとき N は G の正規部分群であり N ⊂ H かつ [G : N] は有限である。

証明
>>108より G/H は G-集合(>>77)である。
集合 G/H の自己同型群を Aut(G/H) とする。
g ∈ G のとき f(g) ∈ Aut(G/H) を各 x ∈ G に対して f(g)(xH) = gxH で定義する。
f:G → Aut(G/H) は準同型である。
明らかに Ker(f) = N である。
よって、N は G の正規部分群であり [G : N] ≦ |Aut(G/H)| = [G : H]! である。
明らかに N ⊂ H である。
証明終

739 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/18(土) 06:06:17.47
命題
G を群とする。
Ψ を G の部分群 H で [G : H] が有限となるもの全体の集合とする。
Φ を G の正規部分群 N で [G : N] が有限となるもの全体の集合とする。
>>737より G を位相群にする G の位相で Ψ が G の単位元 e の基本開近傍系となるものが
一意に存在する。
このとき Φ は G の単位元 e の基本開近傍系である。

証明
>>738より明らかである。

740 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/18(土) 06:21:36.39
定義
G を群とする。
Φ を G の正規部分群 N で [G : N] が有限となるもの全体の集合とする。
H_1、H_2 ∈ Φ、H_1 ⊃ H_2 のとき H_1 ≦ H_2 と定義することにより Φ は順序集合となる。
>>736より H_1、H_2 ∈ Φ のとき H_1 ∩ H_2 ∈ Φ だから Φ は上向きの有向集合(>>609)である。
TopGrpを小さい集合(代数的整数論017の321)上で定義された位相群の圏とする。
各 H ∈ Φ に有限離散群(>>712)G/H を対応させることにより関手 Φ → TopGrp が得られる。
このとき>>715より G^= lim[H ∈ Φ] G/H(>>708)は副有限群(>>705)である。
G^を G に付随する副有限群と言う。

741 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/18(土) 06:25:58.12
>>740の修正

定義
G を群とする。
Φ を G の正規部分群 N で [G : N] が有限となるもの全体の集合とする。
H_1、H_2 ∈ Φ、H_1 ⊃ H_2 のとき H_1 ≦ H_2 と定義することにより Φ は順序集合となる。
>>736より H_1、H_2 ∈ Φ のとき H_1 ∩ H_2 ∈ Φ だから Φ は上向きの有向集合(>>609)である。
TopGrpを小さい集合(代数的整数論017の321)上で定義された位相群の圏とする。
各 H ∈ Φ に有限離散群(>>712)G/H を対応させることにより関手 Φ^o → TopGrp が得られる。
このとき>>715より G^= lim[H ∈ Φ] G/H(>>708)は副有限群(>>705)である。
G^を G に付随する副有限群と言う。

742 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/18(土) 06:40:43.57
命題
G を群とする。
>>737により G を位相群と見なす。
Φ を G の正規部分群 N で [G : N] が有限となるもの全体の集合とする。
G^= lim[H ∈ Φ] G/H を G に付随する副有限群(>>741)とする。
各 H ∈ Φ に対して f_H:G → G/H を標準写像とする。
>>701より x に (f_H(x)) を対応させることにより連続準同型 f:G → G^が得られる。
このとき以下が成り立つ。

(@)f(G) は G^ で密である。

(A)f:G → G^ は強射(>>607)である。

(B){e}~ = Ker(f) = ∩{H ∈ Φ}
ここで、{e}~ は {e} の閉包である。

証明
>>249より各 H ∈ Φ は G の閉部分群である。
よって、本命題は>>703から従う。
証明終

743 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/18(土) 10:56:35.94
命題
G と G’を群とする。
f:G → G’を準同型とする。
x ∈ G とする。
x が有限位数 n を持つとする。
このとき f(x) の位数は n の約数である。

証明
f(x)^n = f(x^n) = f(1) = 1
よって、f(x) の位数は n の約数である。
証明終

744 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/18(土) 13:46:08.54
次の命題は G が無限群でも成り立つがさしあたり有限群の場合だけ必要である。

命題
G ≠ {1} を有限群とする。
G が G と {1} 以外の部分群を持たないとする。
このとき G は素数位数の巡回群である。

証明
x ≠ {1} を G の元とする。
仮定より G は x で生成される巡回群である。
x の位数を n とする。
n ≧ 2 である。
n が約数 r ≧ 1 を持つとする。
過去スレpart2の190より G は位数 r の元を持つ。
仮定より r = n または r = 1 である。
よって、n は素数である。
証明終

745 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/18(土) 14:03:23.27
命題
G を有限アーベル群とする。
G の位数を m とする。
p を素数とし p は m の約数であるとする。
このとき G は位数 p の元を持つ。

証明
m に関する帰納法を使う。
m = 1 の場合は自明である。
m ≧ 2 とする。
G が G と {1} 以外の部分群を持たないとする。
>>744より m = p である。
よって、この場合は本命題は成り立つ。
よって、G が G と {1} 以外の部分群 H を持つと仮定する。
H の位数が p で割れれば帰納法の仮定から H は位数 p の元を持つ。
よって、H の位数は p で割れないと仮定してよい。
π:G → G/H を標準写像とする。
G/H の位数は m より小さく p で割れるから帰納法の仮定より
G/H は位数 p の元 π(x) を持つ。
x の位数を n とすると>>743より p は n の約数である。
よって、過去スレpart2の190より x で生成される G の部分群は位数 p の元を持つ。
証明終

746 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/18(土) 15:49:25.77
次の命題は証明は簡単だが有限群論で重要である。

命題
G を群とする。
X を G-集合(>>77)とする。
X = Σ[i ∈ I] Gx_i を X の軌道(>>92)による直和分割とする。
各 x_i の安定化部分群(>>93)を H_i とする。
このとき |X| = Σ[G : H_i] である。
ここで |X| は X の濃度であり、 [G : H_i](過去スレpart1の492)は G/H_i の濃度である。

証明
各 Gx_i は推移的(>>107)な G-集合である。
よって、>>121より |Gx_i| = |G/H_i| = [G : H_i]
よって、|X| = Σ[G : H_i] である。
証明終

747 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/18(土) 15:55:28.32
定義
G を群とする。
X を G-集合(>>77)とする。
X の点 x は全ての g ∈ G に対して gx = x となるとき
G の X における固定点(fixed point)または不動点と呼ばれる。

748 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/18(土) 16:00:56.33
命題
G を群とする。
X を G-集合(>>77)とする。
X = Σ[i ∈ I] Gx_i を X の軌道(>>92)による直和分割とする。
各 x_i の安定化部分群(>>93)を H_i とする。
J = {i ∈ I;G ≠ H_i} とおく。
K を G の X における固定点全体の集合とする。
このとき |X| = |K| + Σ[i ∈ J] [G : H_i] である。

証明
>>746から明らかである。

749 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/18(土) 16:23:41.11
定義
G を群とする。
Aut(G) を G の自己同型群とする。
a ∈ G のとき x ∈ G に axa^(-1) ∈ G を対応させる写像を τ(a) と書く。
容易に分かるように τ(a) は Aut(G) の元である。
τ(a) を a による G の内部自己同型と呼ぶ。

a ∈ G に τ(a) ∈ Aut(G) を対応させる写像 τ:G → Aut(G) は準同型である。
この準同型 τ を G の内部表現と呼ぶ。

τ により G は G-集合(>>77)となる。
この G-集合 G の軌道空間(>>92)G/G の各類すなわち各軌道(>>92)を G の共役類と言う。
同一の共役類に属す G の元は互いに共役であるという。

750 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/18(土) 16:32:27.60
定義
G を群とする。
τ:G → Aut(G) を内部表現(>>749)とする。
τ(G) を G の内部自己同型群と呼ぶ。

751 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/18(土) 16:34:40.03
定義
G を群とする。
τ:G → Aut(G) を内部表現(>>749)とする。
τ の核を Z(G) と書き G の中心(center)と呼ぶ。
Z(G) = {x ∈ G;G の各元 y に対して xy = yx} である。
よって、Z(G) はアーベル群である。
Z(G) は G の正規部分群であり G/Z(G) は G の内部自己同型群(>>750)に同型である。

752 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/18(土) 19:34:20.94
定義
G を群とする。
X を G-集合(>>77)とする。
P(X) を X の冪集合、即ち X の部分集合全体とする。
P(X) は自然に G-集合となる。
即ち、g ∈ G、A ∈ P(X) のとき gA = {gx; x ∈ A} ∈ P(X) と定義する。

753 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/18(土) 19:44:08.20
定義
G を群とする。
Aut(G) を G の自己同型群とする。
τ:G → Aut(G) を内部表現(>>749)とする。
τ により G は G-集合(>>77)となる。
P(G) を G の冪集合、即ち G の部分集合全体とする。
>>752より P(G) はτ により G-集合となる。
A ∈ P(G) のとき A の安定化部分群(>>93)を N(A) または N_G(A) と書き
G における A の 正規化部分群(normalizer)と言う。
即ち、N(A) = {g ∈ G; gAg^(-1) = A} である。

754 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/18(土) 19:49:51.06
定義
G を群とする。
A を G の部分集合とする。
C(A) = {g ∈ G; A の各元 x に対して gx = xg} と書く。
C(A) は C_G(A) とも書く。
C(A) は G の部分群であり、A の G における中心化部分群(centralizer)と呼ぶ。

755 :あのこうちやんは始皇帝だった:2012/02/18(土) 20:07:03.66

 クソの役にも立たないコトを、ごちゃごちゃ、言ってんじゃね〜〜〜〜!!!!!!


