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高校生のための数学の質問スレPART319

1 :132人目の素数さん:2011/12/08(木) 14:36:50.61
【質問者必読!】
まず>>1-3をよく読んでね

数学@2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/

・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。(特に基本的な公式など)
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
  (× x+1/x+2 ;  ○((x+1)/(x+2)) )
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
 どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
 ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。 (トリップの付け方は 名前(N)に 俺!#oretrip ←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。でないと放置されることがあります。
  (変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように)
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。それがない場合、放置されることがあります。
  (特に、自分でやってみたのにあわないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように)
・970くらいになったら次スレを立ててください。

274 :132人目の素数さん:2011/12/11(日) 09:34:54.15
>>265
理解不足。

× 典型問題は解ける
○ 典型問題ならたまたま答えがわかる
ってことになっちゃってるんだろう。その問題の答えがなぜそうなのかを理解していない。

別人かも知れないが上の人の
> 文章にかつ、とまたはを見つければ良いのですね
のような考え方がダメ。

275 :132人目の素数さん:2011/12/11(日) 09:40:49.56
お願いします

cos40×cos80×cos160の値はどう やって求めますか?

あと、(1-cos40)(1-cos80)(1-cos 160)も教えてください。40、80 、160は度です。 cos40+cos80+cos160=0は出しま したが関係ありますか?



276 :132人目の素数さん:2011/12/11(日) 09:48:30.79
>>275
無理

277 :132人目の素数さん:2011/12/11(日) 10:14:03.48
>>276
訂正
度がないのかと思った

278 :132人目の素数さん:2011/12/11(日) 10:18:41.78
>>275
積和の公式で地味に計算

279 :132人目の素数さん:2011/12/11(日) 13:14:45.44
行列で、A(A^2+3A+5E)=Oで、A≠OだったらA^2+3A+5E=Oってしていいんでしたっけ?

280 :132人目の素数さん:2011/12/11(日) 13:15:13.94
ダメです

281 :132人目の素数さん:2011/12/11(日) 13:20:51.06
>>280
どうやるんでしたっけ?

282 :132人目の素数さん:2011/12/11(日) 13:29:54.30
Aに逆行列が存在するならそうしていいんだけどね

283 :132人目の素数さん:2011/12/11(日) 13:30:56.57
>>282
ありがとうございます!

284 :132人目の素数さん:2011/12/11(日) 14:30:20.87
p_1, p_2, …, p_n が相異なる素数のとき、
a_1 * √(p_1) + a_2 * √(p_2) + … + a_n * √(p_n) = 0
が成り立つならば、
a_1 = a_2 = … = a_n = 0
を証明せよ。

数学的帰納法でやるのでしょうか…
よろしくお願いします。

285 :132人目の素数さん:2011/12/11(日) 14:37:52.69
普通に帰納法でやってみなよ

286 :132人目の素数さん:2011/12/11(日) 14:39:25.89
愛子となる素数ってどういう意味ですか?

287 :132人目の素数さん:2011/12/11(日) 14:40:20.74
>>284


288 :132人目の素数さん:2011/12/11(日) 14:43:27.87
>>284
すみません。
条件が抜けてました。

p_1, p_2, …, p_n が相異なる素数、a_1, a_2, …, a_n が有理数のとき、
a_1 * √(p_1) + a_2 * √(p_2) + … + a_n * √(p_n) = 0
が成り立つならば、
a_1 = a_2 = … = a_n = 0
を証明せよ。

289 :132人目の素数さん:2011/12/11(日) 17:40:53.22
>>288
nが小さければ力技で証明できますが,
一般のnとなると,大学数学(ガロア理論)を使わないと無理ではないでしょうか.

290 :132人目の素数さん:2011/12/11(日) 17:49:20.76
a_i ≠ 0 とすると √(p_i) = (-1/a_i)( ・・・ )

両辺2乗して
p_i = (1/a_i)^2 * ( ・・・ )^2

( ・・・ )^2の中に無理数が出てくるので矛盾

i は任意なので a_1 = a_2 = … = a_n = 0

こんな感じか?