756 :132人目の素数さん:2012/02/18(土) 22:08:31.10
>>755
そうだ、その通りだ。

>>Kummer
謝罪しろ

757 :132人目の素数さん:2012/02/19(日) 03:37:45.52
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
        , '´  _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
      /   /:::::; -‐''"        `ーノ
     /   /:::::/           \
     /    /::::::/          | | |  |
     |   |:::::/ /     |  | | | |  |
      |   |::/ / / |  | ||  | | ,ハ .| ,ハ|
      |   |/ / / /| ,ハノ| /|ノレ,ニ|ル' 
     |   |  | / / レ',二、レ′ ,ィイ|゙/   私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.     |   \ ∠イ  ,イイ|    ,`-' |      頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
    |      / `‐-、::::::::::`‐-、::::\   /,ニニ、\            それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
   |      |::::::::::::::::::|` -、:::::::,ヘ ̄|'、  ヒニ二、 \
.   |      /::::::::::::::::::|::::::::\/:::O`、::\   | '、   \
   |      /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'、::::\ノ  ヽ、  |
  |      |:::::/:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'、',::::'、  /:\__/‐、
  |      |/:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::O::| '、::| く::::::::::::: ̄|
   |     /_..-'´ ̄`ー-、:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::\;;;;;;;_|
   |    |/::::::::::::::::::::::\:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
    |   /:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::O::|::|::::::|:::::::::::::::/

758 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/19(日) 05:08:50.78
注意
G を群とする。
Aut(G) を G の自己同型群とする。
τ:G → Aut(G) を内部表現(>>749)とする。
τ により G は G-集合(>>77)となる。
x ∈ G とする。
x の安定化部分群(>>93)即ち正規化部分群 N({x})(>>753)は中心化部分群 C({x})(>>754)と一致する。

A を G の部分集合とする。
C(A) = ∩{C({x});x ∈ A} = ∩{N({x});x ∈ A} である。
C(A) は>>244の G(A) と一致する。

759 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/19(日) 05:16:52.31
注意
G を群とする。
H を G の正規部分群とする。
Aut(H) を H の自己同型群とする。
a ∈ G のとき x ∈ H に axa^(-1) ∈ H を対応させる写像を λ(a) と書く。
容易に分かるように λ(a) は Aut(H) の元である。
a ∈ G に λ(a) ∈ Aut(H) を対応させる写像 λ:G → Aut(H) は準同型である。
λ の核は中心化部分群 C(H)(>>754)と一致する。
よって、C(H) は G の正規部分群である。

760 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/19(日) 05:32:08.43
記法
G を群とする。
X を G-集合(>>77)とする。
A を G の部分集合とする。
C(A) = {g ∈ G; A の各元 x に対して gx = xg} と書く。
C(A) は C_G(A) とも書く。
C(A) は G の部分群であり、A の G における各点ごとの安定化部分群(pointwise stabilizer)
とも呼ばれる。
A が一点 x からなるとき C(A) を C(x) と書く。

761 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/19(日) 05:35:36.69
>>760の修正

記法
G を群とする。
X を G-集合(>>77)とする。
A を X の部分集合とする。
C(A) = {g ∈ G; A の各元 x に対して gx = xg} と書く。
C(A) は C_G(A) とも書く。
C(A) は G の部分群であり、A の G における各点ごとの安定化部分群(pointwise stabilizer)
とも呼ばれる。

A が一点 x からなるとき C(A) を C(x) と書く。
C(x) は x の安定化部分群(>>93)である。
C(x) を G_x とも書く。

762 :132人目の素数さん:2012/02/19(日) 05:36:10.33
>C(A) は G の部分群であり
ソースは?
いや、自分でやれ、自明ってのはわかるが。

763 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/19(日) 05:46:01.15
記法
G を群とする。
X を G-集合(>>77)とする。
P(X) を X の冪集合、即ち X の部分集合全体とする。
>>752で定義したように P(X) は自然に G-集合となる。
A を X の部分集合とする。
A の G における安定化部分群(>>93)を A の G における大域安定化部分群(global stabilizer)と呼び、
N(A) または N_G(A) と書く。
N(A) = {g ∈ G;gA = A} である。

A が一点 x からなるとき N(A) を N(x) と書く。
N(x) は x の安定化部分群(>>93)である。

764 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/19(日) 06:02:44.19
>>761の修正

記法
G を群とする。
X を G-集合(>>77)とする。
A を X の部分集合とする。
C(A) = {g ∈ G; A の各元 x に対して gx = x} と書く。
C(A) は C_G(A) とも書く。
C(A) は G の部分群であり、A の G における各点ごとの安定化部分群(pointwise stabilizer)
とも呼ばれる。

A が一点 x からなるとき C(A) を C(x) と書く。
C(x) は x の安定化部分群(>>93)である。
C(x) を G_x とも書く。

765 :132人目の素数さん:2012/02/19(日) 06:06:43.29
>>762
C(x) は x の安定化部分群(>>93)であり、C(A) = ∩{C(x);x ∈ A} からも分かる。

766 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/19(日) 06:19:43.32
注意
G を群とする。
X を G-集合(>>77)とする。
f:G → Aut(X) を標準射(>>77)とする。
C(X)(>>764)は f の核である。
よって、C(X) は G の正規部分群である。

767 :132人目の素数さん:2012/02/19(日) 07:35:00.45
がろあデイはチョコピーナッツを配るんだぞ。

768 :132人目の素数さん:2012/02/19(日) 07:37:39.25
>>Kummer
コラ!

769 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/19(日) 11:24:55.94
注意
G を群とする。
X を G-集合(>>77)とする。
A を X の部分集合とする。
N(A) を A の大域安定化部分群(>>763)とする。
A は N(A)-集合(>>77)と見なされる。
g:N(A) → Aut(A) を標準射(>>77)とする。
g の核は C(A) = C_G(A)(>>764)である。
よって、C(A) は N(A) の正規部分群である。

770 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/19(日) 11:29:46.58
記法
G を群とする。
X を G-集合(>>77)とする。
S を G の部分集合とする。
Fix(S) = {x ∈ X;全ての s ∈ S に対して sx = x} と書く。

771 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/19(日) 11:36:10.17
>>763とか>764とか>>770の記法は Ascbacherの finite group theory による。

772 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/19(日) 11:37:47.02
>>771の修正

>>763とか>>764とか>>770の記法は Aschbacherの finite group theory による。

773 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/19(日) 11:47:54.36
命題
G を群とする。
Aut(G) を G の自己同型群とする。
τ:G → Aut(G) を内部表現(>>749)とする。
τ により G は G-集合(>>77)となる。
G = Σ[i ∈ I] Gx_i を G の軌道(>>92)による直和分割とする。
各 i ∈ I に対して N(x_i) を x_i の正規化部分群(>>753)とする。
J = {i ∈ I;G ≠ N(x_i)} とおく。
このとき |G| = |Z(G)| + Σ[x ∈ J] [G : N(x)] である。
ここで Z(G) は G の中心(>>751)である。

証明
>>748から明らかである。

774 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/19(日) 14:00:14.06
命題
G を有限群とする。
p を G の位数 |G| の素因数とする。
G の全ての真部分群 H の位数 |H| が p と素であるとする。
このとき |Z(G)| は p で割れる。

証明
>>733より G の任意の部分群 H に対して [G : 1] = [G : H] [H : 1]
よって、H の位数 |H| = [H : 1] が p と素なら [G : H] は p で割れる。
よって、本命題は>>773より明らかである。
証明終

775 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/19(日) 14:10:11.19
命題(Cauchyの定理)
G を有限群とする。
p を G の位数の素因数とする。
このとき G は位数 p の元を持つ。

証明
G の位数 n に関する帰納法を使う。
n = 1 のときは自明である。
n > 1 とする。
G のある真部分群の位数が p で割れれば帰納法の仮定により H は位数 p の元を持つ。
よって、G の全ての真部分群の位数が p と素であると仮定してよい。
>>774より |Z(G)| は p で割れる。
Z(G) はアーベル群であるから>>745より位数 p の元を持つ。
証明終

776 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/19(日) 14:15:48.43
定義
G を群とする。
p をある素数とする。
G の各元の位数が p の冪のとき G を p-群(p-group)と呼ぶ。