291 :132人目の素数さん:2011/12/11(日) 18:24:25.26
>>290
(・・・)^2の部分が無理数になる事の証明を書かいた方がいいよね

292 :260:2011/12/11(日) 19:31:17.62
>>273
追加説明どうもです
確かに、2が素数であることを忘れていました

293 :132人目の素数さん:2011/12/11(日) 20:33:15.50
二次関数y=x^2-2kx+2k+3(kは定数)がx軸の-2<x<4の部分と一点のみで交わるときのkの範囲を求めよ。ただし接する場合は除く。
f(x)=x^2-2kx+2k+3とおいてD>0,f(-2)>0,f(4)≦0又はD>0,f(-2)≦0,f(4)>0のとき題意を満たす
これで求めていったのですが答えにf(-2)=0,f(4)=0のときは別に考えると書いてあります
≧,≦としてはいけないのは何故ですか?

294 :132人目の素数さん:2011/12/11(日) 20:35:34.78
>>293
両方=のとき「x軸の-2<x<4の部分と一点のみで交わるとき」を満たす?

295 :132人目の素数さん:2011/12/11(日) 20:40:48.79
>>293
グラフを考えてみ
f(-2)*f(4)<0とするとしあわせ

296 :132人目の素数さん:2011/12/11(日) 20:44:33.22
>>294>>295
なるほど分かりました
ありがとうございます


297 :132人目の素数さん:2011/12/11(日) 20:50:57.54
>>294
>>295
>>296
baka

>>293
f(-2)=0のときはxが-2から4まで増えてく時に
f(x)が恒に正の場合と途中まで負の場合がありうるから。


298 :132人目の素数さん:2011/12/11(日) 20:58:11.98
アフォ?

299 :132人目の素数さん:2011/12/11(日) 20:59:49.45
半年ロムってます

300 :132人目の素数さん:2011/12/11(日) 21:04:56.80
>>297
馬鹿でした
ありがとうございます

301 :132人目の素数さん:2011/12/11(日) 23:10:25.19
0°≦ θ ≦ 180°で sin(θ) - cos (θ) = 1/2 のときの
(sin(θ))^3 - (cos(θ))^3 の値を求めよ

という問題なんですが
-9/8
で合ってますか?

302 :baka:2011/12/11(日) 23:15:19.22
>>301
違う

303 :132人目の素数さん:2011/12/11(日) 23:50:04.04
なぜ取りうる値の範囲を超えた答えを正しいと思えるんだろうか
計算しなくても間違っている事はわかるぞ

304 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 00:27:28.47
>>301
よくある公式を思い出す
自乗の和は1になることを思い出す
条件式を両辺自乗するとsin2θが出ることを覚えておく

305 :301:2011/12/12(月) 00:34:17.81
ああ
11/16
ですか?

306 :baka:2011/12/12(月) 00:38:01.50
>>305


307 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 00:58:09.76
sin2θにする必要ないだろ

308 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 00:59:19.25
書くのだるかったんだよわかれよ

309 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 01:02:52.71
すいませんいいですか
∫[0,π]xf(sinx)dx=π/2∫[0,π]f(sinx)dx
の証明の時にx=π-tと置換して示しますが
これはどういう意味があるのでしょうか?
あと積分のxが消えてπ/2がつくというのも
図形的にはどういう意味があるのでしょうか?
よろしくお願いします

310 :baka:2011/12/12(月) 01:08:49.55
>>309
テクだろ

311 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 01:12:33.46
そのテクの意味を知りたいのです
減衰曲線のx軸とで囲まれる面積を出す時の置換も
要するに平行移動してるというように
なにか意味があるのではないですか?

312 :baka:2011/12/12(月) 01:17:50.07
>>310
意味をつけるのが難しいから「テク」といっている
そもそも適用例がすくなさそう
この形なら部分積分が第一勘

313 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 01:27:06.31
>>311
きもは置換でf(sin(theta))の形が変わらないことだけど

314 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 01:31:41.47
>>313
なるほど!
ちょっとわかりかけてきました
他に何かないですか?

315 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 01:46:32.00
積分範囲が変わらない

316 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 01:48:47.50
thetaってシータって読むんだねゼータだと思ってた
勉強になったよ

317 :baka:2011/12/12(月) 01:51:20.62
>>314
公式は導けるんだろうな

318 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 01:52:05.76
>>317
なんのですか?

319 :baka:2011/12/12(月) 01:54:24.91
>>318
309のだよ

320 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 01:57:19.41
>>319
はい

321 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 02:00:45.45
>>316
それは超有名な関数の名前

322 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 08:30:23.40
>>309
x=π/2で対称移動してる

323 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 12:44:01.90
>>288
ガロア理論までは必要ない。
どっちかっていうと さらに基本的な線形代数レベル。
高校生でも理解できる回答をつくることは一応可能。

次の命題の証明を高校生風に翻訳すればいいだけ。
それに何の意味があるのか知らんけどw

素数の場合だけを考えより、次の命題を考えたほうが簡単。

[命題]
d_1,d_2,..,d_nを平方因子を含まない1より大きい互いに素な整数とする。
このとき、[Q(d_1,d_2,..,d_n):Q] = 2^n が成立する。

この命題は自然に帰納法で証明することができる。(2つ手前を考える)
まあ、無理するより、あとで瞬殺できると思って、(いまは)素通りで良い。

324 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 12:53:47.19
>>323
代数入門レベルだろ

325 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 13:14:59.95
>>324
ha?

326 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 13:16:11.72
>>325
行列は関係ねーだろ

327 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 13:20:08.81
>>324
中学生レベルだろ

328 :323≠325:2011/12/12(月) 13:21:53.84
基底の取り方が重要になってくるから、そういう意味で線形代数。
しかしながら、記号の問題も含めて代数入門とみたほうが良いかも

329 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 13:24:27.22
基底が関係してる?

330 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 13:25:54.41
>>326
325が何に対して言ったのかわかんなかったのね

331 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 13:33:59.19
ごめん、√d1,√d2,.., だった√抜けてたわ。以下証明の貼り付け
[命題P_n]
どんなn個の互いに素な√d(d:平方因子を含まない整数>1)の形の数達を
与えたとしても Q(√d_1,√d_2,,,,√d_n)のQ上の拡大次数は2^n である。
P_1が真であることはほとんど明らか。(とくにdは平方数でないから)
P_2が真であることを示したい。Q(√d_1)が√d_2を含まないことを示せばよい。
含んでいたと仮定すると a+b√d_1 = √d_2 を満たす有理数a,bが取れる。
両辺2乗し a^2+d_1b^2+2ab√d_1 = d_2 を得る。
これから 2ab√d_1 = d_2-a^2-d_1b^2 を得る。
a=0 のとき b√d_1 = √d_2 となるので b≠0に注意して
√(d_1d_2) ∈Q を得る。 これは明らかに矛盾である。
b=0 のとき a = √d_2 となる。 明らかに矛盾である。
ab≠0のとき √d_1∈Q がいえる。明らかに矛盾である。
以上より、P_2が真であることがいえた。
ある正整数s≧2が存在していて P_1,P_2,..,P_sが真であると仮定する。
このとき、P_(s+1)も真であることが示せば帰納法は完成したといえる。
E=Q(√d_1,√d_2,,,,√d_s),F=Q(√d_1,√d_2,,,,√d_(s-1)) とおく。
Eが√d_(n+1)を含んでいないことを示せばよい。
含んでいると仮定する。(ここから矛盾を導きたい)
すると √d_(s+1) = a+b√d_s を満たすa,b∈Fが取れる。
(∵ [E:F]=2 であり 1,√d_s は線形独立であるから)
両辺を2乗し整理して 2ab√d_s = d_(s+1)-a^2-d_1b^2∈F を得る。
これから a=0 または b=0 または √d_s∈F がいえる。
a=0であるとすれば √d_(s+1) = b√d_s であるから
√(d_s)(d_(s+1)) = b*d_s∈F がいえる。しかしながら
Fに√((d_s)(d_(s+1)))に添加してできる体は帰納法の仮定から
Q上の拡大次数は2^sであるので これは矛盾している。
b=0であるとすれば √d_(s+1) = a∈F がいえる。
しかしながら Fに√d_(s+1)を添加してできる体は帰納法の仮定から
Q上の拡大次数が2^sであるので これは矛盾している。
√d_s∈F であるときも同様に矛盾である。           ■

332 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 13:42:30.20
>>331
証明ごくろうさま
高校生にわかるかなー
基底がでてくるのはわかった
私の問題ではないので以上

333 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 14:46:07.02
>>72
英語のWikiには
微分df(x)における微分dxの係数
と書いてある。ここでの微分を理解するには大学生の微積分が必要。

334 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 15:57:59.10
x>0
x=arctan A
A定数
のとき
cos xはcosを用いないでどのように現されますか?