777 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/19(日) 14:23:28.94
命題
G を有限群とする。
p をある素数とする。
G が p-群(>>776)であるためには G の位数が p の冪であることが必要十分である。

証明
必要性:
G が p-群であるとする。
>>775より G の位数の素因数は p のみである。
よって、G の位数は p の冪である。

十分性:
G の位数が p の冪であるとする。
G の各元の位数は G の位数の約数であるから p の冪である。
証明終

778 :132人目の素数さん:2012/02/19(日) 15:42:15.45
>>757 俺は只の数ヲタなんかとは付き合わンな。

頭が良くて数学が出来てかっこいいヤツ。それが十分条件。
さらに arXiv math に論文だせば必要条件にもなる。
俺、一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
良い論文の出版を遅らせるお馬鹿なヤツ。

779 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/19(日) 16:33:02.30
命題
G を有限 p-群(>>776)とする。
X を有限 G-集合(>>77)とする。
このとき |X| ≡ |Fix(G)| (mod p)

証明
>>748より
|X| = |Fix(G)| + Σ[i ∈ J] [G : H_i] である。
>>777より各 i ∈ J に対して [G : H_i] ≡ 0 (mod p)である。
よって、|X| ≡ |Fix(G)| (mod p)
証明終

780 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/19(日) 16:43:25.02
命題
G を有限 p-群(>>776)とする。
X を有限 G-集合(>>77)とする。
|X| ≡ 0 (mod p) とする。
このとき |Fix(G)| ≡ 0 (mod p) である。

証明
>>779より明らかである。

781 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/19(日) 16:49:47.69
命題
G ≠ 1 を有限 p-群(>>776)とする。
このとき Z(G) ≠ 1 である。

証明
Aut(G) を G の自己同型群とする。
τ:G → Aut(G) を内部表現(>>749)とする。
τ により G は G-集合(>>77)となる。
>>777より |G| ≡ 0 (mod p) である。
よって、>>780より |Fix(G)| ≡ 0 (mod p) である。
Fix(G) = Z(G) であるから Z(G) ≠ 1 である。
証明終

782 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/19(日) 16:59:58.66
命題
有限 p-群(>>776)は可解(過去スレpart1の550)である。

証明
G を有限 p-群とする。
>>777より |G| = p^n、n ≧ 0 である。
n に関する帰納法を使う。
n = 0 のときは自明である。
n > 0 とする。
τ:G → Aut(G) を内部表現(>>749)とする。
Z(G) は τ の核であるから G の正規部分群である。
Z(G) はアーベル群であるから可解である。
>>781より Z(G) ≠ 1 である。
よって、帰納法の仮定より G/Z(G) は可解である。
よって、過去スレpart1の566より G は可解である。
証明終

783 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/19(日) 18:11:51.71
定義
L と M を前順序集合(>>608)とする。
f:L → M を写像とする。
x ≦ y のとき f(x) ≦ f(y) となるとき f は単調増加または単に単調という。
または f は順序を保存するともいう。

784 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/19(日) 18:14:59.48
定義
L と M を前順序集合(>>608)とする。
f:L → M を全単射とする。
f と f^(-1) が順序を保存する(>>783)とき f を同型写像または同型と言う。
このとき L と M は同型と言う。

785 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/19(日) 18:27:57.26
注意
>>679より前順序集合(>>608)は痩せた圏(>>675)と見なされる。
このとき前順序集合間の単調増加写像(>>783)は関手と見なされる。
同様に前順序集合間の同型写像(>>784)は圏の同型関手と見なされる。

786 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/19(日) 18:36:42.93
命題
G を群とする。
N を G の正規部分群とする。
N ⊂ H ⊂ G となる G の部分群 H 全体を Sub(G, N) とする。
Sub(G, N) は包含関係で順序集合となる。

G/N の部分群全体を Sub(G/N) とする。
Sub(G/N) は包含関係で順序集合となる。

H ∈ Sub(G, N) に H/N ∈ Sub(G/N) を対応させる写像を λ:Sub(G, N) → Sub(G/N) とする。
このとき λ は順序集合の同型(>>784)である。

証明
π:G → G/N を標準写像とする。
H ∈ Sub(G, N) のとき λ(H) = π(H) である。
λ が単調増加(>>783)であることは明らかである。
H~ ∈ Sub(G/N) のとき μ(H~) = π^(-1)(H~) とおく。
μ(H~) ∈ Sub(G, N) である。
μ が単調増加であることは明らかである。
明らかに μ = λ^(-1) である。
よって、λ は順序集合の同型である。
証明終

787 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/19(日) 18:54:07.22
定義
G を群とする。
p をある素数とする。
H を G の部分群とする。
H が p-群(>>776)のとき H を G の p-部分群(p-subgroup)と呼ぶ。

788 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/19(日) 19:22:54.63
命題
G を有限群とする。
p 素数とする。
G の位数 が p^m、m ≧ 0 で割れるとする。
このとき位数 p^m の G の部分群が存在する。

証明
G の位数 n に関する帰納法を使う。
n = 1 のときは自明である。
n > 1 とする。
G の真部分群 H で [G : H] が p で割れないものがあるとする。
|G| = [G : H] |H| であるから |H| は p^m で割れる。
|G| > |H| であるから帰納法の仮定より H は位数 p^m の部分群を持つ。
よって、G の全ての真部分群 H に対して [G : H] が p で割れると仮定して良い。
>>773より |Z(G)| は p で割れる。
Z(G) はアーベル群であるから>>745より位数 p の元を持つ。
よって、Z(G) は位数 p の部分群 P を持つ。
Z(G) の各元は G の任意の元と可換であるから P は G の正規部分群である。
|G/P| は p^(m-1) で割れる。
よって、帰納法の仮定より G/P は位数 p^(m-1) の部分群 H~ を持つ。
>>786より P ⊂ H ⊂ G となる G の部分群 H で H/P = H~ となるものが一意に存在する。
|H| = |H/P||P| = p^m である。
証明終

789 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/19(日) 19:33:04.49
定義
G を群とする。
p 素数とする。
G の極大な p-部分群(>>787)を G の Sylow p-部分群と呼ぶ。
即ち G の p-部分群 P が Sylow p-部分群であるとは P ⊂ Q ⊂ G、P ≠ Q となる
p-部分群 Q が存在しないことを言う。

790 :あのこうちやんは始皇帝だった:2012/02/19(日) 19:40:43.90

 クソの役にも立たないコトを、だらだら、くっちゃべってんじゃねえ!!!!!!!!!!!!!!


791 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/19(日) 19:55:08.40
命題
G を有限群とする。
p 素数とする。
G の位数 が p で割れるとする。
このとき G の Sylow p-部分群(>>789)が存在する。

証明
|G| = (p^n)m、m と p は素とする。
>>788より位数 p^n の G の部分群 Q が存在する。
>>777より Q は G の p-部分群(>>787)である。
>>777より G の任意の p-部分群 P の位数は p の冪である。
よって、P の位数は p^n の約数である。
よって、Q は Sylow p-部分群である。
証明終

792 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/20(月) 02:31:19.43
定義
G を群とする。
A と B を G の部分集合とする。
B = xAx^(-1) となる x ∈ G があるとき A と B は互いに共役である、
または B は A の共役であると言う。

793 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/20(月) 02:41:44.60
記法
G を群とする。
A と B を G の部分集合とする。
G の部分集合 {ab; a ∈ A、b ∈ B} を AB と書く。

794 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/20(月) 02:48:49.90
命題
G を群とする。
H と K を G の部分群とする。
HK = KH であれば HK は G の部分群である。

証明
1 ∈ HK である。
(HK)(HK)= HHKK = HK
(HK)^(-1) = K^(-1)H^(-1) = KH = HK
よって、HK は G の部分群である。
証明終

795 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/20(月) 02:52:19.99
命題
G を群とする。
H と K を G の部分群とする。
K が G の正規部分群であれば HK は G の部分群である。

証明
K は G の正規部分群であるから HK = KH
よって、>>794より HK は G の部分群である。
証明終

796 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/20(月) 03:00:47.78
補題
G を有限群とする。
p 素数とする。
G の位数 が p で割れるとする。
P を G の p-部分群(>>787)とする。
Q を G の Sylow p-部分群(>>789)とする。
P ⊂ N(Q)(>>753) とする。
このとき P ⊂ Q である。

証明
Q は N(Q) の正規部分群である。
よって、>>795より PQ は N(Q) の部分群である。
P/(P ∩ Q) と PQ/Q は同型であるから PQ は G の p-部分群である。
Q ⊂ PQ であり、Q は Sylow p-部分群であるから Q = PQ である。
よって、P ⊂ Q である。
証明終

797 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/20(月) 04:01:29.28
後で述べる Sylow の定理の証明には以下のような状況が利用される。

G を群とする。
τ:G → Aut(G) を内部表現(>>749)とする。
τ により G は G-集合となる。
P(G) を G の冪集合、即ち G の部分集合全体とする。
>>752より P(G) は G-集合となる。
A を G の部分集合とする。
A と共役(>>792)な G の部分集合全体を S(A) とする。
即ち S(A) は A の軌道(>>92)である。
S(A) は P(G) の G-部分集合(>>94)である。
H を G の部分群とする。
G の S(A) に対する作用を H に制限することにより S(A) は H-集合となる。

798 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/20(月) 04:40:33.54
命題
G を群とする。
X を G-集合(>>77)とする。
x ∈ X とし x の軌道(>>92)を O(x) とする。
このとき |O(x)| = [G : N(x)] である。
ここで N(x) は x の安定化部分群(>>763)である。

証明
O(x) は推移的(>>107)な G-部分集合(>>94)である。
>>121より |O(x)| = |G/N(x)| = [G : N(x)]
証明終

799 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/20(月) 04:47:12.03
命題
G を群とする。
A を G の部分集合とする。
A と共役(>>792)な G の部分集合全体を S(A) とする。
このとき |S(A)| = [G : N(A)] である。
ここで N(A) は A の正規化部分群(>>753)である。

証明
>>797より P(G) は G-集合となる。
このとき S(A) は A の軌道(>>92)である。
よって、>>798より |S(A)| = [G : N(A)] である。
証明終

800 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/20(月) 04:59:58.77
補題
G を有限群とする。
p 素数とする。
G の位数 が p で割れるとする。
|G| = (p^n)m で p と m は素とする。
P を G の位数 p^n の部分群とする。
P と共役(>>792)な G の部分集合全体を S(P) とする。
このとき |S(P)| は p と素である。

証明
>>799より |S(P)| = [G : N(P)] である。
P ⊂ N(P) であるから>>733より [G : P] = [G : N(P)][N(P) : P]
[G : P] = m であるから [G : N(P)] は p と素である。
証明終

801 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/20(月) 05:13:58.09
補題
G を有限群とする。
p 素数とする。
G の位数 が p で割れるとする。
|G| = (p^n)m で p と m は素とする。
P を G の位数 p^n の部分群とする。
P と共役(>>792)な G の部分集合全体を S(P) とする。
H を G の任意の p-部分群(>>787)とする。
>>797より S(P) は H-集合となる。
このとき Fix(H)(>>770)は 空でない。

証明
>>779より |S(P)| ≡ |Fix(H)| (mod p)
一方、>>800より |S(P)| は p と素である。
よって、|Fix(H)| は p と素である。
よって、Fix(H) は 空でない。
証明終

802 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/20(月) 06:44:20.80
>>791の修正

命題
G を有限群とする。
p 素数とする。
G の位数 が p で割れるとする。
|G| = (p^n)m で p と m は素とする。
このとき G は位数 p^n の Sylow p-部分群(>>789)を持つ。

証明
>>788より位数 p^n の G の部分群 P が存在する。
>>777より P は G の p-部分群(>>787)である。
>>777より G の任意の p-部分群 H の位数は p の冪である。
よって、H の位数は p^n の約数である。
よって、P は Sylow p-部分群である。
証明終

803 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/20(月) 06:47:26.37
命題(Sylow)
G を有限群とする。
p 素数とする。
G の位数 が p で割れるとする。
|G| = (p^n)m で p と m は素とする。
このとき以下が成り立つ。

(1)G は位数 p^n の Sylow p-部分群(>>789)を持つ。

(2)G の Sylow p-部分群は全て共役(>>792)である。
従って G の全ての Sylow p-部分群の位数は p^n である。

(3)G の Sylow p-部分群の個数 ≡ 1 (mod p)

証明
(1)>>802で証明済みである。

(2)H を G の任意の Sylow p-部分群とする。
P を位数 p^n の Sylow p-部分群とする。
P は Sylow p-部分群である。
P と共役(>>792)な G の部分群全体を S(P) とする。
>>801より Fix(H)(>>770)は 空でない。
Q ∈ Fix(H) とする。
H ⊂ N(Q)(>>753)である。
>>796より H ⊂ Q である。
H は Sylow p-部分群 であるから H = Q である。

(3)
(2)より Fix(P) = {P} である。
よって、>>779より |S(P)| ≡ 1 (mod p)
証明終

804 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/20(月) 07:06:31.15
注意
G を有限群とする。
p を素数とする。
G の位数 が p で割れるとする。
H を G の任意の p-部分群(>>787)とする。
このとき、H を含む G の Sylow p-部分群(>>789)が存在することは
Sylow p-部分群の定義(>>789)から明らかである。

805 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/20(月) 08:05:56.32
定義
G を副有限群(>>705)とする。
p 素数とする。
G の任意の開正規部分群 H に対して G/H が p-群(>>776)であるとき G を副有限 p-群と呼ぶ。

806 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/20(月) 08:19:37.87
命題
G を副有限群(>>705)とする。
p 素数とする。
Φ を G の開正規部分群の集合で G の単位元 e の基本近傍系であるとする。
全ての H ∈ Φ に対して G/H が p-群(>>776)であるとする。
このとき G は副有限 p-群(>>805)である。

証明
G の任意の開正規部分群 H に対して H’⊂ H となる H’∈ Φ がある。
標準準同型 G → G/H は全射準同型 G/H’→ G/H を引き起こす。
G/H’は p-群だから G/H も p-群である。
よって、G は副有限 p-群である。
証明終

807 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/20(月) 09:13:04.73
命題
G を副有限 p-群(>>805)とする。
H を G の任意の閉部分群とする。
このとき H は副有限 p-群である。

証明
>>722より H は副有限群(>>705)である。

Φ を G の開正規部分群全体の集合とする。
Φ’= {H ∩ U;U ∈ Φ} とおく。
U ∈ Φ のとき H ∩ U は H の開正規部分群である。

H の単位元の任意の開近傍 V に対して V = H ∩ W となる G の開集合 W がある。
>>604より U ⊂ W となる U ∈ Φ がある。
H ∩ U ⊂ H ∩ W = V であるから Φ’は H の単位元の基本近傍系である。

U ∈ Φ のとき H/(H ∩ U) は HU/U に同型である。
HU/U は G/U の部分群であるから p-群である。
よって、H/(H ∩ U) は p-群である。
よって、>>806より H は副有限 p-群である。
証明終

808 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/20(月) 10:44:20.66
命題
I を任意の集合とする。
(G_i)、i ∈ I を有限 p-群(>>776)の族とする。
各 G_i に離散位相(>>60)を与える。
このとき G = ΠG_i は副有限 p-群(>>805)である。

証明
>>715より G は副有限群(>>705)である。

各 i ∈ I に対して π_i:G → G_i を射影とする。
各 i ∈ I に対して e_i を G_i の単位元とする。
各 i ∈ I に対して H_i = (π_i)^(-1)(e_i) とおく。
各 H_i は G の開正規部分群であり、G/H_i は G_i に同型である。

J を I の有限部分集合とする。
H_J = ∩{H_i;i ∈ J} とおく。
H_J は G の開正規部分群であり、G/H_J は Π{G_i;i ∈ J} に同型である。
よって、G/H_J は有限 p-群である。

Φ(I) を I の有限部分集合全体とする。
{H_J;J ∈ Φ(I)} は G の単位元の基本近傍系である。
よって、>>806より G は副有限 p-群である。
証明終

809 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/20(月) 10:58:20.35
命題
TopGrpを小さい集合(代数的整数論017の321)上で定義された位相群の圏とする。
I を小さいグラフ(過去スレpart2の809)とする。
F:I → TopGrp を図式(>>661)とする。
各 i ∈ I に対して F(i) は有限 p-群(>>776)に離散位相(>>60)を与えたものとする。
>>610より G = lim F(過去スレpart2の824)が存在する。
このとき G は副有限 p-群(>>805)である。

証明
P = ΠF(i) とする。
>>808より P は 副有限 p-群である。
>>610より
G = {(x_i) ∈ P; I における各射 u:i → j に対して F(u)(x_i) = x_j} である。
過去スレpart3の494より G は P の閉集合である。
よって、>>807より G は副有限 p-群(>>805)である。
証明終

810 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/20(月) 16:34:47.01
命題
G を群とする。
p を素数とする。
H と K を G の正規部分群とし、G/H と G/K は共に有限 p-群(>>776)とする。
このとき、G/(H ∩ K) は有限 p-群である。

証明
>>777より |G/(H ∩ K)| が p の冪であることを示せばよい。
>>777より |G/H| と |G/K| は p の冪である。
H/(H ∩ K) と HK/K は同型である。
HK/K は G/K の部分群であるから有限 p-群である。
よって、|H/(H ∩ K)| は p の冪である。
>>733より [G : H ∩ K] = [G : H] [H : H ∩ K] であるから
[G : H ∩ K] = |G/(H ∩ K)| は p の冪である。
証明終