335 :baka:2011/12/12(月) 16:03:17.67
>>334
tan(A)

336 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 18:04:44.02
-1<1/(1+x)<1 の解が x<-2, 0<x と書いてあるのですが、いくら計算してもx<-2じゃなくてx>-2になってしまいます
僕の計算ミスならいいのですが、答えが正しいかお願いします

337 :baka:2011/12/12(月) 18:10:42.20
>>336
間違い

338 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 18:11:09.97
>>336
おそらく,分母を払うときに,文字式が負になることもあることを考慮し忘れている
こういう分数式の不等式は
   (分母)^2 ( > 0 )を各辺にかける
のが定石

339 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 18:14:55.90
>>336
y=1/(1+x)のグラフを描く

340 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 18:22:54.49
青チャートからの質問です。
http://iup.2ch-library.com/i/i0502426-1323681457.jpg
↑の画像の(2)で基本形になおす。とありますが、これは必ず基本形になおせるのでしょうか?
それとも場合によっては共垂線の内積条件を使う必要があるのでしょうか?
一般化して考えてみたのですが、t^2の係数が正になる証明が出来ず詰まってしまいました。
よろしくお願いします。

341 :baka:2011/12/12(月) 18:27:21.39
>>340
基本形てなに
元の問題がわからん

342 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 18:30:30.97
>>341
すいません自己解決しました・・・・・。
基本形は問題の上の方に載っている形です。

343 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 18:38:02.17
>>340
(距離)^2 を計算しているのだから,0以上になるのは当たり前
しかし,最も売れている参考書がこんな解答とは…
s , t について整理した式がほしいのだから,
  p↑ = ( 1 , 3 , 0 ) + s( -1 , 2 , -1 )
と, s , t が散らばらないように固めておくほうが便利だと思うが

ちなみに,検討に書いてあることは,2直線をそれぞれ含むような平行2平面を
持ち出せばすぐに証明できる( PQ の距離 ≧ 平面間距離 )ので
これを利用するのもうまい

344 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 18:58:55.19
sinx=e^xのとき解を求めよ。
分かりません・・

345 :baka:2011/12/12(月) 19:01:19.97
>>344
正解

346 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 19:03:33.35
>>344
無数に解あるし、解析的に解けねえし

347 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 19:14:46.50
数Aが難しすぎて泣きそうなんだけど
場合の数とか確立とか一発で理解できた人いるの?


348 :baka:2011/12/12(月) 19:17:41.12
>>347
普通

349 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 19:20:08.42
>>342ですがやはりまだ解決できていませんでしたorz
↓問題です
http://iup.2ch-library.com/i/i0502487-1323684550.jpg
↓それと自分の途中経過です
http://iup.2ch-library.com/i/i0502488-1323684550.jpg
ここで(c-p)>0を示したいんですが手詰まりです。
もし示せないのであれば共通垂線の内積条件を使うことになるのですが、いかなる場合でも解答のように変形出来るのか疑問に思いました。
よろしければご教授ください!お願いします。

350 :baka:2011/12/12(月) 19:33:39.01
>>349
(別解)
直線をパラメータ表示すると計算が楽
l:a1*t+x1
m:a2*s+x2
a1、a2は方向ベクトル、x1、x2は通る点の位置ベクトル、s、tはパラメータ

351 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 19:54:37.50
>>350
回答ありがとうございました。
問題自体は解けるのですが、解答の式変形は(二直線がねじれの位置にあるときなら)いかなるケースでも可能なのかという疑問です。
つまり(c-p)が常に正になり、解答のように最小値が求まるのかということです。
パラメータ表示は解答でもしていると思います。
言葉足らずで申し訳ありませんでした。

352 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 19:57:42.78
>>351
ねじれの位置になけりゃ無理

353 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 20:02:12.98
>>352
回答有難うございます
それはねじれの位置ならc-pが常に正になるということでしょうか?
また証明などしていただけると助かります。

354 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 20:04:47.34
>>353
     f( s , t )
   = ( a^2 )( s^2 )+( b^2 )( t^2 )+ 2cst + 2ds + 2et + f
とおいて整理すると, s で平方完成した直後の式の t^2 の係数は
   ( ( a^2 )( b^2 ) − ( c^2 ) ) / ( a^2 ) …(あ)
となるが,
   a^2 , b^2 は方向ベクトルの(大きさ)^2 ,
   c^2 はそれらの内積の2乗
であるので,(あ)は正である
(方向ベクトルが平行の場合は単純なので今は考えなくてよい)

355 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 20:08:51.20
>>344
これって冪級数展開した式に直して
cosx=0だから〜って考えたらだめ?