811 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/20(月) 16:48:43.20
定義
G を群とする。
p を素数とする。
Φ を G の正規部分群 H で G/H が有限 p-群(>>776)となるもの全体の集合とする。
H_1、H_2 ∈ Φ、H_1 ⊃ H_2 のとき H_1 ≦ H_2 と定義することにより Φ は順序集合となる。
>>810より H_1、H_2 ∈ Φ のとき H_1 ∩ H_2 ∈ Φ だから Φ は上向きの有向集合(>>609)である。
>>679より Φ は小さい(>>664)痩せた圏(>>675)と見なされる。
TopGrpを小さい集合(代数的整数論017の321)上で定義された位相群の圏とする。
各 H ∈ Φ に有限離散群(>>712)G/H を対応させることにより関手 Φ^o → TopGrp が得られる。
このとき>>809より G_p = lim[H ∈ Φ] G/H(>>708)は副有限 p-群(>>805)である。
G_p を G の p-完備化(p-completion)と言う。

812 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/21(火) 04:46:27.63
命題
G を群とする。
G の正規部分群 H で [G : H] が有限となるもの全体の集合を Φ とする。
G^= lim[H ∈ Φ] G/H を G に付随する副有限群(>>741)とする。
>>737により G を位相群と見なす。
各 H ∈ Φ に対して f_H:G → G/H を標準写像とする。
>>701より x に (f_H(x)) を対応させることにより連続準同型 f:G → G^が得られる。
各 H ∈ Φ に対して f(H) の閉包を H^と書く。
各 H ∈ Φ に対して π_H:G^→ G/H を標準写像とする。
このとき各 H ∈ Φ に対して以下が成り立つ。

(1)H^ = (π_H)^(-1)(e_H)
ここで、e_H は G/H の単位元である。

(2)H^は G^の開正規部分群である。

(3)H = f^(-1)(H^) である。

(4)G^ = f(G)H^

(5)G/H と G^/H^は同型である。

証明
(1)f_H = (π_H)f であるから π_H(f(H)) = f_H(H) = e_H である。
よって、f(H) ⊂ (π_H)^(-1)(e_H) である。
(π_H)^(-1)(e_H) は G^の閉部分群であるから H^⊂ (π_H)^(-1)(e_H) である。
逆の包含関係を示せば良い。

(続く)

813 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/21(火) 04:47:31.38
>>812の続き

任意の x ∈ (π_H)^(-1)(e_H) の G^における開近傍を U とする。
K ⊂ H となる K ∈ Φ と π_K(x) ∈ V_K となる G/K の部分集合 V_K があり
(π_K)^(-1)(V_K) ⊂ U となる。
よって、f^(-1)((π_K)^(-1)(V_K)) ⊂ f^(-1)(U)
f_K = (π_K)f であるから (f_K)^(-1)(V_K) ⊂ f^(-1)(U)
f_(H, K):G/K → G/H を標準写像とする。
f_(H, K)π_K = π_H である。
π_H(x) = e_H であるから f_(H, K)(π_K(x)) = e_H
よって、π_K(x) ∈ H/K
よって、π_K(x) = f_K(h) となる h ∈ H がある。
h ∈ (f_K)^(-1)(V_K) ⊂ f^(-1)(U) であるから f(H) ∩ U ≠ φ
よって、x ∈ H^
よって、(π_H)^(-1)(e_H) ⊂ H^

(2)(1)より H^ = (π_H)^(-1)(e_H) である。
π_H:G^→ G/H は連続であり {e_H} は G/H の開集合であるから H^は G^の開部分群である。

(3)f_H = (π_H)f であるから f^(-1)(H^) = (f_H)^(-1)(e_H) = H である。

(4)(2)より H^は G^の開正規部分群である。
よって、f(G)H^は G^の開部分群である。
よって、>>249より f(G)H^は G^の閉部分群である。
f(G) ⊂ f(G)H^であり>>703より f(G) は G^で密だから G^ = f(G)H^である。

(5)g:G^ → G^/H^を標準写像とする。
h = gf とおく。
(4)より G^ = f(G)H^であるから h:G → G^/H^は全射である。
(3)より Ker(h) = f^(-1)(H^) = H
よって、G/H と G^/H^は同型である。
証明終

814 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/21(火) 08:38:32.53
定義
G を群とする。
p を素数とする。
G^ を G に付随する副有限群(>>741)とする。
G_p を G の p-完備化(>>811)とする。
G の正規部分群 H で G/H が有限群となるもの全体の集合を Ψ とする。
G の正規部分群 H で G/H が有限 p-群(>>776)となるもの全体の集合を Φ とする。
各 H ∈ Ψ に対して π_H:G^ → G/H を標準写像とする。
各 H ∈ Φ に対して φ_H:G_p → G/H を標準写像とする。
TopGrpを小さい集合(代数的整数論017の321)上で定義された位相群の圏とする。
H ∈ Ψ に G/H を対応させる関手 Ψ^o → TopGrp を ψ:Ψ^o → TopGrp とする。
H ∈ Φ に G/H を対応させる関手 Φ^o → TopGrp を φ:Φ^o → TopGrp とする。
G^ = lim ψ
G_p = lim φ
である。
(π_H)、H ∈ Φ は頂点 G^ から基底 φ への錐(過去スレpart2の822)である。
よって、連続準同型 f:G^ → G_p で各 H ∈ Φ に対して fφ_H = π_H となるものが一意に存在する。
f を標準準同型または標準射と呼ぶ。

815 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/21(火) 10:02:59.12
補題
n ≧ 1 を任意の整数とする。
n = Π(p_i)^(r_i)、i = 1、...、s を n の素因数分解とする。
Z を有理整数環とする。
各 i に対して f_i:Z/nZ → Z/(p_i)^(r_i)Z を環の標準準同型とする。
(f_i)、i = 1、...、s は環の準同型 f:Z/nZ → ΠZ/(p_i)^(r_i)Z を引き起こす。
このとき f は同型である。

証明
中国の剰余定理(過去スレpart2の83)より f は全射である。
f が単射であることは明らかである。
証明終

816 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/21(火) 10:15:51.62
命題
Z を有理整数全体の作るアーベル群とする。
Z^を Z に付随する副有限群(>>741)とする。
各素数 p に対して Z_p を Z の p-完備化(>>811)とする。
ΠZ_p を全ての素数 p に渡る直積とする。
このとき Z^ は位相群として ΠZ_p に同型である。

証明
Z^ = lim Z/nZ である。
ここで n ≧ 1 は整数全体を動く。
各素数 p に対して Z_p = lim Z/(p^n)Z である。
ここで n ≧ 0 は整数全体を動く。
各素数 p に対して f_p:Z^→ Z_p を標準射(>>814)とする。
族 (f_p) は連続準同型 f:Z^→ ΠZ_p を引き起こす。
f が位相群としての同型であることを示そう。
まず f が全射であることを示す。
各整数 n ≧ 1 に対して π_n:Z^→ Z/nZ を標準写像とする。
各素数 p と整数 r ≧ 0 に対して φ_(p, r):Z_p → Z/(p^r)Z を標準写像とする。
y = (y_p) を ΠZ_p の任意の元とする。

n ≧ 1 を任意の整数とする。
n = Π(p_i)^(r_i) を n の素因数分解とする。
>>815より Z/nZ は ΠZ/(p_i)^(r_i)Z にアーベル群として同型である。
この同型で Πφ_(p_i, r_i)(y_(p_i)) に対応する Z/nZ の元を x_n とする。
このとき x = (x_n) は明らかに Z^ の元である。
各素数 p と整数 r ≧ 0 に対して φ_(p, r)(y_p) = x_(p^r) である。
φ_(p, r)f_p = π_(p^r) であるから φ_(p, r)(f_p(x)) = x_(p^r)
よって、f_p(x) = y_p である。
よって、f(x) = y である。
よって、f は全射である。

(続く)

817 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/21(火) 10:16:34.21
>>816の続き

次に f が単射であることを示す。
x = (x_n) を Z^の元とし f(x) = 0 とする。
x = 0 を示せば良い。
各素数 p に対して f_p(x) = 0 である。
よって、任意の整数 r ≧ 0 に対して φ_(p, r)(f_p(x)) = x_(p^r) = 0 である。
n ≧ 1 を任意の有理整数とする。
n = Π(p_i)^(r_i) を n の素因数分解とする。
>>815より Z/nZ は ΠZ/(p_i)^(r_i)Z にアーベル群として同型である。
x_n はこの同型で各成分が 0 の元に移るから x_n = 0 である。
よって、x = 0 である。

以上から f は全単射である。
Z^ はコンパクトであるから>>74より f は位相群として位相同型である。
証明終

818 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/21(火) 11:50:27.22
定義
G を位相群とする。
S を G の部分集合とする。
S で生成される G の部分群を H とする。
H が G で密なとき、即ち H の閉包が G と一致するとき G は S により位相的に生成されると言う。

819 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/21(火) 12:32:49.50
定義
G を副有限群(>>705)とする。
G が一個の元で位相的に生成されるとき(>>818
G を副巡回群(procyclic group)と言う。

820 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/21(火) 13:11:23.67
補題
X と Y を位相空間とする。
f:X → Y を連続写像とする。
A を X の部分集合とする。
このとき f(A~) ⊂ f(A)~ である。
ここで、A~ と f(A)~ はそれぞれ A と f(A) の閉包である。

証明
x ∈ A~ とする。
f(x) ∈ f(A)~ を示せば良い。
U を f(x) の任意の近傍とする。
f(A) ∩ U ≠ φ を示せば良い。
f は連続だから x の近傍 V で f(V) ⊂ U となるものがある。
x ∈ A~ だから a ∈ A ∩ V がある。
f(a) ∈ f(A) ∩ U
よって、f(A) ∩ U ≠ φ である。
証明終

821 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/21(火) 13:20:05.71
命題
G を副巡回群(>>819)とする。
H を G の任意の開正規部分群とする。
このとき G/H は有限巡回群である。

証明
G は σ ∈ G で位相的に生成される(>>818)とする。
<σ> を σ ∈ G で代数的に生成される G の部分群とする。
<σ>~ を <σ> の閉包とする。
G = <σ>~ である。
π:G → G/H を標準写像とする。
>>820より π(G) = π(<σ>~) ⊂ π(<σ>)~
よって、G/H = π(<σ>)~ = <π(σ)>~
G/H は離散群だから <π(σ)> は閉集合である。
よって、G/H = <π(σ)> である。
証明終

822 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/21(火) 13:26:39.80
命題
G を任意の副巡回群(>>819)とする。
G はアーベル群である。

証明
G の開正規部分群全体を Ψ とする。
>>706より G は lim[H ∈ Ψ] G/H に位相群として同型である。
>>821より各 G/H は巡回群である。
よって、G はアーベル群である。
証明終

823 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/21(火) 16:03:57.72
命題
G を副巡回群(>>819)とする。
n ≧ 1 を任意の整数とする。
このとき G^n = {x^n;x ∈ G} は G の開部分群である。
さらに [G : G^n] ≦ n である。

証明
x ∈ G に x^n ∈ G を対応させる写像を f:G → G とする。
>>822より G はアーベル群であるから f は準同型である。
よって、G^n = f(G) は G の部分群である。
明らかに f は連続である。
G は準コンパクト(>>64)だから>>71より G^n は準コンパクトである。
G は Hausdorff であるから>>69より G^n は G の閉部分群である。
よって、>>194より G/G^n は Hausdorff である。

G は σ ∈ G で位相的に生成される(>>818)とする。
<σ> を σ ∈ G で代数的に生成される G の部分群とする。
<σ>~ を <σ> の閉包とする。
G = <σ>~ である。
π:G → G/G^n を標準写像とする。
>>820より π(G) = π(<σ>~) ⊂ π(<σ>)~
よって、G/H = π(<σ>)~ = <π(σ)>~
π(σ)^n = π(σ^n) = 1 であるから <π(σ)> は G/G^n の有限部分群である。
G/G^n は Hausdorff であるから <π(σ)> は閉集合である。
よって、G/G^n = <π(σ)> である。
よって、[G : G^n] ≦ n であり、G/G^n は有限群である。
G/G^n は Hausdorff であるから G/G^n は離散空間である。
よって、{1} は G/G^n における開集合である。
よって、G^n = π^(-1)(1) は G の開集合である。
証明終

824 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/21(火) 16:23:15.97
命題
G を副巡回群(>>819)とする。
H を G の開部分群とする。
[G : H] = n とする。
このとき H = G^n である。

証明
G/H の位数は n であるから G/H の任意の元の n 乗は 1 である。
よって、G^n ⊂ H である。
よって、n = [G : H] ≦ [G : G^n] である。
一方、>>823より [G : G^n] ≦ n である。
よって、[G : H] = [G : G^n] となり H = G^n である。
証明終

825 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/21(火) 20:00:04.85
命題
p を素数とする。
G を副巡回群(>>819)でかつ副有限 p-群(>>805)であるとする。
Φ を G の開部分群 H 全体の集合とする。
sup{[G : H];H ∈ Φ} = ∞ とする。
このとき G は Z_p に同型である。
ここで、Z_p は有理整数全体の作るアーベル群 Z の p-完備化(>>811)である。

証明
sup{[G : H];H ∈ Φ} = ∞ であるから任意の整数 n ≧ 1 に対して
[G : H] ≧ p^n となる H ∈ Φ がある。
G は副有限 p-群であるから [G : H] = p^m となる。
ここで、m は m ≧ n となる整数である。
G/H は位数 p^m の巡回群であるから位数 p^(m-n) の部分群 K/H を持つ。
[G : K] = p^n である。
K ⊃ H で H は開部分群であるから K も開部分群である。
即ち、G は任意の整数 n ≧ 1 に対して [G : H_n] = p^n となる開部分群 H_n を持つ。
>>824より H_n = G^(p^n) である。
即ち、このような H_n は一意に存在する。
n ≧ m ≧ 1 のとき G^(p^n) ⊂ G^(p^m) である。
即ち、H_n ⊂ H_m である。
π_n:G → G/H_n を標準写像とする。
G は G ある元 σ で位相的に生成される(>>818)。
>>821より G/H_n = <π_n(σ)> である。
φ_n:Z → Z/(p^n)Z を標準写像とする。
アーベル群の同型 h_n:G/H_n → Z/(p^n)Z で h_n(π_n(σ)) = φ_n(1) となるものが一意に存在する。
n ≧ m ≧ 1 のとき (p^n)Z ⊂ (p^m)Z である。
g_(m, n):Z/(p^n)Z → Z/(p^m)Z を標準射とする。

(続く)

826 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/21(火) 20:00:33.18
>>825の続き

次の図式は可換である。

G/H_n → Z/(p^n)Z
 ↓     ↓
G/H_m → Z/(p^m)Z

よって、G = lim G/H_n は Z_p = lim Z/(p^n)Z に同型である。
証明終

827 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/21(火) 20:35:05.19
命題
I を最大元 m を持つ前順序集合(>>608)とする。
>>679より I は痩せた圏(>>675)と見なせる。
C を圏とする。
F:I^o → C を関手とする。
このとき F(m) = lim F である。

証明
I は空でない上向きの有向集合(>>609)である。
{m} は I の共終(過去スレpart3の96)な部分集合である。
よって、本命題は過去スレpart3の610から従う。
証明終

828 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/21(火) 21:04:47.41
命題
p を素数とする。
G を副巡回群(>>819)でかつ副有限 p-群(>>805)であるとする。
Φ を G の開部分群 H 全体の集合とする。
p^n = sup{[G : H];H ∈ Φ} とする。
ここで、n ≧ 1 は整数である。
このとき G は Z/(p^n)Z に同型である。
ここで、Z は有理整数全体の作るアーベル群である。

証明
p^n = sup{[G : H];H ∈ Φ} であるから
[G : H_n] = p^n となる G の開部分群 H_n がある。
G/H_n は位数 p^n の巡回群であるから位数 p^r、r = 0、1、...、n の部分群 K_r/H_n を持つ。
[G : K_r] = p^(n-r) である。
H_r = K_(n-r)、r = 0、1、...、n とおけば [G : H_r] = p^r である。
H_r ⊃ H で H は開部分群であるから H_r も開部分群である。
>>824より H_r = G^(p^r)、r = 0、1、...、n である。
p^n = sup{[G : H];H ∈ Φ} であるから任意の H ∈ Φ に対して [G : H] = p^m、m ≦ n である。
よって、>>824より H = G^(p^m) である。
よって、Φ = {H_0、H_1、...、H_n} である。
H_0 ⊃ H_1 ⊃ ... ⊃ H_n である。
G = lim G/H_r であるから>>827より G は G/H_n 即ち Z/(p^n)Z に同型である。
証明終

829 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/22(水) 07:57:06.28
>>828
>ここで、n ≧ 1 は整数である。

ここで、n ≧ 0 は整数である。

830 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/22(水) 08:57:25.87
命題
G を副有限群(>>705)とする。
Φ を G の開正規部分群の集合で次の条件(CF)を満たすとする(CF は cofinal の略)。
(CF)G の任意の開正規部分群 H に対して H’⊂ H となる H’∈ Φ がある。

各 H ∈ Φ に対して π_H:G → G/H を標準射とする。
G のある元 σ があり、各 H ∈ Φ に対して G/H は π_H(σ) で生成されるとする。
このとき G は σ により位相的に生成される(>>818)。
よって、G は副巡回群(>>819)である。

証明
σ により代数的に生成される G の部分群を <σ> とする。
G = <σ>~ を示せば良い。
ここで <σ>~ は <σ> の閉包である。
x を G の任意の元とする。
x ∈ <σ>~ を示せば良い。
U を x の任意の近傍とする。
>>604より Φ は G の単位元 e の基本近傍系である。
よって、xH ⊂ U となる H ∈ Φ がある。
仮定より G/H は π_H(σ) = σH で生成される。
よって、xH = (σ^n)H となる整数 n が存在する。
即ち σ^n ∈ xH ⊂ U である。
σ^n ∈ <σ> であるから x ∈ <σ>~ である。
証明終