356 :baka:2011/12/12(月) 20:10:56.06
>>355
だめ

357 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 20:11:18.15
解けないのかあ

358 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 20:57:37.12
>>354
有難うございました。
自分でまとめたのですが↓の画像でよろしいのでしょうか
http://iup.2ch-library.com/i/i0502602-1323690965.jpg
http://iup.2ch-library.com/i/i0502603-1323690965.jpg

359 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 21:02:36.21
>>358の最後は
×ねじれの位置
○平行でない
でした

360 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 21:10:11.83
>>358
多分それで大丈夫だろう

しかし,一般論を考えるのはよいことだとは思うが,こんな面倒な計算は俺は御免だ
やはり共通垂線が最小値を与えることを示すのが簡単でよい
>>343 でも言ったがもう少し補足しておくと
共通垂線に垂直で,与えられた2直線をそれぞれ含むような2平面を考えればよい

361 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 21:19:17.42
>>360
回答有難うございます。
自分も解くだけならPQ↑⊥(lの方向ベクトル)かつPQ↑⊥(mの方向ベクトル)
を内積で計算します。
ついでといったらなんですが、答案を書くときに共通垂線がpqの最小値になるということはどのように説明すればよいのでしょうか?
というか証明は必要ですか?

362 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 21:26:41.52
>>361
共通垂線となるときの P , Q をそれぞれ P[0] , Q[0] とする
>>360 の2平面間の距離を d とすると
    PQ ≧ d = P[0]Q[0]
この程度の説明は答案に添えておくべき

363 :132人目の素数さん:2011/12/12(月) 21:47:16.98
>>362
わかりました。有難うございました。

364 :132人目の素数さん:2011/12/13(火) 00:28:28.91
なんというか、体力派の解答は凄いな

>>362
時間がなければ
「三角不等式を二回使って」でスクルト
時間があれば、真面目に三角不等式を2つ記述

365 :132人目の素数さん:2011/12/13(火) 00:48:17.15
先ほどの>>363ですがもう一つ別の問題で質問があります。
http://iup.2ch-library.com/i/i0502808-1323704117.jpg
↑が問題で回答は十分わかるのですが自分で作成した答案が、これで満点もらえるか疑問なので評価していただきたいですm(__)m
http://iup.2ch-library.com/i/i0502809-1323704117.jpg
(ちょっと原点を書き忘れたのですがそこは無視してください)
平面で切り取るところの説明や、そもそもこのような答案はOKなのかどうか教えてください。
お願いします。

366 :132人目の素数さん:2011/12/13(火) 00:51:32.76
√(x/3)+√y=1という式においてy'の求め方は、
1/2√(3x)+y'/2√y=1
1/2√(3x)+y'/2{1-√(x/3)}=1(元の式代入)
y'/2{1-√(x/3)}=1-1/2√(3x)
y'=2{1-√(x/3)}{1-1/2√(3x)}
でいいんでしょうか?

367 :132人目の素数さん:2011/12/13(火) 00:54:07.71
まずyな式に変形しようか


368 :baka:2011/12/13(火) 00:55:41.30
>>366
だめ

369 :132人目の素数さん:2011/12/13(火) 01:37:52.47
>>367
変形せずに、このままの形でyで微分してはいけないんでしょうか?
どこが違うのでしょうか?

370 :132人目の素数さん:2011/12/13(火) 01:39:11.67
右辺

371 :132人目の素数さん:2011/12/13(火) 01:57:19.66
>>370
なるほどw
1/2√(3x)+y'/2√y=0
1/2√(3x)+y'/2{1-√(x/3)}=0(元の式代入)
y'/2{1-√(x/3)}=1-1/2√(3x)
y'=2{1-√(x/3)}{1-1/2√(3x)}

他にどこか違いますか?

372 :132人目の素数さん:2011/12/13(火) 02:06:58.12
変形せずにとか言ってるわりに√y=〜を代入してるのが滑稽
それはそれとして1が余計

373 :132人目の素数さん:2011/12/13(火) 02:12:13.94
代入以外の変形はなしで。
>>371はどこか違いますかね

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