831 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/22(水) 09:01:28.50
注意
G を群とする。
G に付随する副有限群(>>741)G^のことを G の副有限群完備化(profinite completion)とも言う。

832 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/22(水) 09:26:31.60
命題
G を副巡回群(>>819)とする。
Φ を G の開部分群全体の集合とする。
p を任意の素数とする。
Φ_p = {H ∈ Φ;[G : H] は p の冪} とおく。
G_p = lim[H ∈ Φ_p] G/H とおく。
このとき G_p は Z_p または Z/(p^n)Z に同型である。
ここで、Z_p は有理整数全体の作るアーベル群 Z の p-完備化(>>811)である。
n ≧ 0 は整数である。

証明
>>809より G_p は副有限 p-群(>>805)である。
>>825>>828より G_p が副巡回群であることを示せばよい。
仮定より G のある元 σ があり、G は σ により位相的に生成される(>>818)。
各 H ∈ Φ に対して π_H:G → G/H を標準射とする。
各 H ∈ Φ_p に対して φ_H:G_p → G_p/H を標準射とする。
>>706より G は lim[H ∈ Φ] G/H に同型である。
>>679より Φ は痩せた圏(>>675)と見なせる。
よって、Φ_p は Φ の部分圏と見なせる。
よって、過去スレpart3の151より標準射 f:G → G_p が存在する。
各 H ∈ Φ_p に対して φ_Hf = π_H である。
よって、π_H(σ) = φ_H(f(σ)) である。
>>821より G/H は π_H(σ) = φ_H(f(σ)) で生成される。
よって、>>830より G_p は f(σ) により位相的に生成される(>>818)。
よって、G_p は副巡回群である。
証明終

833 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/22(水) 09:48:37.19
注意
I を前順序集合(>>608)とする。
>>679より I は痩せた圏(>>675)と見なされる。
I^o を I の双対圏(>>686)とする。
C を圏とする。
F:I^o → C を関手とする。
J を I の部分集合とする。
J は I の部分圏(>>690)と見なされる。
L:J → I を包含関手とする。
L^o:J^o → I^o を L の双対関手(過去スレpart3の603)とする。
lim F と lim FL(過去スレpart2の824)が存在するとする。
このとき過去スレpart3の151より標準射 h:lim F → lim FL^o が存在する。

834 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/22(水) 10:51:17.83
命題
G を副巡回群(>>819)とする。
Φ を G の開部分群全体の集合とする。
>>706より G は lim[H ∈ Φ] G/H に同型である。
p を任意の素数とする。
Φ_p = {H ∈ Φ;[G : H] は p の冪} とおく。
G_p = lim[H ∈ Φ_p] G/H とおく。
このとき標準射(>>833) f:G → G_p は全射である。

証明
仮定より G のある元 σ があり、G は σ により位相的に生成される(>>818)。
>>832より G_p は f(σ) により位相的に生成される。
f(σ) により代数的に生成される G_p の部分群を <f(σ)> とする。
G_p = <f(σ)>~ である。
ここで <f(σ)>~ は <f(σ)> の閉包である。
G は準コンパクト(>>64)であるから>>71より f(G) は準コンパクトである。
G_p は Hausdorff であるから>>69より f(G) は閉集合である。
一方、f(σ) ∈ f(G) であるから <f(σ)> ⊂ f(G) である。
よって、G_p = <f(σ)>~ ⊂ f(G) である。
即ち G_p = f(G) である。
証明終

835 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/22(水) 11:43:36.56
補題
G を有限または無限巡回群とする。
n ≧ 1 を任意の整数とする。
このとき G^n = {x^n;x ∈ G} は G の部分群であり、
[G : G^n] ≦ n である。

証明
G^n が G の部分群であることは明らかである。
σ を G の生成元とする。
π:G → G/G^n を標準写像とする。
G/G^n は π(σ) で生成される。
σ^n ∈ G^n であるから π(σ)^n = π(σ^n) = π(1) = 1 である。
よって、π(σ) の位数は n 以下である。
よって、[G : G^n] ≦ n である。
証明終

836 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/22(水) 11:45:11.02
>>831の修正

注意
G を群とする。
G に付随する副有限群(>>741)G^のことを G の副有限完備化(profinite completion)とも言う。

837 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/22(水) 11:49:41.05
補題
G を位数 n の巡回群とする。
m を G の約数とすると G は位数 m の部分群 H を唯一つ持つ。

証明
過去スレpart2の190より G は位数 m の部分群 H を持つ。
n = mh とする。
[G : H] = h である。
G/H の位数は h であるから G/H の任意の元の h 乗は 1 である。
よって、G^h ⊂ H である。
よって、h = [G : H] ≦ [G : G^h] である。
一方、>>835より [G : G^h] ≦ h である。
よって、[G : H] = [G : G^h] である。
よって、H = G^h である。
よって、H は m により一意に定まる。
証明終

838 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/22(水) 11:59:12.18
補題
G を位数 n の巡回群とする。
n = Π(p_i)^(r_i)、i = 1、...、s を n の素因数分解とする。
このとき各 i に対して G の位数 (p_i)^(r_i) の部分群 H_i が一意に存在して
G = ΠH_i となる。

証明
>>837より、G の位数 (p_i)^(r_i) の部分群 H_i が一意に存在する。
各 i = 2、...、s に対して明らかに (H_1)×...×(H_(i-1)) ∩ H_i = {1} である。
よって、(H_1)...(H_s) は直積 ΠH_i である。
ΠH_i の位数は n = Π(p_i)^(r_i) であるから G = ΠH_i である。
証明終

839 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/22(水) 12:18:31.52
命題
G を副巡回群(>>819)とする。
Φ を G の開部分群全体の集合とする。
>>706より G は lim[H ∈ Φ] G/H に同型である。
p を任意の素数とする。
Φ_p = {H ∈ Φ;[G : H] は p の冪} とおき、G_p = lim[H ∈ Φ_p] G/H とおく。
このとき G は ΠG_p(p は全ての素数に渡る)に位相群として同型である。

証明
G を lim[H ∈ Φ] G/H と同一視する。
各素数 p に対して f_p:G → G_p を標準射(>>833)とする。
族 (f_p) は連続準同型 f:G→ ΠG_p を引き起こす。
f が位相群としての同型であることを示そう。
まず f が全射であることを示す。
各 H ∈ Φ に対して π_H:G → G/H を標準写像とする。
各素数 p と H ∈ Φ_p に対して φ_(p, H):G_p → G/H を標準写像とする。
y = (y_p) を ΠG_p の任意の元とする。
任意の H ∈ Φ をとる。
n = [G : H] とする。
n = Π(p_i)^(r_i)、i = 1、...、s を n の素因数分解とする。
>>838より G/H は ΠG/H_i にアーベル群として同型である。
ここで H ⊂ H_i ⊂ G、i = 1、...、s で H_i ∈ Φ_(p_i) となる。
各 H_i は H により一意に定まる。
この同型で Πφ_(p_i, H_i)(y_(p_i)) に対応する G/H の元を x_H とする。
このとき x = (x_H) は明らかに G = lim[H ∈ Φ] G/H の元である。
各素数 p と H ∈ Φ_p に対して φ_(p, H)(y_p) = x_H である。
φ_(p, H)f_p = π_H であるから φ_(p, H)(f_p(x)) = x_H
よって、f_p(x) = y_p である。
よって、f(x) = y である。
よって、f は全射である。

(続く)

840 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/22(水) 12:19:19.26
>>839の続き

次に f が単射であることを示す。
x = (x_H) を G の元とし f(x) = 0 とする。
x = 0 を示せば良い。
各素数 p に対して f_p(x) = 0 である。
よって、任意の H ∈ Φ_p に対して φ_(p, H)(f_p(x)) = x_H = 0 である。
任意の H ∈ Φ をとる。
n = [G : H] とする。
n = Π(p_i)^(r_i)、i = 1、...、s を n の素因数分解とする。
上で述べたように G/H は ΠG/H_i にアーベル群として同型である。
x_H はこの同型で各成分が 0 の元に移るから x_H = 0 である。
よって、x = 0 である。

以上から f は全単射である。
G はコンパクトであるから>>74より f は位相群として位相同型である。
証明終

841 :132人目の素数さん:2012/02/22(水) 12:24:36.93
>>Kummer
クリエイティビティのないカキコをするな。つまらん。

842 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/22(水) 12:48:56.25
副有限群(>>705)の一般論についてはまだ述べることがあるが(例えば Sylow p-部分群)
このあたりでGalois理論に戻ることにする。

843 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/22(水) 13:05:34.97
定義
G を群とする。
C を圏とする。
f:G → Aut(X) を G の C における表現(>>75)とする。
f が単射のとき f を忠実な表現と言う。
このとき f から定まる G-対象(>>75)X は忠実であるとも言う。

844 :猫は撲滅鬼 ◆MuKUnGPXAY :2012/02/22(水) 14:00:40.32
>>841
クリエイティビティがないのはKummer氏のカキコではなくてオマエや。
数学以外は全てつまらん。馬鹿は即刻去れ。




845 :132人目の素数さん:2012/02/22(水) 14:12:03.32
>>844
だから『こそ』Kummerを指導しているんだ。分かるか。

846 :猫は撲滅鬼 ◆MuKUnGPXAY :2012/02/22(水) 14:30:01.04
>>845
Kummer氏を指導する必要はない。そもそもそういう高級な事はオマエみた
いな低脳には不可能。馬鹿は唯黙って見てろや。そして数学を拝め。




847 :132人目の素数さん:2012/02/22(水) 14:34:51.24
>>846
>Kummer氏を指導する必要はない

必要だ。必要ないというなら根拠を出せ。
だから芳雄にも負けるんだろ、情けない。

848 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/22(水) 14:39:26.65
命題
L を可換体とする。
Aut(L) を L の自己同型群とする。
G を Aut(L) の部分群とする。
L は G-集合(>>77)と見なされる。
K = {x ∈ L; σ(x) = x、各σ ∈ G} とおく。
K は L の部分体である。
各 x ∈ L の軌道(>>92)O(x) = {σ(x); σ ∈ G} は有限集合であるとする。
このとき L/K はGalois拡大(過去スレpart4の848)である。

証明
x を L の任意の元とする。
H を x の安定化部分群(>>93)とする。
O(x) は推移的(>>107)な G-集合であるから
>>121より σH ∈ G/H に σx を対応させる写像 f:G/H → O(x) は G-集合の同型である。
よって、G/H は有限集合である。
σ_1、...、σ_n を G/H の完全代表系とする。
O(x) = {σ_1(x)、...、σ_n(x)} である。
任意の σ ∈ G に対して σσ_1、...、σσ_n は G/H の完全代表系である。
よって、{σσ_1(x)、...、σσ_n(x)} は集合として
{σ_1(x)、...、σ_n(x)} と同じである。
L[X] の元 f(X) = (X - σ_1(x))...(X - σ_n(x)) を考える。
f(X) の X^m 以外の項の各係数は σ_1(x)、...、σ_n(x) の対称式であるから
任意の σ ∈ G の作用で不変である。
よって、f(X) ∈ K[X] である。
f(X) は分離的(過去スレpart4の694)だから x は K 上分離的(過去スレpart4の841)である。
f(X) は L において1次式の積に分解するから L/K は正規拡大(過去スレpart4の844)である。
よって、L/K はGalois拡大(>>251)である。
証明終

849 :132人目の素数さん:2012/02/22(水) 14:40:34.69
>>Kummer
ゴミみたいな内容…もうちょっと頭使えや。

850 :猫は撲滅鬼 ◆MuKUnGPXAY :2012/02/22(水) 15:11:14.11
>>847
ほんなら指導してミロや。どうせ無視されるだけやろ。ホレ、やってみ。




851 :芳雄:2012/02/22(水) 15:19:35.77
オマエは京大理学部受験できんかったけど、別に良かったやんな?

852 :猫は撲滅鬼 ◆MuKUnGPXAY :2012/02/22(水) 15:22:33.07
煽られた馬鹿が参入してスレがこんがりと焼き上がって行く・・・

ケケケ猫


853 :132人目の素数さん:2012/02/22(水) 15:46:26.74
そうだな、kummerのスレはゴミだから燃え上がるべき

854 :猫は馬鹿が憎い ◆MuKUnGPXAY :2012/02/22(水) 15:55:16.38
数学板全部が燃えてしまったら、もうココでは馬鹿が遊ぶ事もなくなるわナ。
馬鹿さえ消えて無くなれば、ワシはソレでエエのでナ。




855 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/22(水) 16:13:00.49
命題
K を可換体とする。
L/K をGalois拡大(過去スレpart4の848)とする。
I を有限集合とする。
(E_i)、i ∈ I を L/K の中間体(過去スレpart4の854)の族とする。
各 E_i/K は正規拡大であるとする。
各 i ∈ I に対して F_i を ∪{E_j;j ∈ I - {i}} で生成される L の部分体とする。
以下の条件が成り立つとする。

(1)L は ∪{E_i;i ∈ I} で生成される。

(2)各 i ∈ I に対して E_i ∩ F_i = K

このとき Aut(L/K)(過去スレpart4の847)は ΠAut(E_i/K) に位相群として同型である。

証明
>>348と I の要素の個数に関する帰納法による。

856 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/22(水) 16:35:25.64
>>855の修正

命題
K を可換体とする。
L/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
I を有限集合とする。
(E_i)、i ∈ I を L/K の中間体(過去スレpart4の854)の族とする。
各 E_i/K は正規拡大であるとする。
各 i ∈ I に対して F_i を ∪{E_j;j ∈ I - {i}} で生成される L の部分体とする。
以下の条件が成り立つとする。

(1)L は ∪{E_i;i ∈ I} で生成される。

(2)各 i ∈ I に対して E_i ∩ F_i = K

このとき L/K は正規拡大であり、
Aut(L/K)(過去スレpart4の847)は ΠAut(E_i/K) に位相群として同型である。

証明
>>337より L/K と各 F_i/K は正規拡大である。
よって、>>339と I の要素の個数に関する帰納法により本命題が得られる。
証明終

857 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/22(水) 17:37:58.92
命題
K を可換体とする。
L/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
(E_i)、i ∈ I を L/K の中間体(過去スレpart4の854)の族とする。
各 E_i/K は正規拡大(過去スレpart4の844)であるとする。
L は ∪{E_i;i ∈ I} で生成されるとする。
このとき L/K は正規拡大である。

証明
過去スレpart4の876より、各 i ∈ I に対して
K[X] の次数1以上の元からなる族 (f_(i, j))、j ∈ J_i があり、
E_i/K は (f_(i, j)) の 最小分解体(過去スレpart4の542)である。
各 j ∈ J_i に対して S_(i, j) を f_(i, j) の E_i における根の全部からなる集合とする。
S_i = ∪{S_(i, j);j ∈ J_i} とおく。
E_i = K(S_i)(過去スレpart4の539)である。
S = ∪{S_i;i ∈ I} とおく。
L = K(S) である。
よって、L/K は (f_(i, j))、j ∈ J_i、i ∈ I の最小分解体である。
よって、過去スレpart4の876より L/K は正規拡大である。
証明終

858 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/22(水) 19:10:29.33
命題
K を可換体とする。
L/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
(E_i)、i ∈ I を L/K の中間体(過去スレpart4の854)の族とする。
各 E_i/K は正規拡大であるとする。
各 i ∈ I に対して F_i を ∪{E_j;j ∈ I - {i}} で生成される L の部分体とする。
以下の条件が成り立つとする。

(1)L は ∪{E_i;i ∈ I} で生成される。

(2)各 i ∈ I に対して E_i ∩ F_i = K

このとき L/K は正規拡大であり、
Aut(L/K)(過去スレpart4の847)は ΠAut(E_i/K) に位相群として同型である。

証明
>>857より、 L/K は正規拡大である。
>>242より、各 i ∈ I に対して G の各元を E_i に制限することにより
連続準同型 f_i:Aut(L/K) → Aut(E_i/K) が得られる。
よって、族 (f_i)、i ∈ I は連続準同型 f:Aut(L/K) → ΠAut(E_i/K) を定める。
Aut(L/K) はコンパクトであるから>>74より f が全単射であることを示せば良い。
L は ∪{E_i;i ∈ I} で生成されるから f は単射である。
よって、f が全射であることを示せば良い。

(続く)

859 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/22(水) 19:10:58.80
>>858の続き

σ = (σ_i) を ΠAut(E_i/K) の任意の元とする。
σ の任意の近傍を U とする。
I の有限部分集合 J があり V_J = {(τ_i) ∈ ΠAut(E_i/K); 各 j ∈ J に対して τ_j = σ_j} ⊂ U
となる。
K_J を ∪{E_j;j ∈ J} で生成される L の部分体とする。
>>856より K_J/K は正規拡大であり、 Aut(K_J/K)は Π[j ∈ J] Aut(E_j/K) に位相群として同型である。
よって、τ_J ∈ Aut(K_J/K) で τ_J の各 E_j、j ∈ J への制限が σ_j となるものが存在する。
過去スレpart4の887より τ ∈ Aut(L/K) で τ の K_J への制限が τ_J となるものが存在する。
f(τ) ∈ V_J である。
よって、f(Aut(L/K)) は ΠAut(E_i/K) において密である。
一方、Aut(L/K) は準コンパクト(>>64)であるから>>71より f(Aut(L/K)) は準コンパクトである。
ΠAut(E_i/K) は Hausdorff であるから>>69より f(Aut(L/K)) は閉集合である。
よって、f(Aut(L/K)) = ΠAut(E_i/K) である。
証明終

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